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- 2021-05-14 发布
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专题11 空间中的平行与垂直-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练
2014高考对本内容的考查主要有:
(1)主要考查空间概念,空间想象能力,点线面位置关系判断,表面积与体积计算等,A级要求
(2)主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明,B级要求
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理:a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b.
2.平行关系的转化
两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行,而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行,所以要注意转化思想的应用,以下为三种平行关系的转化示意图.
3.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理:m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理:a⊂β,a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
4.垂直关系的转化
与平行关系之间的转化类似,它们之间的转化如下示意图.
在垂直的相关定理中,要特别注意记忆面面垂直的性质定理:两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面,当题目中有面面垂直的条件时,一般都要用此定理进行转化.
考点1、空间几何体的认识及表面积与体积
的计算
【例1】如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A BB1D1D的体积为________cm3.
【变式探究】 已知正六棱锥P ABCDEF的底面边长为1 cm,侧面积为3 cm2,则该棱锥的体积为________cm3.
体积=××=(cm3).
【答案】
考点2、空间中点线面位置关系的判断
【例2】 设α,β,γ是三个不重合的平面,l是直线,给出下列四个命题:
①若α⊥β,l⊥β,则l∥α;②若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
③若l上有两点到α的距离相等,则l∥α;④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.
其中正确命题的序号是________.
【解析】 由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断,真命题为②④.
【答案】②④
【方法技巧】这类题为高考常考题型,其实质为多项选择.主要考查空间中线面之间的位置关系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,做到不漏选、多选、错选.
【变式探究】 设l是直线,α,β是两个不同的平面①若l∥α,l∥β,则α∥β;②若l∥α,l⊥β,则α⊥β;③若α⊥β,l⊥α,则l⊥β;④若α⊥β,l∥α,则l⊥β,则上述命题中正确的是________.
难点1、线线、线面、面面平行与垂直的证明
【例1】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
【方法技巧】证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系,一要熟练掌握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的常见证明方法,如证明线面平行,既可以构造线线平行,也可以构造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路;三要注意表述规范,推理严谨,避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论.
【变式探究】 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.
(1)求证:AB∥平面PCD;
(2)求证:BC⊥平面PAC;
(3)若M是PC的中点,求三棱锥M ACD的体积.
【证明】(1)证明 ∵AB∥DC,且AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD.
∴AB∥平面PCD.
(2)证明 在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形
1.对于直线m,n和平面α,β,γ,有如下四个命题:
①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;
②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
④若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β.
其中正确命题的序号是________.
2.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
①若l⊥α,m⊂α,则l⊥m;②若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
③若l∥α,m⊂α,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则l∥m.
则其中正确命题的序号是________.
【解析】 根据线面垂直的判定定理、性质定理可知①②正确.
【答案】①②
3.如图,在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC中点,则三棱锥B B1EF的体积为________.
4.设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号).
①a⊂α,b∥β,α⊥β;②a⊥α,b⊥β,α⊥β;
③a⊂α,b⊥β,α∥β;④a⊥α,b∥β,α∥β.
5.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
6.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.
上面命题中,真命题的序号______(写出所有真命题的序号).
7.在正方体ABCD A1B1C1D1中,点M,N分别在AB1,BC1上(M,N不与B1,C1重合),且AM=BN,那么①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1;④MN与A1C1异面,以上4个结论中,正确结论的序号是________.
8.在正三棱锥P ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,下列结论:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE,其中正确结论的序号是________.
9.如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.
10. 如图,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD为菱形,OA⊥平面ABCD, E为OA的中点,F为BC的中点,求证:(1)平面BDO⊥平面ACO;(2)EF∥平面OCD.
【证明】
11. 如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分别是A1C1,BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)证明:C1F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P B1C1F的体积.
在矩形ACC1A1中,E,M都是中点,∴C1E綉AM,四边形AMC1B是平面四边形,∴C1M∥AE