高考专题复习系列之一不等式 12页

‎ Ⅱ、不等式 一、考试要求 不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.‎ ‎1、理解不等式的性质及其证明。‎ ‎2．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 3．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 4．掌握简单不等式的解法。 5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。‎ ‎6．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题． ‎ ‎7．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．‎ 二、高考试题回放 ‎1．（福建卷）不等式的解集是 （ A ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2．（福建卷）下列结论正确的是 （ B ）‎ ‎ A．当 B．‎ ‎ C．的最小值为2 D．当无最大值 ‎3．（湖北卷）对任意实数a，b，c，给出下列命题：‎ ‎ ①“”是“”充要条件； ②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.‎ ‎ 其中真命题的个数是 （ B ）‎ ‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4. （辽宁卷）6．若，则的取值范围是 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5. （辽宁卷）在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则 （ C ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. (全国卷Ⅰ) 设，函数，则使的的取值范围是（B）‎ ‎（A） （B） （C）（D）‎ ‎7. （山东卷），下列不等式一定成立的是（ A ）‎ ‎（A）（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. （天津卷）9．设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（A ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎9. （天津卷）已知＜＜ ，则 A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b ‎10. (重庆卷)不等式组的解集为 (C ) (A) (0,)； (B) (,2)； (C) (,4)； (D) (2,4)。‎ ‎11.(江西卷）已知实数a、b满足等式下列五个关系式：‎ ‎ ①00，都有 解：（Ⅰ）证法1：∵当 即 ‎ 于是有 ‎ 所有不等式两边相加可得 ‎ 由已知不等式知，当n≥3时有，‎ ‎∵‎ 证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 ‎ （i）当n=3时， 由 ‎ 知不等式成立.‎ ‎（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即 则 即当n=k+1时，不等式也成立.‎ 由（i）、（ii）知，‎ 又由已知不等式得 ‎ ‎ （Ⅱ）有极限，且 ‎ （Ⅲ）∵‎ 则有 故取N=1024，可使当n>N时，都有 四、例题分析：‎ b)∈M，且对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a，则a=____．‎ 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M中的其它元素(c，d)，总有c≥a”？M中的元素又有什么特点？‎ 解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)·|y-1|+(y+3)‎ ‎(2)当1≤y≤3时，‎ 所以当y=1时，= 4．‎ 解题回顾：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质．即求集合M中的元素满足关系式 例2．已知非负实数，满足且，则的最大值是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 解：画出图象，由线性规划知识可得，选D 解题回顾：注意数形结合思想的应用。‎ 例3．数列由下列条件确定：‎ ‎（1）证明：对于,‎ ‎（2）证明：对于．‎ 证明：（1）‎ ‎（2）当时，‎ ‎=。‎ 例4．若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范围．‎ 分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组)．由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(x)的表达形式写出来．即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解．‎ 解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax2+bx．于是 解法一(利用基本不等式的性质)‎ 不等式组(Ⅰ)变形得 ‎(Ⅰ)‎ 所以f(-2)的取值范围是[6，10]．‎ 解法二(数形结合)‎ 建立直角坐标系aob，作出不等式组(Ⅰ)所表示的区域，如图6中的阴影部分．因为f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系．如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2，1)，B(3，1)时，分别取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范围是：6≤f(-2)≤10．‎ 解法三(利用方程的思想)‎ 又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而 ‎1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，　　　　　　　　　　　　　　　　 ①‎ 所以　　　 3≤3f(-1)≤6．　　　　　　　　　　　　　　　　 ②‎ ‎①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10．‎ 解题回顾：(1)在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：‎ ‎2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11．‎ ‎(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)‎ 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．‎ 例5．设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=x，均不相交.试证明对一切都有.‎ 分析：因为x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)．‎ 证明：由题意知，a≠0．设f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，则 又二次方程ax2+bx+c=±x无实根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0，Δ2=(b-1)2-4ac＜0．‎ 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1．‎ 解题回顾：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．‎ 例7．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？‎ 解：设2001年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得 五、专项训练：‎ 一、选择题 ‎1. 已知方程有一负根且无正根，则实数a的取值范围是 ‎ A. a >-1 B. a=1 C. a≥1 D. a≤1‎ ‎2. 设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围是 ‎ ‎ ‎3. 在R上定义运算：xy=x(1–y),若不等式（x–a）(x + a)<1对任意实数x成立 ‎ ‎ 不等式（答案）‎ 一、1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.D 8.C 9.B 10.D 二、‎ 三、解答题