2020-2021学年高考数学（理）考点：简单的极坐标方程 16页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：简单的极坐标方程 极坐标 ‎1.公式：‎ ‎（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：‎ 点 直角坐标 极坐标 互化公式 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2. 极坐标与直角坐标的转化 ‎（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A：直角坐标化为极坐标的步骤 ①运用 ②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．‎ B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用 （2） 直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A：直角坐标转化成极坐标 思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。‎ 例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即 B：极坐标转化成直角坐标 类型①：直接转化---直接利用公式转化 例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝1‎ 思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝1‎ ‎ 第二步：用公式转化，即 类型②：利用三角函数的两角和差公式，即 思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简 ‎ 第二步：利用公式转化 例如：直线的极坐标方程是 解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即 第二步：利用公式转化 ‎ ‎ 类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为 例如：‎ 思路：直接代入 ‎(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)‎ 三、 曲线极坐标与直角坐标互换 ‎（一）圆的直角与极坐标互换 ‎1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：‎ 详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。‎ 所以两边同时乘以，即 类型二：‎ 没有三角函数时，可以考虑两边同时平方 2. 圆的直角坐标转化成极坐标 解题方法一：拆开--公式代入：‎ 解题方法二：代入-拆-合：‎ ‎1．（2018•北京）在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆，‎ 转化成：，‎ 进一步转化成直角坐标方程为：，‎ 把直线的方程转化成直角坐标方程为：．‎ 由于直线和圆相切，‎ 所以：利用圆心到直线的距离等于半径．‎ 则：，‎ 解得：．‎ 则负值舍去．‎ 故：．‎ 故答案为：．‎ ‎2．（2017•北京）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设圆为圆，将圆的极坐标方程化为：，‎ 再化为标准方程：；‎ 如图，当在与的交点处时，最小为：‎ ‎，‎ 故答案为：1．‎ ‎3．（2017•天津）在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线展开为：，化为：．‎ 圆即，化为直角坐标方程：，配方为：．‎ 圆心到直线的距离．‎ 直线与圆的公共点的个数为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎4．（2020•江苏）在极坐标系中，已知，在直线上，点，在圆上（其中，．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．‎ ‎【解析】（1），在直线上，‎ ‎，解得．‎ 点，在圆上，‎ ‎，解得 或时，点表示极点，而圆经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示为0，极角为任意角．‎ 故或0．‎ ‎（2）由直线与圆得，方程组，则．‎ ‎，，，．‎ ‎．‎ 故公共点的极坐标为．‎ ‎5．（2020•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）当时，是什么曲线？‎ ‎（2）当时，求与的公共点的直角坐标．‎ ‎【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），‎ 消去参数，可得，‎ 故是以原点为圆心，以1为半径的圆；‎ ‎（2）法一：当时，，消去得到的直角坐标方程为，‎ 的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，‎ ‎，解得．‎ 与的公共点的直角坐标为．‎ 法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），‎ 两式作差可得，‎ ‎，得，‎ 整理得：，．‎ 由，又，，‎ ‎．‎ 联立，解得（舍，或．‎ 与的公共点的直角坐标为．‎ ‎6．（2019•江苏）在极坐标系中，已知两点，，，直线的方程为．‎ ‎（1）求，两点间的距离；‎ ‎（2）求点到直线的距离．‎ ‎【解析】（1）设极点为，则在中，由余弦定理，得 ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）由直线的方程，知 直线过，，倾斜角为，‎ 又，，‎ 点到直线的距离为．‎ ‎7．（2019•新课标Ⅲ）如图，在极坐标系中，，，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．‎ ‎（1）分别写出，，的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标．‎ ‎【解析】（1）由题设得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为，，，‎ 则的极坐标方程为，，的极坐标方程为，，‎ 的极坐标方程为，，‎ ‎（2）设，由题设及（1）知，‎ 若，由得，得，‎ 若，由得，得或，‎ 若，由得，得，‎ 综上的极坐标为，或，或，或，．‎ ‎8．（2019•新课标Ⅱ）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为．‎ ‎（1）当时，求及的极坐标方程；‎ ‎（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 在直线上任取一点，则有，‎ 故的极坐标方程为有；‎ ‎（2）设，则在中，有，‎ 在线段上，，，‎ 故点轨迹的极坐标方程为，，．‎ ‎9．（2018•江苏）在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎【解析】曲线的方程为，，，‎ 曲线是圆心为，半径为得圆．‎ 直线的方程为，，‎ 直线的普通方程为：．‎ 圆心到直线的距离为，‎ 直线被曲线截得的弦长为．‎ ‎10．（2018•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎【解析】（1）曲线的极坐标方程为．‎ 转换为直角坐标方程为：，‎ 转换为标准式为：．‎ ‎（2）由于曲线的方程为，则：该射线关于轴对称，且恒过定点．‎ 由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点．‎ 所以：必有一直线相切，一直线相交．‎ 则：圆心到直线的距离等于半径2．‎ 故：，或 解得：或0，‎ 当时，不符合条件，故舍去，‎ 同理解得：或0‎ 经检验，直线与曲线．有两个交点．‎ 故的方程为：．‎ ‎11．（2017•新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【解析】（1）曲线的直角坐标方程为：，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，即，‎ 两边开方得：，‎ 整理得：，‎ 点的轨迹的直角坐标方程：．‎ ‎（2）点的直角坐标为，显然点在曲线上，，‎ 曲线的圆心到弦的距离，‎ 的最大面积．‎ ‎1．（2019•昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的直角坐标方程：‎ ‎，‎ 极点到直线的距离等于：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎2．（2020•河南一模）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，的轨迹为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若点，直线的参数方程为为参数），直线与曲线的交点为，，当取最小值时，求直线的普通方程．‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意，设点，的极坐标分别为，、，‎ 则有，故曲线的极坐标方程为，‎ 变形可得：，‎ 故的直角坐标方程为，即；‎ ‎（Ⅱ）设点，对应的参数分别为、，则，，‎ 设直线的参数方程，为参数），‎ 代入的直角坐标方程中，‎ 整理得．‎ 由根与系数的关系得，，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 此时的普通方程为．‎ ‎3．（2020•沈河区校级模拟）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：为参数，，点的极坐标为．‎ ‎（1）若是曲线上的动点，求到定点的距离的最小值；‎ ‎（2）若曲线与曲线有两个不同交点，求正数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）在直角坐标系中，由，，‎ 可得点．‎ 由，得，即，‎ ‎．‎ 曲线为圆，圆心为，半径为1，‎ ‎，‎ 的最小值为；‎ ‎（2）由（1）知，曲线为圆，‎ 曲线的参数方程为：为参数，，‎ 即，移向后平方作和得：‎ ‎，‎ 曲线为圆心为，半径为的圆，‎ 曲线与曲线有两个不同交点，‎ ‎，解得，‎ 正数的取值范围是．‎ ‎4．（2020•武汉模拟）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线和曲线分别交于，，已知点，求的面积．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），‎ 由于①，，②，‎ ‎①②得：．‎ 根据整理得．‎ 曲线的参数方程为为参数），转换为普通方程为．‎ 转换为极坐标方程为．‎ ‎（2）射线与曲线和曲线分别交于，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 则的面积为．‎ ‎5．（2020•道里区校级一模）在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程：‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，分别交，于，两点，当取何值时，取得最小值．‎ ‎【解析】（1）曲线根据转换为极坐标方程为．‎ 曲线为参数），转换为直角坐标方程为，整理得．‎ 根据，转换为极坐标方程为．‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，与交于点，‎ 所以，整理得，‎ 曲线的极坐标方程为，与交于点，‎ 所以，整理得，‎ 所以，．‎ 设，‎ 由于，所以，‎ 所以 所以，‎ 所以，‎ 当时，的最小值为．‎ ‎6．（2020•德阳模拟）在平面直角坐标系中，已知直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线交圆于、，交直线于，若，两点在轴上投影分别为、，求长度的最小值，并求此时、两点的极坐标．‎ ‎【解析】（1）已知直线，转换为极坐标方程为．‎ 圆的极坐标方程为．整理得，根据转换为直角坐标方程为．‎ ‎（2）射线交圆于、，‎ 得到，，若，两点在轴上投影分别为、，‎ 所以，，‎ 当时，，即最小值为2．‎ 由于，‎ 所以点，．‎ ‎7．（2020•汉阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；‎ ‎（2）若曲线与直线交于不同的两点、，，求的值．‎ ‎【解析】（1）由，消去参数，得，‎ 令，，‎ 则有，‎ 即，曲线为等轴双曲线；‎ ‎（2）将直线的极坐标方程代入，得，‎ 曲线与曲线交于不同的两点、，‎ 则，‎ 又，可得或，‎ 设，，，，‎ 则，‎ 解得：，‎ 或，得或．‎ ‎8．（2020•汉阳区校级模拟）已知曲线为参数且，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上一点，求到直线距离的最小值．‎ ‎【解析】（1）曲线为参数且，‎ 由，两边平方作差得：；‎ 直线的极坐标方程为．‎ 由，且，得．‎ ‎（2）设，‎ 由点到直线的距离公式可知：．‎ 当且仅当时，取等号．‎