高考数学模拟卷理科含答案 15页

‎2010年高考数学模拟卷(理科)‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分150分, 考试时间120分钟。‎ 选择题部分(共50分)‎ 参考公式：‎ 如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高 P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高 Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式 棱台的体积公式 S = 4πR2‎ ‎ 球的体积公式 其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积, V=πR3 ‎ h表示棱台的高 其中R表示球的半径 一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1) 设非空集合A, B满足AB, 则 ‎(A) x0∈A, 使得x0B (B)x∈A, 有x∈B ‎ ‎(C) x0∈B, 使得x‎0‎A (D)x∈B, 有x∈A ‎(2) 在二项式(x－)6的展开式中, 常数项是 ‎(A) －10 (B) －15 (C) 10 (D) 15‎ ‎(3) 已知a, b是实数, 则“a = b”是“a3 = b‎3 ”‎的 ‎(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ‎(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎(4) 若复数z与其共轭复数满足: |z|=, z +=2, 则 ‎(A) z2－2z＋2＝0 (B) z2－2z－2＝0‎ ‎(C) 2z2－2z＋1＝0 (D) 2z2－2z－1＝0‎ 开始 k = 0‎ S = 100‎ S > 0 ?‎ k＝k＋1‎ S = S－2k 是 输出k 结束 否 ‎(第5题)‎ ‎(5) 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k的值是 ‎(A) 4 (B) 5 ‎ ‎(C) 6 (D) 7‎ ‎(6) 设向量, 满足:, , , ‎ 则与的夹角是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(7) 在Rt△ABC中, ∠A＝, ∠B＝, AB=1. 若圆O的圆心在直角边AC上, 且与AB 和BC所在的直线都相切, 则圆O的半径是 ‎1‎ ‎1‎ 正视图 侧视图 ‎1‎ 俯视图 ‎1‎ ‎(第8题)‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎(8) 若某多面体的三视图(单位: cm)如图所示, 则 此多面体的体积是 ‎ ‎(A) cm3 (B) cm3‎ ‎(C) cm3 (D) cm3‎ ‎(9) 过双曲线(a>0, b>0)的右焦点F作圆的切线FM(切点为M), ‎ 交y轴于点P. 若M为线段FP的中点, 则双曲线的离心率是 ‎ (A) (B) (C) 2 (D) ‎ ‎(10) 在直角坐标系中, 如果两点A(a, b), B(－a, －b)在函数的图象上, 那么称 ‎[A, B]为函数f (x)的一组关于原点的中心对称点 ([A , B]与[B, A]看作一组). 函数 关于原点的中心对称点的组数为 ‎(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 非选择题部分 (共100分)‎ 二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。‎ ‎(11) 若实数满足不等式组则3x－y的最小值是________.‎ ‎(12) 若等比数列{an}的前n项和Sn满足: an＋1＝a1 Sn＋1(n∈N*), 则a1=________.‎ ‎(13) 已知a0≠0.‎ ‎① 设方程a0x＋a1＝0的1个根是x1, 则x1＝－；‎ ‎② 设方程a0x2＋a1x＋a2＝0的2个根是x1, x2, 则x1 x2＝；‎ ‎③ 设方程a0x3＋a1x2＋a2x＋a3＝0的3个根是x1, x2, x3, 则x1 x2 x3＝－；‎ ‎④ 设方程a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝0的4个根是x1, x2, x3, x4, 则x1 x2 x3 x4＝；‎ ‎ ……‎ 由以上结论, 推测出一般的结论:‎ 设方程a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋…＋an-1x＋an＝0的n个根是x1, x2, …, xn ,‎ 则x1 x2…xn＝________.‎ ‎(14) 设直线3x＋4y－5＝0与圆C1: 交于A, B两点, 若圆C2的圆心在线段AB上, 且圆C2与圆C1相切, 切点在圆C1的劣弧上, 则圆C2的半径的最大值是________.‎ A B C D ‎(第15题)‎ ‎(15) 如图, 某城市的电视发射塔CD建在市郊的小山上, 小山的高 BC为‎35米, 在地面上有一点A, 测得A, C间的距离为‎91米, ‎ 从A观测电视发射塔CD的视角(∠CAD)为, 则这座电视 发射塔的高度CD为________米.‎ ‎(16) 将5人分成3组, 每组至多2人, 则不同的分组方式种数是________.‎ ‎(17) 若函数在区间上单调递增, 则实数a的取值范围是________.‎ 三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。‎ ‎(18) (本题满分14分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且满足 ‎.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;‎ ‎(Ⅱ) 若△ABC的面积是, 求的值.‎ ‎(19) (本题满分14分) 在由1,2,3,4,5组成可重复数字的三位数中任取一个数.‎ ‎(Ⅰ) 求取出的数各位数字互不相同的概率;‎ ‎(Ⅱ) 记为组成这个数的各位数字中不同的偶数个数(例如:若这个数为212, 则 ‎). 求随机变量的分布列及其数学期望E. ‎ ‎(20) (本题满分15分) 如图, 在平面内直线EF与线段AB相交于C点, ∠BCF＝, 且 AC = CB = 4, 将此平面沿直线EF折成的二面角－EF－, BP⊥平面, 点P 为垂足.‎ ‎(Ⅰ) 求△ACP的面积;‎ ‎(第20题)‎ B A F C C B P A E E F ‎(Ⅱ) 求异面直线AB与EF所成角的正切值. ‎ x y P O Q F ‎(第21题)‎ ‎(21) (本题满分15分) 已知抛物线C的顶点在原点, 焦点为F(0, 1).‎ ‎(Ⅰ) 求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 在抛物线C上是否存在点P, 使得过点P的直 线交C于另一点Q, 满足PF⊥QF, 且PQ与C 在点P处的切线垂直? 若存在, 求出点P的坐标; ‎ 若不存在, 请说明理由.‎ ‎(22) (本题满分14分)已知函数().‎ ‎(Ⅰ) 当a = 0时, 求函数的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ) 若函数在区间[0, 2]上的最大值为2, 求a的取值范围. ‎ 数学测试卷(理科)答案及评分参考 说明:‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。‎ 二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。‎ 三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分(第13题除外)。‎ 五、未在规定区域内答题, 每错一个区域扣卷面总分1分。‎ 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。‎ ‎(1) B (2) D (3) C (4) A (5) D ‎(6) D (7) C (8) C (9) A (10) B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题4分, 满分28分。‎ ‎(11) 1 (12) 1 (13) (－1)n( (－1)n与每对一个得2分)‎ ‎(14) 1 (15) 169 (16) 15 (17) [1,)‎ 三、解答题: 本大题共5小题, 满分72分。‎ ‎(18) 本题主要考查正弦、余弦定理, 三角公式变换, 三角形面积公式及向量运算等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ) 解: 利用正弦定理, 得 ‎ sinCcosB+sinBcosC = 4sinAcosA,‎ ‎ sin(B+C) = 4sinAcosA,‎ 即 sinA = 4cosAsinA,‎ 所以cosA =. ……………………(7分)‎ ‎(Ⅱ) 解: 由(I), 得 ‎ sinA =,‎ 由题意,得 bcsinA＝,‎ 所以bc = 8,‎ 因此2 . …………………(14分)‎ ‎(19) 本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概括能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ) 解: 记“取出的数各位数字互不相同”为事件B, 则 P(B)＝ . …………………(5分)‎ ‎(Ⅱ) 解: 随机变量的取值为0, 1, 2. 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ …………………(11分)‎ 所以的数学期望 E＝0×+1×+2×= . …………………(14分)‎ ‎(20) 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 空间向量的概念与运算等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分15分。‎ 方法一: ‎ ‎(Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足, 连结BM, 则∠BMP为二面角－EF－的平面角. 以点P为坐标原点, 以直线PM为x轴, 射线PB为z轴的正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz.‎ x y z C B P A E M z F ‎ 在Rt△BMC中,‎ 由∠BCM＝, CB = 4, 得 ‎ ‎ CM =, BM =2.‎ 在Rt△BMP中,‎ 由∠BMP＝, BM =2, 得 ‎ MP = 1, BP =.‎ 故P(0,0,0), B(0, 0,), C(－1,－, 0), M(－1,0,0).‎ 由∠ACM＝, 得 A(1,－4, 0).‎ 所以= (1,,0), = (2,－,0),‎ 则 －10,‎ cos∠ACP = －,‎ sin∠ACP = .‎ 因此S△ACP＝. …………………(7分)‎ ‎(Ⅱ) 解:＝(1,－4,－), ＝(0,－2,0),‎ ‎ 24,‎ ‎ cos<>=,‎ 所以AB与EF所成角的正切值为. …………………(15分)‎ 方法二:‎ ‎(Ⅰ) 解: 如图, 在平面内, 过点P作PM⊥EF, 点M为垂足,‎ 连结BM C B P A E M Q F , 则∠BMP为二面角－EF－的平面角.‎ 在Rt△BMC中,‎ 由∠BCM＝, CB = 4, 得 ‎ CM =, BM=2.‎ 在Rt△BMP中,‎ 由∠BMP＝, BM=2, 得 MP=1.‎ ‎ 在Rt△CMP中,‎ 由CM =, MP=1, 得 CP=, cos∠PCM＝, sin∠PCM =.‎ 故 sin∠ACP = sin(－∠PCM)＝.‎ 所以S△ACP＝. …………………(7分)‎ ‎(Ⅱ) 解: 如图, 过点A作AQ∥EF, 交MP于点Q ,‎ 则∠BAQ是AB与EF所成的角, 且AQ⊥平面BMQ .‎ 在△BMQ中,‎ 由∠BMQ＝, BM＝MQ＝2, 得 ‎ BQ = 2.‎ 在Rt△BAQ中,‎ ‎ 由AQ＝AC＋CM ＝4, BQ = 2, 得 ‎ tan∠BAQ =.‎ 因此AB与EF所成角的正切值为. …………………(15分)‎ ‎(21) 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ) 解: 设抛物线C的方程是x2 = ay,‎ 则, ‎ 即a = 4.‎ 故所求抛物线C的方程为x2 = 4y . …………………(5分)‎ ‎(Ⅱ) 解: 设P(x1, y1), Q(x2, y2), ‎ 则抛物线C在点P处的切线方程是 ‎,‎ 直线PQ的方程是 ‎.‎ 将上式代入抛物线C的方程, 得 ‎,‎ 故 x1+x2 =, x1x2 =－8－4y1 ,‎ 所以 x2=－x1 , y2=+y1+4 .‎ 而＝(x1, y1－1), ＝(x2 , y2－1) ,‎ ×＝x1 x2＋(y1－1) (y2－1)‎ ‎＝x1 x2＋y1 y2－(y1＋y2)＋1‎ ‎＝－4(2+y1)+ y1(+y1+4)－(+2y1+4)+1‎ ‎＝－2y1 －－7‎ ‎＝(＋2y1＋1)－4(+y1+2)‎ ‎＝(y1＋1)2－‎ ‎＝‎ ‎＝0,‎ 故 y1＝4, 此时, 点P的坐标是(±4,4) . ‎ 经检验, 符合题意.‎ 所以, 满足条件的点P存在, 其坐标为P(±4,4). …………………(15分)‎ ‎(22) 本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识，同时考查逻辑推理能力和创新意识。满分14分。‎ ‎(Ⅰ) 解: 当a = 0时, f (x)＝x3－4x2＋5x ,‎ ‎>0,‎ 所以 f (x)的单调递增区间为, . …………………(6分)‎ ‎(Ⅱ) 解: 一方面由题意, 得 ‎ ‎ 即 ;‎ 另一方面当时, ‎ f (x) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x ,‎ 令g(a) = (－2x3＋9x2－12x＋4)a＋x3－4x2＋5x, 则 g(a) ≤ max{ g(0), g() }‎ ‎= max{x3－4x2＋5x , (－2x3＋9x2－12x＋4)＋x3－4x2＋5x }‎ ‎= max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 },‎ f (x) = g(a)‎ ‎≤ max{x3－4x2＋5x , x2－x＋2 },‎ 又{x3－4x2＋5x}=2, {x2－x＋2}=2, 且f (2)＝2,‎ 所以当时, f (x)在区间[0,2]上的最大值是2.‎ 综上, 所求 a的取值范围是. …………………(14分)‎