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  • 2021-05-14 发布

江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题平面向量

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专题5 平面向量 ‎【典型例题】‎ 例1(填空题)‎ ‎(1)给出下列命题:‎ ① ‎0=0;‎ ‎② 对于实数m和向量(m∈R),若,则; ‎ ‎③ 若0,,则;‎ ‎④ 对任意向量都成立;‎ ‎⑤对任意向量,有. ‎ 其中不正确的序号是 .‎ 解析:①不正确.0=0,是零向量,而0·=0,是数量0;‎ ‎②不正确.当m=0时,都等于0,这时,向量不一定相等;‎ ‎③不正确.∵,∴·()=0,又∵0,∴=0或与垂直;‎ ‎④不正确.∵表示一个与共线的向量,表示一个与共线的向量,‎ 不一定共线,∴与不一定相等;‎ ‎⑤正确.∵=·=,∴.‎ 综上所述,不正确命题的序号是①②③④.‎ 点评:向量及其运算与数及其运算可以类比,但并不是所有的实数运算法则都可以推广到向量.‎ ‎(2)设与是两个不共线的向量,且向量与共线,则的值为 .‎ 解析:因为与共线,则有,即 所以.‎ ‎(3)平面向量与的夹角为,,则 .‎ ‎ 解析:,,,‎ A B C D E ‎,.‎ ‎(4)如图,正方形ABCD内有一个正,设,则等于 . ‎ ‎(用、表示)‎ 解析:因为,‎ ‎,故.‎ ‎(5)如图,设P、Q为△ABC内的两点,且, =+,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 . ‎ ‎5-12‎ N ‎ M ‎ Q P ‎ C ‎ B A ‎ 解析:如下图,设,,则,由平行四边形法则,知NP∥AB,‎ 所以=,同理可得,‎ ‎ 故. ‎ ‎(6)如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为 . ‎ 解析:,‎ 设.‎ ‎(7)设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标 的点,向量,设的夹角,则 .‎ 解析:,即为向量与x轴的夹角,所以,所以.‎ ‎(8)已知,且关于x的函数在R上有极值,‎ 则与的夹角范围为 .‎ 解析:在R上有极值方程=0在R上有两个不同的实数根,则,设向量的夹角为,则,所以.‎ ‎(9)如图,在中,是边上一点,‎ D C ‎ A B 则.‎ 解析:‎ ‎=‎ ‎.‎ ‎5-12‎ 点评:本题用定义也能求解,但较繁,由,可得,则,在中可得,又夹角大小为,,‎ 所以;还可以建立坐标用坐标法求解.‎ 向量数量积的定义、向量的拆分、向量的坐标化是处理平面图形中向量数量积问题的常用方法.‎ ‎(10)定义,其中是△内一点,、、分别是△、△、△的面积,已知△中,,, ,则的最小值是 .‎ 解析:由,‎ 则,从而,‎ 所以,‎ 当且仅当时取等号.‎ 例2已知,其中.‎ ‎(1)求证:与互相垂直;‎ ‎(2)若与()的长度相等,求.‎ 解:(1)因为 ‎, 所以与互相垂直.‎ ‎(2)∵||=||,∴||2=||2,展开可得=0.‎ ‎∵,∴,‎ 又∵,∴.‎ 例3已知向量.‎ ‎(1)若△为直角三角形,求k值;‎ ‎(2)若△ABC为等腰直角三角形,求k值.‎ 解:(1),‎ 若,则;‎ 若,则无解;‎ ‎5-12‎ 若,则,‎ 综上所述,当时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形;‎ 当时,△ABC是以C为直角顶点的直角三角形.‎ ‎(2)当k=1时,;‎ 当时,‎ ‎;‎ 当时,‎ ‎. ‎ 综上所述,当k=1时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.‎ 例4已知向量,,其中O为坐标原点. ‎ ‎(1)若,求向量与的夹角;‎ ‎(2)若≥对任意实数都成立,求实数的取值范围.‎ 解:(1)设向量与的夹角为,则,‎ 当时,,;当时,,.‎ 故当时,向量与的夹角为;当时,向量与的夹角为.‎ ‎(2)对任意的恒成立,‎ 即对任意的恒成立,‎ 即对任意的恒成立,‎ 所以或,解得或.‎ 故所求实数的取值范围是∪.     ‎ 另解:由,可得的最小值为,然后将已知条件转化为,由此解得实数的取值范围.‎ 例5 如图中,是以 ‎5-12‎ 为圆心,以1为半径的圆的一条直径.问:与的夹角为何值时,有最大值和最小值. ‎ 解:∵, ∴ ‎ ‎,‎ 当,即时, ; 当,即时, .‎ A B C E F M N 例6如图,在边长为1的正三角形中,分别是边上的点,若 ‎,.设的中点为,的中点为.‎ ‎⑴若三点共线,求证;‎ ‎⑵若,求的最小值. 学科网 解:⑴由三点共线,得, ‎ 设(R),即,‎ 所以,所以.‎ ‎⑵因为=,‎ 又,所以,‎ 所以 ‎=,‎ 故当时,.‎ ‎5-12‎ ‎【新题备选】‎ ‎1.定义是向量a和b的“向量积”,它的长度其中为 向量和的夹角,若则= .‎ 解:由条件,则, ,‎ 所以,.‎ ‎2.已知、、是直线上的不同的三点,是外一点,向量、、满足:,记,则函数的解析式为 .‎ 解:,‎ ‎∴.‎ 又、B、C在同一条直线上,‎ ‎∴, ∴.‎ 即.‎ ‎3.如图,在正方形中,已知,为的中点,若为正方形内(含边界)任意一点,则的最大值是 .‎ 解:以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立直角坐标系,‎ ‎ 设N(x,y)则,,则 ‎ 因为,由线性规划的知识可得.‎ ‎4.在中,‎ ‎(1)若为直线上一点,且,求证:;‎ ‎(2)若,,且为线段上靠近的一个三等分点,求的值;‎ ‎(3)若,,且,,,…,为线段的个等分点,求的值.‎ 解:(1)由,得,‎ 即,因为,所以; ‎ ‎5-12‎ ‎(2),‎ 因为,, 所以.‎ 由于为线段上靠近的一个三等分点,故,所以.‎ ‎(3)=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎==.‎ ‎5-12‎ ‎【专题训练】‎ 一、填空题 ‎1.是平面内不共线的两个向量,已知k,‎ ‎,若三点共线,则的值是 .‎ ‎2.已知向量,则在方向上的投影为 .‎ ‎3.已知向量,其中、均为非零向量,则的取值范围是 . ‎ ‎4.已知向量=(1,3),=(2,1),若+2与3+λ平行,则λ的值等于 . ‎ ‎5.已知向量.若向量,则实数的值是 . ‎ ‎6.若向量满足,则向量的夹角大小为 .‎ ‎7.设向量与的模分别为6和5,夹角为120°,则等于 .‎ ‎8.如图,在△ABC中,‎ ‎= . (用,表示)‎ ‎9.在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 . ‎ ‎10. 在中,,若,则     .‎ H M C B A ‎11.已知是内一点,且满足0,记、、的面积依次为,则等于 .‎ ‎12. 如图,在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,‎ AH⊥BC,垂足为H,M为AH的中点,若的值等于 .‎ ‎13.如图,在直角中,已知,为的靠近A点的三等分点,若为直角内(含边界)任意一点,则的最大值是 . ‎ ‎14.设函数,点表示坐标原点,点,若向量,的夹角,设,则 . ‎ 二.解答题 ‎5-12‎ ‎15.已知向量.‎ ‎(1)当时,求的值; ‎ ‎(2)求函数的最小正周期.‎ ‎16.已知向量与的对应关系用表示.‎ ‎(1)设,求向量及的坐标;‎ ‎(2)求使,(为常数)的向量的坐标;‎ ‎(3)证明:对于任意向量及常数恒有成立 ‎17.如图,平面四边形ABCD中,AB=13,AC=10,AD=5,=120.‎ ‎(1)求cos∠BAD;‎ ‎(2)设的值.‎ ‎18.已知向量=(cos,sin),=(cos,-sin), 且x∈[0,],‎ 若f (x)=·-2︱+︱的最小值为-7,求实数的值.‎ ‎19.已知等边三角形的边长为2,⊙的半径为1,为⊙的任意一条直径.‎ ‎(1)判断的值是否会随点的变化而变化,请说明理由;‎ ‎(2)求的最大值.‎ ‎20.已知、分别是x轴,y轴方向上的单位向量,且(n=2,3,4...),在射线上从下到上依次有,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎5-12‎ ‎(2)求;‎ ‎(3)四边形面积的最大值.‎ ‎【专题训练参考答案】‎ ‎1.2   2.2   3.    4.6   5.   6.   7.‎ ‎8. 9. 10.   11. 12. 13.6  14.‎ ‎15.解:(1)由已知得,‎ ‎=‎ ‎(2)‎ ‎ ,∴函数的周期是π. ‎ ‎16.解:(1)由已知得=(1,1),=(0,-1);(2)设=(x,y),则,所以y=p,x=2p-q,即=(2p-q,p).‎ ‎(3)设,则,‎ 故,‎ ‎∴.‎ ‎17.解:(1)设,‎ ‎,∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由,∴‎ 解得:.‎ 本题第(2)小题也可用坐标法完成.‎ ‎5-12‎ ‎18.解:f (x)= ·-2︱+︱=cos2x-2(2cosx)=2cos2x-4cosx-1‎ ‎=2(cosx-)2-22-1,‎ 若<0,当cosx=0时,f (x)取得最小值-1,不合题意;‎ 若>1,当cosx=1时,f (x)取得最小值1-4,由题意有1-4=-7,得=2;‎ 若0≤≤1,当cosx=时,f (x)取得最小值-22-1,由题意有-22-1=-7,‎ 得=±(舍去).综上所述:=2.‎ ‎19.解:(1)∵,‎ ‎=‎ ‎∵,,‎ ‎∴,即的值不会随点的变化而变化.‎ ‎(2)∵,∴.‎ 又∵ , ∴(当且仅当与同向时等号成立).∴的最大值为3.‎ ‎20. (1) ∵‎ ‎∴.‎ ‎(2)∵‎ ‎∴ ‎ 又∵由条件得,‎ ‎∴.‎ ‎(3)记四边形An An+1 Bn+1 Bn面积为Sn,∵且△An An+1 Bn+1中边An An+1上的高为h1=2n+3,△An Bn Bn+1中,点An到边Bn Bn+1的距离为h2= 则.‎ 而 ‎5-12‎ ‎ ∴ ∴. ‎ ‎5-12‎