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- 2021-05-14 发布
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2020-2021学年高考数学(理)考点:参数方程与普通方程的互化与应用
1.必记的曲线参数方程
已知条件
普通方程
参数方程
经过点P(x0,y0),倾斜角为α
(α为参数)
圆心在点M0(x0,y0),半径为r
(θ为参数)
长半轴a和短半轴b
椭圆+=1(a>b>0)
(θ为参数)
实轴a和虚轴b
双曲线-=1(a>0,b>0)
(θ为参数)
已知p
抛物线y2=2px(p>0)
2. 参数方程与普通方程的转化
(1) 参数方程转化成普通方程
类型一:含t的消参
思路:含有t的参数方程消参时,想办法把参数t消掉就可以啦,有两个思路:
思路一:代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y),
思路二:加减消元:让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。
例如:曲线C:
解:思路一:代入消元:∵x=2+t,∴t=x-2,代入y=1+t,得y=x-1,
即x-y-1=0.
思路二:加减消元:两式相减,x-y-1=0.
类型二:含三角函数的消参
思路:三角函数类型的消参一般的步骤就是:移项-化同-平方-相加
移项:把除了三角函数的其他相加减数字移动左边
化同:把三角函数前面的系数化成相同
平方:两道式子左右同时平方
相加:平方后的式子进行相加
(注:有时候并不需要全部步骤)
例如:圆消参数θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.
解:移项:(三角函数前面系数已经相同,省去化同,直接平方)
平方:
相加:
2. 参数方程涉及题型
(1) 直线参数方程的几何意义
(2) 距离最值(点到点、曲线点到线、)
距离的最值: ---用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”:设点---套公式--三角辅助角
①设点: 设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设
②套公式:利用点到线的距离公式
③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一
直线参数方程的几何意义.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:
(1)t0=;(2)|PM|=|t0|=;(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|
(5)
(注:记住常见的形式,P是定点,A、B是直线与曲线的交点,P、A、B三点在直线上)
【特别提醒】1.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长;
2. 解题思路
第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程
第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t的一元二次方程:
第三步:韦达定理:
第四步:选择公式代入计算。
3.直线与两曲线分别相交,求交点间的距离:
思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。
4.面积的最值问题:
面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题
真题演练
1.(2020•上海)已知直线方程的一个参数方程可以是
A.为参数) B.为参数)
C.为参数) D.为参数)
【答案】B
【解析】为参数)的普通方程为:,即,不正确;
为参数)的普通方程为:,即,正确;
为参数)的普通方程为:,即,不正确;
为参数)的普通方程为:,即,不正确;
故选.
2.(2019•北京)已知直线的参数方程为为参数),则点到直线的距离是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由为参数),消去,可得.
则点到直线的距离是.
故选.
3.(2019•天津)设,直线和圆为参数)相切,则的值为__________.
【答案】
【解析】,直线和圆为参数)相切,
圆心到直线的距离:
,
解得.
故答案为:.
4.(2020•新课标Ⅲ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数且,与坐标轴交于,两点.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.
【解析】(1)当时,可得舍去),代入,可得,
当时,可得舍去),代入,可得,
所以曲线与坐标轴的交点为,,
则;
(2)由(1)可得直线过点,,
可得的方程为,
即为,
由,,
可得直线的极坐标方程为.
5.(2020•新课标Ⅱ)已知曲线,的参数方程分别为为参数),为参数).
(1)将,的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.设,的交点为
,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.
【解析】(1)曲线,参数方程为:为参数),转换为直角坐标方程为:,
所以的普通方程为.
曲线的参数方程:为参数).
所以①②整理得直角坐标方程为,
所以的普通方程为.
(2)法一:由,得,即的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为,,由题意得,
解得,
因此,所求圆的极坐标方程为.
法二:由,整理得,解得:,即.
设圆的方程,
由于圆经过点和原点,
所以,解得,
故圆的方程为:,即,转换为极坐标方程为.
6.(2020•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,是什么曲线?
(2)当时,求与的公共点的直角坐标.
【解析】(1)当时,曲线的参数方程为,为参数),
消去参数,可得,
故是以原点为圆心,以1为半径的圆;
(2)法一:当时,,消去得到的直角坐标方程为,
的极坐标方程为可得的直角坐标方程为,
,解得.
与的公共点的直角坐标为.
法二:当时,曲线的参数方程为,为参数),
两式作差可得,
,得,
整理得:,.
由,又,,
.
联立,解得(舍,或.
与的公共点的直角坐标为.
7.(2019•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求和的直角坐标方程;
(2)求上的点到距离的最小值.
【解析】(1)由为参数),得,
两式平方相加,得,
的直角坐标方程为,
由,得.
即直线的直角坐标方程为得;
(2)法一、设上的点,,
则到直线得的距离为:
.
当时,有最小值为.
法二、设与直线平行的直线方程为,
联立,得.
由△,得.
当时,直线与曲线的切点到直线的距离最小,为.
8.(2018•新课标Ⅲ)在平面直角坐标系中,的参数方程为为参数),过点且倾斜角为的直线与交于,两点.
(1)求的取值范围;
(2)求,中点的轨迹的参数方程.
【解析】(1)的参数方程为为参数),
的普通方程为,圆心为,半径,
当时,过点且倾斜角为的直线的方程为,成立;
当时,过点且倾斜角为的直线的方程为,
倾斜角为的直线与交于,两点,
圆心到直线的距离,
,或,
或,
综上的取值范围是,.
(2)的参数方程为,为参数,,
设,,对应的参数分别为,,,则,
且,满足,
,
满足,
中点的轨迹的参数方程为:,为参数,.
9.(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).
(1)求和的直角坐标方程;
(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.
【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),
转换为直角坐标方程为:.
直线的参数方程为为参数).
转换为直角坐标方程为:或.
(2)把直线的参数方程为参数),
代入椭圆的方程得到:
整理得:,
则:,(由于和为、对应的参数)
由于为中点坐标,
所以利用中点坐标公式,
则:,
解得:,
即:直线的斜率为.
10.(2017•江苏)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为为参数).设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.
【解析】直线的直角坐标方程为,
到直线的距离,
当时,取得最小值.
11.(2017•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).
(1)若,求与的交点坐标;
(2)若上的点到距离的最大值为,求.
【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),化为标准方程是:;
时,直线的参数方程化为一般方程是;
联立方程,解得或,
所以椭圆和直线的交点为和,.
(2)的参数方程为参数)化为一般方程是:,
椭圆上的任一点可以表示成,,,
所以点到直线的距离为:
,
满足,且的的最大值为.
①当时,即时,
解得和,符合题意.
②当时,即时
,
解得和18,符合题意.
综上,或.
12.(2017•新课标Ⅲ)在直角坐标系中,直线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.
(1)写出的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,为与的交点,求的极径.
【解析】(1)直线的参数方程为,为参数),
消掉参数得:直线的普通方程为:①;
又直线的参数方程为,为参数),
同理可得,直线的普通方程为:②;
联立①②,消去得:,即的普通方程为;
(2)的极坐标方程为,
其普通方程为:,
联立得:,
.
与的交点的极径为.
强化训练
1.(2020•杨浦区校级模拟)已知曲线的参数方程为,其中参数,则曲线
A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.没有对称性
【答案】C
【解析】由于为奇函数,
为奇函数,
故曲线关于原点对称.
故选.
2.(2020•杨浦区二模)已知曲线的参数方程为是参数),曲线的参数方程为是参数),则和的两个交点之间的距离为__________.
【答案】
【解析】由曲线的参数方程是参数),得其普通方程为,
由曲线的参数方程是参数),得其普通方程为,
则曲线是以为圆心,半径的圆,
圆心到直线的距离,
和的两个交点之间的距离为.
故答案为:.
3.(2020•奉贤区二模)已知圆的参数方程为为参数),则此圆的半径是
__________.
【答案】2
【解析】圆的参数方程为为参数),转换为直角坐标方程为,
所以该圆为以为圆心,2为半径的圆.
故答案为:2.
4.(2020•长宁区二模)直线是参数)的斜率为__________.
【答案】2
【解析】直线是参数),消去参数为:,可得斜率.
故答案为:2.
5.(2020•浦东新区模拟)若点在曲线为参数,上,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由为参数,可得:
因此可以看作与圆:上的点的连线的直线的斜率的取值范围.
设过点的直线方程为:,化为,
,解得.
解得.
的取值范围是.
故答案为:.
6.(2020•武汉模拟)已知曲线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为
为参数),以直角坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的的极坐标方程;
(2)射线与曲线和曲线分别交于,,已知点,求的面积.
【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),
由于①,,②,
①②得:.
根据整理得.
曲线的参数方程为为参数),转换为普通方程为.
转换为极坐标方程为.
(2)射线与曲线和曲线分别交于,,
所以,,
所以,
则的面积为.
7.(2020•韩城市模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)已知点的直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求.
【解析】(Ⅰ)由,得,
又,,
曲线的直角坐标方程为,
即.
又曲线的参数方程为,
化为普通方程,即,
,,;
(Ⅱ)将直线的参数方程为参数)代入即,
得.
设,对应的参数分别为,,则,.
.
8.(2020•沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线交于,两点,点是的中点,点,求的取值范围.
【解析】(1)由题意可得,,
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)联立方程,
得到,
设,对应的参数分别为,,
则
因为是,的中点,
所以
当时,
当时,,
因为,,所以,.
综上所述,,.
9.(2020•汉阳区校级模拟)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:,.
(1)求曲线的极坐标方程并指出曲线类型;
(2)若曲线与直线交于不同的两点、,,求的值.
【解析】(1)由,消去参数,得,
令,,
则有,
即,曲线为等轴双曲线;
(2)将直线的极坐标方程代入,得,
曲线与曲线交于不同的两点、,
则,
又,可得或,
设,,,,
则,
解得:,
或,得或.
10.(2020•运城模拟)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;
(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值.
【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),消去参数得到普通方程为.
直线的极坐标方程为.根据转换为普通方程为.
(2)设点,则点到直线的距离,
当时,点到直线的距离的最大值为.
11.(2020•金凤区校级四模)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设直线与轴,轴分别交于,两点,点是曲线上任意一点,求面积的最大值.
【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),消去参数得:.
直线的极坐标方程为.根据转换为直角坐标方程为.
(2)直线与轴的交点坐标为与轴的交点坐标为,
设点到直线的距离,
由于,
所以.
12.(2020•湖北模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设,直线与曲线的交点为,,线段的中点为,求.
【解析】(1)直线的参数方程为为参数),转换为普通方程为;
曲线的极坐标方程为,根据,转换为直角坐标方程为
.
(2)将代入到中得到
设,所对应的参数分别为,,则
线段的中点所对应的参数为
13.(2020•香坊区校级一模)已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若射线与曲线交于,两点,与直线交于点,射线与曲线交于,两点,求的面积.
【解析】(Ⅰ),,
,
.
,,
,
又直线的极坐标方程为,
.
曲线的极坐标方程为,
直线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)由题意可知,设点的极坐标为,点的极坐标为,点的极坐标为
.
.
点到直线的距离为,
.
14.(2020•衡阳三模)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线及曲线的直角坐标方程;
(2)若上的点到的距离的最小值为,求实数的值
【解析】(1)直线的参数方程为为参数),消去可得:直线直角坐标方程为
依题:,
由及可得:曲线的直角坐标方程为
(2)令曲线上动点,
则到直线的距离
(其中,,
因为,
所以
.当时,,
解得或(舍去)
.当时,,
解得或(舍去)
故所求的值为9或
15.(2020•襄州区校级四模)在平面直角坐标中,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设,直线与曲线的交点为、,线段的中点为,求的值.
【解析】(1)直线的参数方程为为参数).消去参数可得直线的普通方程为,
由,得,
则有,
即,
则曲线的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入,得,设两根为,,则;
所以,线段的中点为对应的参数为,
所以,.
16.(2020•武昌区校级模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线为参数),为参数).
(1)将,的参数方程化为普通方程;
(2)曲线与交于,两点,点,求的值.
【解析】(1)已知曲线为参数),转换为直角坐标方程为.
曲线为参数).转换为直角坐标方程为.
(2)把直线的参数方程代入,
整理得,即,
所以,.
则.