高考数学指导：导数的综合应用 9页

高考数学指导：导数的综合应用 导数既是高中数学的新增内容，又是高考的新热点，导数知识的综合运用涉及到函数、方程、不等式、物体运动的瞬时速度和应用性问题.本文从以下八个方面研究导数的应用,供大家参考.‎ ‎(一)求与曲线的切线斜率有关的问题 曲线在点处的切线斜率为，切线方程为 例1 (03年高考题)设曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为则点P到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）.‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 分析：本题应把曲线的切线斜率、二次函数的性质及不等式的性质结合起来思考.‎ 解：∵曲线在点处的切线斜率是 又曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为因此斜率的取值范围是,即又曲线对称轴方程为点P到曲线对称轴距离为其范围是, 故选(B).‎ 例2 (03年高考题)已知抛物线 如果直线同时是的切线，称是的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.‎ ‎(1)取什么值时,有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程；‎ ‎(2)若有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.‎ 分析:先分别假设两抛物线上的切点，写出相应切线方程，再由它们是同一个方程，得出对应项系数相等进行思考.‎ 解:(1)函数曲线在点的切线方程即①‎ 函数曲线在点的切线方程：即②‎ 若直线是过的公切线，则①和②都是的方程，所以消去 若判别式此时点P与Q重合.有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为 ‎(2)略.‎ ‎(二)求运动物体的瞬时速度 物体的运动方程为则物体的瞬时速度为 例3 向高为‎8m,上口直径为‎8m的倒圆锥形容器内注水,其速度为每分种‎4m,求当水深为‎5m时,水面上升的速度.‎ 分析：由注水体积与容器内的水的体积相等，建立水深与时间的函数关系，再用导数方法思考相应时刻水深的变化率.‎ 解:设t分钟后水深为y m,此时水面半径为m,‎ 当.‎ 答:水面上升的速度为每分钟米.‎ 例4 两船同时从同一码头出发,甲船以每时‎30公里的速度向北行驶,乙船以每时‎40公里的速度向东行驶,求两船相离的速度.‎ 分析：本题由物体运动距离与时间的关系，思考物体在各时刻的运动状态.‎ 解:依题意有,两船的距离d与时间t的函数关系为:,其中两船相离的速度为每时公里.‎ ‎(三)求函数单调区间 函数内可导,若则在内为增函数(或减函数).即:①单增(减)区间为的解集为②在单增(减),在内恒成立.‎ 例5 (02年高考题)已知函数在x=1处有极小值，试确定a,b的值，并求出的单调区间.‎ 分析：由函数值和极值确定a、b，再根据导函数值的符号确定函数单调区间.‎ 解：由已知,可得①，‎ ‎②.由①②得.故. .‎ 令 在为单增；在为单减.‎ 例6 (03年高考题)设求函数的单调区间.‎ 分析:本题是含参数函数的单调区间问题,要对参数进行分类讨论.‎ 解：‎ ‎(1)当 时，对所有，有 此时在内单调递增.‎ ‎(2)当时，对所有，有 此时在内单调递增,在内单调递增.‎ 又在处连续，故在内单调递增.‎ ‎(3)当时，令，即 解得 在内单增,在内单增.‎ 令，即得 故在内单调递减.‎ ‎(四)求函数的最值 求可导函数的极值的步骤为：①求导数②求方程的根;③检验在方程根左右的符号，若左正右负，则在这个根处取极大值；若左负右正，则在这个根处取极小值；若左右符号相同，则在这个根处没有极值.‎ 若在上连续，在内可导，求在上的最值的步骤为：①求内的极值；②将的各个极值与、比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.‎ 例7 (00年上海高考题)已知函数(1)当时，求函数的最小值;(2)若对任意恒成立,试求实数a的取值范围.‎ 分析：本题由导函数值的符号确定函数的单调性,再求其最值.‎ 解：(1)上单增，最小值为 ‎(2)对恒成立恒成立恒成立.设,则a大于u的最大值,又是减函数，当时u取得最大值 例8 求函数在上的最大值和最小值.‎ 分析：先用分段函数表示，思考连续函数在闭区间上的极值及在端点处的值，即可得出最值.‎ 解:∵上连续，必存在最大值和最小值.‎ ‎∵‎ 函数在x=0处不可导，且解得 ‎∵‎ 函数在x=0处取得最小值0；在x=处取得最大值10.‎ ‎(五)求参数的范围 此类问题考虑参数与变量分离的方法解决.‎ 例9 (00年高考题)设函数,其中.(1)解不等式；(2)求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.‎ 分析：要使函数单调则在上恒正或恒负.‎ 解：(1)略.‎ ‎(2)当时,当时，又a>0,当且仅当时,上恒小于0.故上是单减函数.‎ 例10 (02年上海高考题)已知函数(1)当时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使在上是单调函数.‎ 解: (1)令则比较得的最大值37，最小值1.‎ ‎(2)要使在上单调，当且仅当即总成立.‎ ‎(六)求函数解析式 ‎ 此类问题往往先用待定系数法设出函数的解析式,再用函数性质思考.‎ 例11 (95年上海高考题)设是二次函数，方程有两个相等的实根，且求的表达式.‎ ‎ 分析:由待定系数法设出二次函数的解析式,用导函数比较系数和判别式为零来解.‎ ‎ 解：设则又又方程有两个相等实根, 故 ‎ 例12 已知是一个一元三次函数, 在处分别取得极值求此函数的解析式.‎ 分析:由函数值和导函数值列出方程组思考解决.‎ 解:设则依题意有：‎ ‎①②‎ ‎③④‎ 解①②③④的方程组,得 即 ‎(七)证明不等式 这是导数问题的新题型, 函数、方程、不等式相互关联,解题时往往构造函数，考虑函数的性质.‎ 例13 (01年高考题)已知是正整数，且 ‎(1)证明:(2)证明:‎ 分析：本题不等式（2）等价于，即，构造函数思考其单调性即可.‎ 证明:(1)略.‎ ‎(2)考查函数则由知,上单减.‎ 又 故 例14若在取得极值 求证：‎ 分析：由s,t是的两实根，考查的根的分布.‎ 证明：∵‎ ‎∵取得极值，是方程得两根，‎ 由根与系数关系知均大于0.又 在区间内分别有一根.∵‎ ‎(八)解应用问题 解决数学应用问题，先构造目标函数，再根据导数和不等式知识确定函数的极值或最值.‎ 例15 一种变压器的铁心的截面为正十字型，为保证所需的磁通量，要求十字型应具有cm的面积，问应如何设计正十字型的宽x和长y，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁心上的铜线最省.‎ 解:设由条件知 设外接圆半径为R,记则 令此时最小，即R最小，从而周长最小，此时cm,cm.‎ 例16 (01年高考题)设计一幅宣传画,要求画面面积为‎4840cm,画面的宽与高的比为,画面的上、下各‎8cm空白,左、右各留‎5cm空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？‎ 解:设画面高为x cm,宽为cm,则设纸张面积为S，有令得此时S有最小值,‎ 从而 答:画面的高为‎88cm,宽为‎55cm,能使宣传画所用纸张面积最小.‎