高考球的问题教师总结赠送历年高考真题 15页

‎“球迷”侃球 ‎ “三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡。可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。下面我借助具体问题，谈谈对球的认识，希望能对大家有所启发。‎ 球的问题可以从以下四个角度考虑，直接找球心，化锥为体找球心，线面垂直找球心，作过球心的截面图。其中直接找球心比较简单，这里不做讲解，我主要谈后面几个问题。‎ 一、 化锥为体找球心 总体思想：化锥（或柱）为体。这里的“锥”指的是特殊的棱锥（侧棱与底面垂直的棱锥，侧面与底面垂直的棱锥，正四面体等，“柱”指的是直棱柱，“体”指的是长方体（含正方体）。长方体（或正方体）与球有天然联系，长方体的中心是它的外接球的球心，长方体的体对角线是球的直径。所以通常把几何体放在长方体中研究，把它看成长方体的一部分，用长方体过渡，寻找突破口。‎ 例(13辽宁理10)已知直棱柱的6个顶点都在球的球面上，若AB=3，AC=4，，则球的半径为______________‎ 分析：‎ 很显然2‎ 例已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，‎ ‎,AB=2,AC=1, 则球O的表面积为______16_______‎ 分析：根据余弦定理 由勾股定理 故如图所示可以把几何体放在长方体中 SB为球的直径即 球的表面积 二、线面垂直找球心 总体思想：‎ 若面DAG过小圆⊙的圆心，且与小圆所在的截面垂直 则过A，D，G三点的圆是球的大圆，在大圆上由于 所以它所对的弦DG为直径，弦中点O 为球心 例点A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形，，AD=6，AB=3，则该球的体积为_______________‎ 分析：‎ 利用正弦定理 外接圆半径 球的直径 球的体积 例（09全国Ⅰ第15题）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于_________‎ 的外接圆的 的直径 所以球的直径，‎ 从而可知答案为 一、 作过球心的截面图 ㈠纵截面 ‎（2013全国新课标Ⅰ文15）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。‎ ‎ ‎ 分析：用截面图（纵截面）分析：,，‎ 利用射影定理 ㈡横截面 ‎（16新课标Ⅲ理10）在封闭的直三棱柱ABC-内有一个体积为V的球。若，AB=6，BC=8，，则V的最大值是（B）‎ A、 B、 C、 D、 ‎ 分析：要想球的体积最大，则球与柱的三个侧面相切，或与两底面相切 若为前者：作出横截面 ‎ 此时球在柱外不合题意 若为后者，‎ 数学高考是选拔性考试，所以高考以基础题为主，注重通式通法，力主“淡化运算技巧”，但同时提倡“优化解题路径”。所以它给懒惰的人以教训，给勤奋的人以出路，给聪明的人以捷径。在数学学习的过程中并非一路坦途，不过山高自有客行路，水深必有渡船人。在此我相信并祝愿同学们能智慧的应对学习中各种问题，寻找到更多更好的方法，绝处逢生，柳暗花明，学海不苦，书山有路。‎ ‎10.6 球 一、球心与小圆圆心连线与小圆面垂直 例（04全国4）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=2，BC=，则球心到平面ABC的距离为 （ A ）‎ ‎ A．1 B． C． D．2‎ 提示:用正弦定理求三角形外接圆半径 例（09全国一）15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 ‎,，则此球的表面积等于_________‎ 练习 ‎（05全国一）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（B）‎ ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，，则此球的表面积等于_______________.‎ 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=3，BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为（）‎ 某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( B ) ‎ A．　　 ‎ B．　　 ‎ C．　　 ‎ D．‎ 注：利用正弦定理求外接圆半径（一般为正三角形或等腰三角形）‎ 在表面积为的球面上有A,B,C三点,,AC=2AB,球心O到平面ABC的距离是,则三棱锥O-ABC的体积是( D)‎ A、 B、 C、8 D、4‎ ‎（94全国）(13) 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( D )‎ ‎(A) π ‎(B) π ‎(C) 4π ‎(D) π ‎（04辽宁）10．设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（A）‎ A． B． C． D．‎ 已知某几何体的三视图(单位:m)如图所示，则这个几何体的外接球表面积（单位：）等于（B）‎ A、 B、 C、 D、‎ 已知正四棱锥O－ABCD的体积为54，底面边长为，则正四棱锥O－ABCD的外接球的表面积为 .‎ 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为3的正三角形，S在内的射影点为的中心点D，且SD=3，则三棱锥外接球表面积_____16____‎ 已知的三个顶点在同一球面上，，AB=1，AC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的体积为_____________‎ 球O的半径R=13，球面上有三点A，B，C，，AC=BC=12，则四面体ＯＡＢＣ的体积是（Ａ）‎ Ａ、　　　Ｂ、　　Ｃ、　　Ｄ、‎ 注：球心在小圆面上的射影是小圆的圆心，也是小圆面内接三角形外心,利用正弦定理求外接圆半径 三棱锥P-ABC,若PB=2AB=2BC=4,AC=3,PA=PC=,则该三棱锥外接球表面积为______‎ 二、化锥(柱)为体找球心 在平行四边形ABCD中，若将其沿BD折成直二面角A-BD-C，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（A）‎ ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ 已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ‎ 12π，AB =2，AC =1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为 __ _．‎ ‎（95全国）．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ( B )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) 2πa2‎ ‎(D) 3πa2‎ 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(C)‎ A． B． C． D．‎ ‎(2015葫芦岛二模)10.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=2,则此四棱锥的外接球的表面积为DCDD D A．12p B．24p C．144p D．48p 例(13辽宁)已知直棱柱的6个顶点都在球的球面上，若AB=3，AC=4，，则球的半径为______________‎ 例（03全国）12．一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ A ）‎ ‎ A．3 B．4 C．3 D．6‎ 提示:化锥为体 例已知三棱柱的个顶点都在球的球面，‎ 则球的半径为C ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎ (12辽宁)已知正三棱锥，点P，A，B，C都在半径的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直且相等，则截面ABC的面积为______________‎ ‎（91全国）在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是________________‎ ‎21、(2014辽南协作体二模) 11、设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足ABAC、ADAC、ABAD，则的最大值是___8________‎ A、4 B、8 C、12 D、16‎ ‎.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都 是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外 接球的表面积为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 三、线面垂直找球心 例已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，，,AB=2,AC=1, 则球O的表面积为______16_______‎ 注：化锥为体找球心也行 例点A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形，，AD=6，AB=3，则该球的体积为_______________‎ ‎ ‎ 例已知三棱锥P-ABC中，PA面ABC，为等腰直角三角形，，AC=2AB=4，则三棱锥外接球表面积为B A、 B、 C、 D、‎ AD=6，AB=3，则该球的体积为_______________‎ ‎22(2015河南模拟)（5分）已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 已知三棱锥，在底面中，，，，‎ ‎，则此三棱锥的外接球的表面积为（D ）‎ ‎　　A． 　　 B. 　　 C. 　　D. ‎ 已知直三棱柱的6个顶点都在直径为球的球面，且，‎ ‎，则三棱柱的的体积为72．‎ ‎(2015桂林十八中)15. 是同一球面上的四个点,其中是正三角形, ⊥平面，,则该球的表面积为____32‎ ‎_____。‎ ‎(2014葫芦岛二模)如图所示，一个三棱锥的三视图中，其俯视图是正三角形，主视图及左视图的轮廓都是直角三角形，若这个三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，则这个球的体积为（）‎ 答案.π 四、面面垂直找球心 四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有 顶点的球的表面积为D ‎ A． B． C． D．15π 如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 .‎ 图为某多面体的三视图，则该多面体体的外接球表面积为 已知如右图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直,,,，则球的表面积为 ‎ 五、截补法求体积 ‎4、(11辽宁)已知球的直径SC=4，A，B是该球面上的两点，AB=，，则棱锥的体积为__________________‎ 半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A-BCD的体积为（A）‎ A、 B、 C、 D、‎ 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC为球O的直径，且，，为等边三角形，三棱锥P-ABC的体积为，则球O的表面积为 ‎8、（12年新课标）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ A ）‎ ‎ ‎ 注：‎ 六、最值问题 点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2若四面体ABCD体积最大值为，则这个球的表面积为_________________‎ ‎ ‎ 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球O在同一球面内，当此四棱锥体积最大时它的表面积等于，则球O的体积等于_____________‎ ‎【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C 已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为的球，则三棱柱的体积的最大值为 1 .‎ 注：导数求最值 七、正四面体与正棱锥外接球与内切球 ㈠正棱锥 在三棱锥A-BCD中，底面BCD的边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为，则三棱锥外接球体积为 ‎（07陕西）6．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ 已知正四棱锥O－ABCD的体积为54，底面边长为，则正四棱锥O－ABCD的外接球的表面积为 .‎ 体积为的球放置在棱长为4的正方体上，‎ ‎ 且与上表面相切，切点为该表面的中心，‎ ‎ 则四棱锥的外接球的半径为___________；‎ 已知三棱锥A-BCD中平面ACD，AC=AD=2，AB=4，CD=，则三棱锥A-BCD外接球的表面积与内切球表面积的比为（C）‎ A、 B、8 C、24 D、‎ ㈡正四面体 例已知正四面体ABCD的棱长为，其外接球表面积为，内切球的表面积为，则的值为C A． B． C．9 D．‎ 注：正四面体外接球与内切球半径比为3:1‎ ‎1、一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体 在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为 ．‎ ‎2、一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点做球的截面，则该截面圆面积是 八、直接找球心 ‎15．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.‎ 九、直棱柱的内切球 ‎（14湖南理）一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（B）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎ ‎ 一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为 （ D ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 十、最值问题 已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P－ABCD的体积最大时，四棱锥的高为C A、　　　　B、1　　　　　C、　　　D、‎ 注：导数求最值 已知正三棱柱的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱柱的体积最大时，该正三棱柱的高为__________.‎ 十一、难题 点、、、在半径为的同一球面上，点到平面的距离为，，则点与中心的距离为（ B ）‎ ‎ A． B． 　 C． D．‎ 十二、截面圆问题 ‎（15）已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。‎ ‎（16新课标3理10）在封闭的直三棱柱ABC-内有一个体积为V的球。若，AB=6，BC=8，，则V的最大值是（B）‎ A、 B、 C、 D、 ‎