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- 2021-05-14 发布
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05高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案
(黑龙江 吉林 广西 内蒙古 新疆)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第I卷(选择题 共60分)
注意事项:
1.答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题
(1)函数的最小正周期是
(A) (B) (C) (D)
(2)正方体中,、、分别是、、的中点.那么,正方体的过、、的截面图形是
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形
(3)函数的反函数是
(A)(B)
(C)(D)
(4)已知函数在内是减函数,则
(A)0<≤1(B)-1≤<0(C)≥1(D)≤-1
(5)设、、、,若为实数,则
(A)(B)
(C)(D)
(6)已知双曲线的焦点为、,点在双曲线上且轴,则到直线的距离为
(A)(B)(C)(D)
(7)锐角三角形的内角、满足,则有
(A)(B)
(C)(D)
(8)已知点,,.设的平分线与相交于,那么有,其中等于
(A)2(B)(C)-3(D)-
(9)已知集合,,则为
(A)或(B)或
(C)或 (D)或
(10)点在平面上作匀速直线运动,速度向量(即点的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位).设开始时点的坐标为(-10,10),则5秒后点的坐标为
(A)(-2,4)(B)(-30,25)(C)(10,-5)(D)(5,-10)
(11)如果,,…,为各项都大于零的等差数列,公差,则
(A)(B)(C)++(D)=
(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为
(A)(B)2+(C)4+(D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚
3.本卷共10小题,共90分
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上
(13)圆心为(1,2)且与直线相切的圆的方程为_____________.
(14)设为第四象限的角,若,则_____________.
(15)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_____________个.
(16)下面是关于三棱锥的四个命题:
①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中,真命题的编号是_____________.(写出所有真命题的编号)
三、解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
设函数,求使的取值范围.
(18) (本小题满分12分)
已知是各项均为正数的等差数列,、、成等差数列.又,….
(Ⅰ)证明为等比数列;
(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和,求数列的首项和公差.
(注:无穷数列各项的和即当时数列前项和的极限)
(19)(本小题满分12分)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6,本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数.求的概率分布和数学期望.(精确到0.0001)
(20)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD垂直于底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.
(Ⅰ)求证:EF垂直于平面PAB;
(Ⅱ)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.
(21)(本小题满分14分)
P、Q、M、N四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
(22)(本小题满分12分)
已知,函数.
(Ⅰ)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(Ⅱ)设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
参考答案
1-6: CDBBCC 7-12:ACACBC
(2)分析:本题主要考查学生对截面图形的空间想像,以及用所学知识进行作图的能力,通过画图,可以得到这个截面与正方体的六个面都相交,所以截面为六边形,故选D.
(12) 解析一:由题意,四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体,并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1
如图一所示显然设分别为的中点,
图一
在棱长为2的正四面体中,
,
∴ ,且.
作,则,
由于,
∴
∴
故选C
解析二:由题意,四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体,并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1 如图二所示, 正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体,其相似比为:
,所以
所以
图二
解析三:由题意,四个半径为1的小球的球心,恰好构成一个棱长为2的正四面体,并且各面与正四面体的容器的各对应面的距离都为1 如图二所示,正四面体与有共同的外接球球心的相似正四面体,从而有
,
又, 所以
由于,
所以
13.;14. ;15. 192;16. ①,④
(13)分析:本题就是考查点到直线的距离公式,所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x-12y-7=0的距离:,再根据后面要学习的圆的标准方程,就容易得到圆的方程:
(16)分析:②显然不对,比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况,侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等,说明顶点到底面三边的距离(斜高)相等,根据射影长的关系,可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。由于在底面所在的平面内,到底面三边所在直线的距离相等的点有4个:内心(本题的中心)1个、旁心3个。因此不能保证三棱锥是正三棱锥.
17. 本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法,考查分析问题的能力和运算能力
解:∵f (x)=2|x+1|-|x-1|≥2=, 即|x+1|-|x-1|≥
当x≤ -1时,原不等式化为:-2≥(舍);
当-11时, 原不等式化为:2≥,
此时,x>1
故原不等式的解集为:
18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力
⑴证明:设{an}中首项为a1,公差为d.
∵lga1,lga2,lga4成等差数列 ∴2lga2=lga1·lga4 ∴a22=a1·a4.
即(a1+d)2=a1(a1+3d) ∴d=0或d=a1
当d=0时, an=a1, bn=, ∴,∴为等比数列;
当d=a1时, an=na1 ,bn=,∴,∴为等比数列
综上可知为等比数列
⑵∵无穷等比数列{bn }各项的和
∴|q|<1, 由⑴知,q=, d=a1 . bn=
∴, ∴a1=3
∴
19. 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力
解:ξ的所有取值为3,4,5
P(ξ=3)=;
P(ξ=4)=;
P(ξ=5)=
∴ξ的分布列为:
ξ
3
4
5
P
0.28
0.3744
0.3456
∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656
20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想象能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力
解:方法一:
⑴取PA中点G, 连结FG, DG
⑵设AC, BD交于O,连结FO.
设BC=a, 则AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.
设C到平面AEF的距离为h.
∵VC-AEF=VF-ACE, ∴
即 ∴
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为.
即AC与平面AEF所成角为
方法二:以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如图所示的直角坐标系,
(1)证明:
设,其中,则,
,
又,
(2)解:由得,
可得
,
则异面直线AC,PB所成的角为,
,
又,AF为平面AEF内两条相交直线,
,
AC与平面AEF所成的角为,
即AC与平面AEF所成的角为
21. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质,两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等式的性质等基本知识及综合分析能力
解:∵. 即.
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时,另一条直线必垂直于y轴.
不妨设MN⊥y轴,则PQ⊥x轴.
∵F(0, 1) ∴MN的方程为:y=1,PQ的方程为:x=0分别代入椭圆中得:|MN|=, |PQ|=2
∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2
当MN,PQ都不与坐标轴垂直时,设MN的方程为y=kx+1 (k≠0),代入椭圆中得
(k2+2)x2+2kx-1=0,
∴x1+x2=, x1·x2=
∴
同理可得:
∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|==
(当且仅当即时,取等号).
又S四边形PMQN =,∴此时, S四边形PMQN
综上可知:(S四边形PMQN )max=2, (S四边形PMQN )min=
22. 本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力
解:⑴令=0 即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0 ∴x2-2(a-1)x-2a=0
∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0 ∴x1=, x2=
又∵当x∈(-∞, )时,>0;
当x∈(, )时,<0;
当x∈(, +∞)时,>0
∴x1, x2分别为f (x)的极大值与极小值点.
又∵;当时.
而f ()=<0.
∴当x=时,f (x)取得最小值
⑵f (x)在[-1, 1]上单调,则≥ 0(或≤ 0)在[-1, 1]上恒成立
而=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1).
∴≥ 0(或≤ 0) 即g(x) ≥ 0(或≤ 0)
当g(x) ≥ 0在[-1, 1]上恒成立时,有
①当-1≤ a-1 ≤1即0≤ a ≤2时, g(x)min=g(a-1)= -(a2+1) ≥ 0(舍);
②当a-1>1即a ≥ 2时, g(x)min=g(1)= 3-4a ≥ 0 ∴a≤(舍).
当g(x) ≤ 0在[-1, 1]上恒成立时,有
①当-1≤ a-1 ≤ 0即0≤ a ≤ 1时, g(x)max=g(1)=3-4a ≤ 0, ∴≤ a ≤ 1;
②当0< a-1 ≤ 1即1< a ≤ 2时, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴1< a ≤ 2;
③当1< a-1即a > 2时, g(x)max=g(-1)= -1 ≤ 0, ∴a >2
故a∈[,+∞)