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  • 2021-05-14 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:参数方程与普通方程的互化与应用

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‎2020-2021学年高考数学(理)考点:参数方程与普通方程的互化与应用 ‎1.必记的曲线参数方程 已知条件 普通方程 参数方程 经过点P(x0,y0),倾斜角为α (α为参数)‎ 圆心在点M0(x0,y0),半径为r (θ为参数)‎ 长半轴a和短半轴b 椭圆+=1(a>b>0)‎ (θ为参数)‎ 实轴a和虚轴b 双曲线-=1(a>0,b>0)‎ (θ为参数)‎ 已知p 抛物线y2=2px(p>0)‎ 2. 参数方程与普通方程的转化 (1) 参数方程转化成普通方程 类型一:含t的消参 思路:含有t的参数方程消参时,想办法把参数t消掉就可以啦,有两个思路:‎ 思路一:代入消元法,把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y),‎ 思路二:加减消元:让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。‎ 例如:曲线C:‎ 解:思路一:代入消元:∵x=2+t,∴t=x-2,代入y=1+t,得y=x-1,‎ 即x-y-1=0.‎ ‎ 思路二:加减消元:两式相减,x-y-1=0.‎ 类型二:含三角函数的消参 思路:三角函数类型的消参一般的步骤就是:移项-化同-平方-相加 移项:把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同:把三角函数前面的系数化成相同 平方:两道式子左右同时平方 相加:平方后的式子进行相加 ‎(注:有时候并不需要全部步骤)‎ 例如:圆消参数θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.‎ 解:移项:(三角函数前面系数已经相同,省去化同,直接平方)‎ 平方:‎ 相加:‎ 2. 参数方程涉及题型 (1) 直线参数方程的几何意义 (2) 距离最值(点到点、曲线点到线、)‎ 距离的最值: ---用“参数法”‎ ‎1.曲线上的点到直线距离的最值问题 ‎2.点与点的最值问题 ‎“参数法”:设点---套公式--三角辅助角 ‎①设点: 设点的坐标,点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ‎②套公式:利用点到线的距离公式 ‎③辅助角:利用三角函数辅助角公式进行化一 直线参数方程的几何意义.经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎(1)t0=;(2)|PM|=|t0|=;(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|‎ ‎(5)‎ ‎(注:记住常见的形式,P是定点,A、B是直线与曲线的交点,P、A、B三点在直线上)‎ ‎【特别提醒】1.直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.‎ 直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为,则弦长;‎ 2. 解题思路 第一步:曲线化成普通方程,直线化成参数方程 第二步:将直线的参数方程代入曲线的普通方程,整理成关于t的一元二次方程:‎ 第三步:韦达定理:‎ 第四步:选择公式代入计算。‎ ‎3.直线与两曲线分别相交,求交点间的距离:‎ 思路:一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标,利用极径相减即可。‎ ‎4.面积的最值问题:‎ 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 真题演练 ‎1.(2020•上海)已知直线方程的一个参数方程可以是  ‎ A.为参数) B.为参数) ‎ C.为参数) D.为参数)‎ ‎【答案】B ‎【解析】为参数)的普通方程为:,即,不正确;‎ 为参数)的普通方程为:,即,正确;‎ 为参数)的普通方程为:,即,不正确;‎ 为参数)的普通方程为:,即,不正确;‎ 故选.‎ ‎2.(2019•北京)已知直线的参数方程为为参数),则点到直线的距离是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由为参数),消去,可得.‎ 则点到直线的距离是.‎ 故选.‎ ‎3.(2019•天津)设,直线和圆为参数)相切,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,直线和圆为参数)相切,‎ 圆心到直线的距离:‎ ‎,‎ 解得.‎ 故答案为:.‎ ‎4.(2020•新课标Ⅲ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数且,与坐标轴交于,两点.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程.‎ ‎【解析】(1)当时,可得舍去),代入,可得,‎ 当时,可得舍去),代入,可得,‎ 所以曲线与坐标轴的交点为,,‎ 则;‎ ‎(2)由(1)可得直线过点,,‎ 可得的方程为,‎ 即为,‎ 由,,‎ 可得直线的极坐标方程为.‎ ‎5.(2020•新课标Ⅱ)已知曲线,的参数方程分别为为参数),为参数).‎ ‎(1)将,的参数方程化为普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.设,的交点为 ‎,求圆心在极轴上,且经过极点和的圆的极坐标方程.‎ ‎【解析】(1)曲线,参数方程为:为参数),转换为直角坐标方程为:,‎ 所以的普通方程为.‎ 曲线的参数方程:为参数).‎ 所以①②整理得直角坐标方程为,‎ 所以的普通方程为.‎ ‎(2)法一:由,得,即的直角坐标为.‎ 设所求圆的圆心的直角坐标为,,由题意得,‎ 解得,‎ 因此,所求圆的极坐标方程为.‎ 法二:由,整理得,解得:,即.‎ 设圆的方程,‎ 由于圆经过点和原点,‎ 所以,解得,‎ 故圆的方程为:,即,转换为极坐标方程为.‎ ‎6.(2020•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)当时,是什么曲线?‎ ‎(2)当时,求与的公共点的直角坐标.‎ ‎【解析】(1)当时,曲线的参数方程为,为参数),‎ 消去参数,可得,‎ 故是以原点为圆心,以1为半径的圆;‎ ‎(2)法一:当时,,消去得到的直角坐标方程为,‎ 的极坐标方程为可得的直角坐标方程为,‎ ‎,解得.‎ 与的公共点的直角坐标为.‎ 法二:当时,曲线的参数方程为,为参数),‎ 两式作差可得,‎ ‎,得,‎ 整理得:,.‎ 由,又,,‎ ‎.‎ 联立,解得(舍,或.‎ 与的公共点的直角坐标为.‎ ‎7.(2019•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求和的直角坐标方程;‎ ‎(2)求上的点到距离的最小值.‎ ‎【解析】(1)由为参数),得,‎ 两式平方相加,得,‎ 的直角坐标方程为,‎ 由,得.‎ 即直线的直角坐标方程为得;‎ ‎(2)法一、设上的点,,‎ 则到直线得的距离为:‎ ‎.‎ 当时,有最小值为.‎ 法二、设与直线平行的直线方程为,‎ 联立,得.‎ 由△,得.‎ 当时,直线与曲线的切点到直线的距离最小,为.‎ ‎8.(2018•新课标Ⅲ)在平面直角坐标系中,的参数方程为为参数),过点且倾斜角为的直线与交于,两点.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)求,中点的轨迹的参数方程.‎ ‎【解析】(1)的参数方程为为参数),‎ 的普通方程为,圆心为,半径,‎ 当时,过点且倾斜角为的直线的方程为,成立;‎ 当时,过点且倾斜角为的直线的方程为,‎ 倾斜角为的直线与交于,两点,‎ 圆心到直线的距离,‎ ‎,或,‎ 或,‎ 综上的取值范围是,.‎ ‎(2)的参数方程为,为参数,,‎ 设,,对应的参数分别为,,,则,‎ 且,满足,‎ ‎,‎ 满足,‎ 中点的轨迹的参数方程为:,为参数,.‎ ‎9.(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).‎ ‎(1)求和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),‎ 转换为直角坐标方程为:.‎ 直线的参数方程为为参数).‎ 转换为直角坐标方程为:或.‎ ‎(2)把直线的参数方程为参数),‎ 代入椭圆的方程得到:‎ 整理得:,‎ 则:,(由于和为、对应的参数)‎ 由于为中点坐标,‎ 所以利用中点坐标公式,‎ 则:,‎ 解得:,‎ 即:直线的斜率为.‎ ‎10.(2017•江苏)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为为参数).设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【解析】直线的直角坐标方程为,‎ 到直线的距离,‎ 当时,取得最小值.‎ ‎11.(2017•新课标Ⅰ)在直角坐标系中,曲线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).‎ ‎(1)若,求与的交点坐标;‎ ‎(2)若上的点到距离的最大值为,求.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),化为标准方程是:;‎ 时,直线的参数方程化为一般方程是;‎ 联立方程,解得或,‎ 所以椭圆和直线的交点为和,.‎ ‎(2)的参数方程为参数)化为一般方程是:,‎ 椭圆上的任一点可以表示成,,,‎ 所以点到直线的距离为:‎ ‎,‎ 满足,且的的最大值为.‎ ‎①当时,即时,‎ 解得和,符合题意.‎ ‎②当时,即时 ‎,‎ 解得和18,符合题意.‎ 综上,或.‎ ‎12.(2017•新课标Ⅲ)在直角坐标系中,直线的参数方程为,为参数),直线的参数方程为,为参数).设与的交点为,当变化时,的轨迹为曲线.‎ ‎(1)写出的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,为与的交点,求的极径.‎ ‎【解析】(1)直线的参数方程为,为参数),‎ 消掉参数得:直线的普通方程为:①;‎ 又直线的参数方程为,为参数),‎ 同理可得,直线的普通方程为:②;‎ 联立①②,消去得:,即的普通方程为;‎ ‎(2)的极坐标方程为,‎ 其普通方程为:,‎ 联立得:,‎ ‎.‎ 与的交点的极径为.‎ 强化训练 ‎1.(2020•杨浦区校级模拟)已知曲线的参数方程为,其中参数,则曲线  ‎ A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.没有对称性 ‎【答案】C ‎【解析】由于为奇函数,‎ 为奇函数,‎ 故曲线关于原点对称.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•杨浦区二模)已知曲线的参数方程为是参数),曲线的参数方程为是参数),则和的两个交点之间的距离为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由曲线的参数方程是参数),得其普通方程为,‎ 由曲线的参数方程是参数),得其普通方程为,‎ 则曲线是以为圆心,半径的圆,‎ 圆心到直线的距离,‎ 和的两个交点之间的距离为.‎ 故答案为:.‎ ‎3.(2020•奉贤区二模)已知圆的参数方程为为参数),则此圆的半径是 ‎__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】圆的参数方程为为参数),转换为直角坐标方程为,‎ 所以该圆为以为圆心,2为半径的圆.‎ 故答案为:2.‎ ‎4.(2020•长宁区二模)直线是参数)的斜率为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线是参数),消去参数为:,可得斜率.‎ 故答案为:2.‎ ‎5.(2020•浦东新区模拟)若点在曲线为参数,上,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由为参数,可得:‎ 因此可以看作与圆:上的点的连线的直线的斜率的取值范围.‎ 设过点的直线方程为:,化为,‎ ‎,解得.‎ 解得.‎ 的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎6.(2020•武汉模拟)已知曲线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线和曲线的的极坐标方程;‎ ‎(2)射线与曲线和曲线分别交于,,已知点,求的面积.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),‎ 由于①,,②,‎ ‎①②得:.‎ 根据整理得.‎ 曲线的参数方程为为参数),转换为普通方程为.‎ 转换为极坐标方程为.‎ ‎(2)射线与曲线和曲线分别交于,,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 则的面积为.‎ ‎7.(2020•韩城市模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),曲线的参数方程为,,为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)求,的值;‎ ‎(Ⅱ)已知点的直角坐标为,直线与曲线交于,两点,求.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由,得,‎ 又,,‎ 曲线的直角坐标方程为,‎ 即.‎ 又曲线的参数方程为,‎ 化为普通方程,即,‎ ‎,,;‎ ‎(Ⅱ)将直线的参数方程为参数)代入即,‎ 得.‎ 设,对应的参数分别为,,则,.‎ ‎.‎ ‎8.(2020•沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于,两点,点是的中点,点,求的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由题意可得,,‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)联立方程,‎ 得到,‎ 设,对应的参数分别为,,‎ 则 因为是,的中点,‎ 所以 当时,‎ 当时,,‎ 因为,,所以,.‎ 综上所述,,.‎ ‎9.(2020•汉阳区校级模拟)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为:为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为:,.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程并指出曲线类型;‎ ‎(2)若曲线与直线交于不同的两点、,,求的值.‎ ‎【解析】(1)由,消去参数,得,‎ 令,,‎ 则有,‎ 即,曲线为等轴双曲线;‎ ‎(2)将直线的极坐标方程代入,得,‎ 曲线与曲线交于不同的两点、,‎ 则,‎ 又,可得或,‎ 设,,,,‎ 则,‎ 解得:,‎ 或,得或.‎ ‎10.(2020•运城模拟)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求曲线上的点到直线的距离的最大值.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),消去参数得到普通方程为.‎ 直线的极坐标方程为.根据转换为普通方程为.‎ ‎(2)设点,则点到直线的距离,‎ 当时,点到直线的距离的最大值为.‎ ‎11.(2020•金凤区校级四模)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线与轴,轴分别交于,两点,点是曲线上任意一点,求面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)曲线的参数方程为为参数),消去参数得:.‎ 直线的极坐标方程为.根据转换为直角坐标方程为.‎ ‎(2)直线与轴的交点坐标为与轴的交点坐标为,‎ 设点到直线的距离,‎ 由于,‎ 所以.‎ ‎12.(2020•湖北模拟)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设,直线与曲线的交点为,,线段的中点为,求.‎ ‎【解析】(1)直线的参数方程为为参数),转换为普通方程为;‎ 曲线的极坐标方程为,根据,转换为直角坐标方程为 ‎.‎ ‎(2)将代入到中得到 设,所对应的参数分别为,,则 线段的中点所对应的参数为 ‎13.(2020•香坊区校级一模)已知曲线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与曲线交于,两点,与直线交于点,射线与曲线交于,两点,求的面积.‎ ‎【解析】(Ⅰ),,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又直线的极坐标方程为,‎ ‎.‎ 曲线的极坐标方程为,‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,设点的极坐标为,点的极坐标为,点的极坐标为 ‎.‎ ‎.‎ 点到直线的距离为,‎ ‎.‎ ‎14.(2020•衡阳三模)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出直线及曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若上的点到的距离的最小值为,求实数的值 ‎【解析】(1)直线的参数方程为为参数),消去可得:直线直角坐标方程为 依题:,‎ 由及可得:曲线的直角坐标方程为 ‎(2)令曲线上动点,‎ 则到直线的距离 ‎(其中,,‎ 因为,‎ 所以 ‎.当时,,‎ 解得或(舍去)‎ ‎.当时,,‎ 解得或(舍去)‎ 故所求的值为9或 ‎15.(2020•襄州区校级四模)在平面直角坐标中,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)设,直线与曲线的交点为、,线段的中点为,求的值.‎ ‎【解析】(1)直线的参数方程为为参数).消去参数可得直线的普通方程为,‎ 由,得,‎ 则有,‎ 即,‎ 则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入,得,设两根为,,则;‎ 所以,线段的中点为对应的参数为,‎ 所以,.‎ ‎16.(2020•武昌区校级模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线为参数),为参数).‎ ‎(1)将,的参数方程化为普通方程;‎ ‎(2)曲线与交于,两点,点,求的值.‎ ‎【解析】(1)已知曲线为参数),转换为直角坐标方程为.‎ 曲线为参数).转换为直角坐标方程为.‎ ‎(2)把直线的参数方程代入,‎ 整理得,即,‎ 所以,.‎ 则.‎