高考数学立体几何专题复习 5页

立体几何复习专题 一、考情分析 综观近年高考对立体几何的考查，主要体现了三个特点：1.以选择、填空考查基础知识，如线面关系的判断、体积与面积的计算等，难度中等偏易，分值5～10分左右；2.以解答题的形式考查综合问题，如空间平行与垂直的论证，空间角和距离的求解等，分值为12分；3.无论是大题还是小题，其载体多为棱柱、棱锥、球组合而成的多面体，问题的情境为动态或静态的，背景为综合或交叉的，解题方法是多样化的，重视了传统方法和向量方法的有机结合，相得益彰.‎ 二、考题精讲 考点１ 直线与平面 该问题主要考查空间中的线线、线面、面面之间的位置关系的判断与证明，以及空间想象能力.‎ 例１ 设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直 B．过直线有且只有一个平面与平面垂直 C．与直线垂直的直线不可能与平面平行 D．与直线平行的平面不可能与平面垂直 解：在这里我们通过观察正方体ABCD-A1B‎1C1D1进行判断，取BC1为直线，平面ABCD为平面，由AB、CD均与垂直知选项A错；由D‎1C1与垂直且与平行知选项C错；由平面ADD‎1A1与平行且与垂直知选项D错，故选B.‎ 点评：在解本题时，我们通过借助具体的几何模型进行直观的思考，对于假命题举出反例即可，避免了抽象的空间现象与推理.‎ 考点２简单几何体 该问题主要涉及到简单几何体的性质以及其面积与体积的求法（包括球的性质、球的面积与体积、球面距离等）.‎ 例２ 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的菱形，则该棱柱的体积等于( B )‎ Ａ　　 Ｂ 　　 Ｃ　　 Ｄ 解：如图在三棱柱中，设，由条件有，作于点，‎ 则，‎ ‎∴ ∴，‎ ‎∴，故选B.‎ 点评：本题具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键.‎ 考点３ 空间距离与角 该问题主要考查三类角（线线角、线面角、二面角），五种距离（点线距、点面距、线面距、线线距、面面距），有关立体几何的解答题中都有此部分的内容.‎ 例３ 如图，为平面，，，AB=5，A、B在棱L上的射影分别为A′、B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，‎ 求：⑴点B到平面的距离；⑵异面直线L与AB所成的角（用反三角函数表示）.‎ A B L 解：⑴如图，过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.∵AA′⊥L，∴DB′⊥L ‎，又BB′⊥L，∴L⊥平面BB′D，∴BD⊥L.又∵BD⊥CB′，∴BD⊥平面α,∴BD的长即为点B到平面的距离.∵B′C⊥L且BB′⊥L，∴∠BB′C为二面角α-L-β的平面角，∴∠BB′C=.在Rt△BB′D中，=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，∴BD=BB′·sinBB′D=.‎ A B L C D ‎⑵连接AC、BC.∵B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥L，∴A′ACB′为矩形，∴AC∥L，∴∠BAC或其补角为异面直线L与AB所成的角.在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，由余弦定理，BC=.因BD平面，且DCCA，由三垂线定理得ACBC，∴在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.∴异面直线L与AB所成的角为arcsin.‎ 点评：本题考查了立几中的点面距、线线角、二面角等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，解题的关键是线面平行、三垂线定理等基础知识的运用.‎ 考点４ 立体几何综合问题 此类问题常以某种几何图形为载体，考查点、线、面的位置关系，求角和距离，求体积、面积和探究有关量的定值、最值问题等.‎ A B C D E F P Q H G 例5 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0