江苏省高考高三一轮数学复习专题材料专题平面向量 12页

专题5 平面向量 ‎【典型例题】‎ 例1（填空题）‎ ‎（1）给出下列命题：‎ ① ‎0=0；‎ ‎② 对于实数m和向量（m∈R），若，则； ‎ ‎③ 若0，，则；‎ ‎④ 对任意向量都成立；‎ ‎⑤对任意向量，有． ‎ 其中不正确的序号是 ．‎ 解析：①不正确．0=0，是零向量，而0·=0，是数量0；‎ ‎②不正确．当m=0时，都等于0，这时，向量不一定相等；‎ ‎③不正确．∵，∴·（）=0，又∵0，∴=0或与垂直；‎ ‎④不正确．∵表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，‎ 不一定共线，∴与不一定相等；‎ ‎⑤正确．∵=·=，∴．‎ 综上所述，不正确命题的序号是①②③④．‎ 点评：向量及其运算与数及其运算可以类比，但并不是所有的实数运算法则都可以推广到向量．‎ ‎（2）设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值为 ．‎ 解析：因为与共线，则有，即 所以．‎ ‎（3）平面向量与的夹角为，，则 ．‎ ‎ 解析：，，，‎ A B C D E ‎，．‎ ‎（4）如图，正方形ABCD内有一个正，设，则等于 ． ‎ ‎（用、表示）‎ 解析：因为，‎ ‎，故．‎ ‎（5）如图，设P、Q为△ABC内的两点，且， ＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为 ． ‎ ‎5－12‎ N ‎ M ‎ Q P ‎ C ‎ B A ‎ 解析：如下图，设，，则，由平行四边形法则，知NP∥AB，‎ 所以＝，同理可得，‎ ‎ 故． ‎ ‎（6）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 ． ‎ 解析：，‎ 设．‎ ‎（7）设函数，为坐标原点，为函数图像上横坐标 的点，向量，设的夹角，则 ．‎ 解析：，即为向量与x轴的夹角，所以，所以．‎ ‎（8）已知，且关于x的函数在R上有极值，‎ 则与的夹角范围为 ．‎ 解析：在R上有极值方程＝0在R上有两个不同的实数根，则，设向量的夹角为，则，所以．‎ ‎（9）如图，在中，是边上一点，‎ D C ‎ A B 则．‎ 解析：‎ ‎=‎ ‎．‎ ‎5－12‎ 点评：本题用定义也能求解，但较繁，由，可得，则，在中可得，又夹角大小为，，‎ 所以；还可以建立坐标用坐标法求解．‎ 向量数量积的定义、向量的拆分、向量的坐标化是处理平面图形中向量数量积问题的常用方法．‎ ‎（10）定义，其中是△内一点，、、分别是△、△、△的面积，已知△中，，， ，则的最小值是 ．‎ 解析：由，‎ 则，从而，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 例2已知，其中．‎ ‎（1）求证：与互相垂直；‎ ‎（2）若与（）的长度相等，求．‎ 解：（1）因为 ‎， 所以与互相垂直．‎ ‎（2）∵||＝||，∴||2＝||2，展开可得＝0．‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，∴．‎ 例3已知向量．‎ ‎(1)若△为直角三角形，求k值；‎ ‎(2)若△ABC为等腰直角三角形，求k值．‎ 解：(1)，‎ 若，则；‎ 若，则无解；‎ ‎5－12‎ 若，则，‎ 综上所述，当时，△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；‎ 当时，△ABC是以C为直角顶点的直角三角形．‎ ‎(2)当k=1时，；‎ 当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎． ‎ 综上所述，当k=1时，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形．‎ 例4已知向量，，其中O为坐标原点． ‎ ‎（1）若，求向量与的夹角；‎ ‎（2）若≥对任意实数都成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）设向量与的夹角为，则，‎ 当时，，；当时，，．‎ 故当时，向量与的夹角为；当时，向量与的夹角为．‎ ‎（2）对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 即对任意的恒成立，‎ 所以或，解得或．‎ 故所求实数的取值范围是∪．　　　 　‎ 另解：由，可得的最小值为，然后将已知条件转化为，由此解得实数的取值范围．‎ 例5 如图中，是以 ‎5－12‎ 为圆心，以1为半径的圆的一条直径．问：与的夹角为何值时，有最大值和最小值． ‎ 解：∵， ∴ ‎ ‎，‎ 当，即时， ； 当，即时， ．‎ A B C E F M N 例6如图，在边长为1的正三角形中，分别是边上的点，若 ‎，．设的中点为，的中点为．‎ ‎⑴若三点共线，求证；‎ ‎⑵若，求的最小值． 学科网 解：⑴由三点共线，得， ‎ 设（R），即，‎ 所以，所以．‎ ‎⑵因为＝，‎ 又，所以，‎ 所以 ‎＝，‎ 故当时，．‎ ‎5－12‎ ‎【新题备选】‎ ‎1．定义是向量a和b的“向量积”，它的长度其中为 向量和的夹角，若则= ．‎ 解：由条件，则， ，‎ 所以，．‎ ‎2．已知、、是直线上的不同的三点，是外一点，向量、、满足：，记，则函数的解析式为 ．‎ 解：，‎ ‎∴．‎ 又、B、C在同一条直线上，‎ ‎∴， ∴．‎ 即．‎ ‎3．如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值是 ．‎ 解：以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立直角坐标系，‎ ‎ 设N（x，y）则，，则 ‎ 因为，由线性规划的知识可得．‎ ‎4．在中，‎ ‎（1）若为直线上一点，且，求证：；‎ ‎（2）若，，且为线段上靠近的一个三等分点，求的值；‎ ‎（3）若，，且，，，…，为线段的个等分点，求的值．‎ 解：（1）由，得，‎ 即，因为，所以； ‎ ‎5－12‎ ‎（2），‎ 因为，， 所以．‎ 由于为线段上靠近的一个三等分点，故，所以．‎ ‎（3）=‎ ‎=‎ ‎==‎ ‎==．‎ ‎5－12‎ ‎【专题训练】‎ 一、填空题 ‎1．是平面内不共线的两个向量，已知k，‎ ‎，若三点共线，则的值是 ．‎ ‎2．已知向量，则在方向上的投影为 ．‎ ‎3．已知向量，其中、均为非零向量，则的取值范围是 ． ‎ ‎4．已知向量＝(1，3)，＝(2，1)，若＋2与3＋λ平行，则λ的值等于 ． ‎ ‎5．已知向量．若向量，则实数的值是 ． ‎ ‎6．若向量满足，则向量的夹角大小为 ．‎ ‎7．设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则等于 ．‎ ‎8．如图，在△ABC中，‎ ‎= ． （用，表示）‎ ‎9．在中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足，则等于 ． ‎ ‎10． 在中，，若，则　　　　　．‎ H M C B A ‎11．已知是内一点，且满足0，记、、的面积依次为，则等于 ．‎ ‎12． 如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，‎ AH⊥BC，垂足为H，M为AH的中点，若的值等于 ．‎ ‎13．如图，在直角中，已知，为的靠近A点的三等分点，若为直角内（含边界）任意一点，则的最大值是 ． ‎ ‎14．设函数，点表示坐标原点，点，若向量，的夹角，设，则 ． ‎ 二．解答题 ‎5－12‎ ‎15．已知向量．‎ ‎（1）当时，求的值； ‎ ‎（2）求函数的最小正周期．‎ ‎16．已知向量与的对应关系用表示．‎ ‎（1）设，求向量及的坐标；‎ ‎（2）求使，（为常数）的向量的坐标；‎ ‎（3）证明：对于任意向量及常数恒有成立 ‎17．如图，平面四边形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，=120．‎ ‎（1）求cos∠BAD；‎ ‎（2）设的值．‎ ‎18．已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，－sin)， 且x∈[0，]，‎ 若f (x)＝·－2︱＋︱的最小值为－7，求实数的值．‎ ‎19．已知等边三角形的边长为2，⊙的半径为1，为⊙的任意一条直径．‎ ‎（1）判断的值是否会随点的变化而变化，请说明理由；‎ ‎（2）求的最大值．‎ ‎20．已知、分别是x轴，y轴方向上的单位向量，且（n=2，3，4．．．），在射线上从下到上依次有，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎5－12‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）四边形面积的最大值．‎ ‎【专题训练参考答案】‎ ‎1．2 　 2．2 　 3． 　　 4．6 　 5． 　 6． 　 7．‎ ‎8． 9． 10． 　 11． 12． 13．6 　14．‎ ‎15．解:（1）由已知得，‎ ‎＝‎ ‎（2）‎ ‎ ，∴函数的周期是π． ‎ ‎16．解：（１）由已知得=（1，1），=（0，－1）；（２）设=（x，y），则，所以y=p，x=2p－q，即=（2p－q，p）．‎ ‎（3）设，则，‎ 故，‎ ‎∴．‎ ‎17．解：（1）设，‎ ‎，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由，∴‎ 解得：．‎ 本题第（2）小题也可用坐标法完成．‎ ‎5－12‎ ‎18．解：f (x)＝ ·－2︱＋︱＝cos2x－2(2cosx)＝2cos2x－4cosx－1‎ ‎＝2(cosx－)2－22－1，‎ 若＜0，当cosx＝0时，f (x)取得最小值－1，不合题意；‎ 若＞1，当cosx＝1时，f (x)取得最小值1－4，由题意有1－4＝－7，得＝2；‎ 若0≤≤1，当cosx＝时，f (x)取得最小值－22－1，由题意有－22－1＝－7，‎ 得＝±(舍去)．综上所述：＝2．‎ ‎19．解：（1）∵，‎ ‎=‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即的值不会随点的变化而变化．‎ ‎（2）∵，∴．‎ 又∵ ， ∴（当且仅当与同向时等号成立）．∴的最大值为3．‎ ‎20． (1) ∵‎ ‎∴．‎ ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ 又∵由条件得，‎ ‎∴．‎ ‎（3）记四边形An An+1 Bn+1 Bn面积为Sn，∵且△An An+1 Bn+1中边An An+1上的高为h1=2n+3，△An Bn Bn+1中，点An到边Bn Bn+1的距离为h2= 则．‎ 而 ‎5－12‎ ‎ ∴ ∴． ‎ ‎5－12‎