2018版高考数学（理）（苏教版，江苏专用）大一轮教师文档讲义：第五章5-2平面向量基本定理及坐标表示 17页

‎1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.‎ ‎2.平面向量的坐标运算 ‎(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法 ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.‎ ‎3.平面向量共线的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.‎ ‎2.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　×　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)‎ ‎(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(　√　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)‎ ‎(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　√　)‎ ‎1.(教材改编)如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法中正确的有______.(填序号)‎ ‎①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；‎ ‎②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；‎ ‎③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；‎ ‎④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.‎ 答案　①③‎ 解析　①正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.‎ ‎②不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.‎ ‎③正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；‎ ‎④不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2唯一确定.‎ ‎2.(教材改编)给出下面几种说法：‎ ‎①相等向量的坐标相同；‎ ‎②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；‎ ‎③一个坐标对应于唯一的一个向量；‎ ‎④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.‎ 其中正确说法的个数是________.‎ 答案　3‎ 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.‎ ‎3.(2015·课标全国Ⅰ)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.‎ 答案　(－7，－4)‎ 解析　＝(3，1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).‎ ‎4.已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.‎ 答案　－ 解析　由已知条件可得ma＋nb＝(2m，3m)＋(－n，2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2，3)－(－2，4)＝(4，－1).∵ma＋nb与a－2b共线，∴＝，即n－2m＝12m＋8n，∴＝－.‎ ‎5.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.‎ 答案　(1，5)‎ 解析　设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，‎ 即解得 题型一　平面向量基本定理的应用 例1　(1)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝______________.‎ ‎(2)(2016·苏锡常镇调研)如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，＝2，设∥，若＝＋λ(λ∈R)，则λ的值为________.‎ 答案　(1)a＋b　(2) 解析　∵＝a，＝b，‎ ‎∴＝＋ ‎＝＋＝a＋b.‎ ‎∵E是OD的中点，∴＝，‎ ‎∴DF＝AB.‎ ‎∴＝＝(－)‎ ‎＝×[－－(－)]‎ ‎＝－＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b＋a－b ‎＝a＋b.‎ ‎(2)因为＝2，‎ 所以＝×(＋)＝＋.‎ 因为∥，所以设＝m，从而＝＋＝＋＋＝(1＋)＋.‎ 因为＝＋λ，所以＝，λ＝1＋＝.‎ 思维升华　平面向量基本定理应用的实质和一般思路 ‎(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.‎ ‎(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.‎ ‎　如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________.‎ 答案　 解析　设＝k，k∈R.‎ 因为＝＋＝＋k ‎＝＋k(－)＝＋k(－)‎ ‎＝(1－k)＋，‎ 且＝m＋，‎ 所以1－k＝m，＝，‎ 解得k＝，m＝.‎ 题型二　平面向量的坐标运算 例2　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝__________.‎ ‎(2)(2016·盐城模拟)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，则2a－b＝________.‎ 答案　(1)　(2)(4，－8)‎ 解析　(1)由已知3c＝－a＋2b ‎＝(－5，2)＋(－8，－6)＝(－13，－4).‎ 所以c＝.‎ ‎(2)因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，‎ 所以1×4＋2m＝0，即m＝－2，‎ 所以2a－b＝2×(1，－2)－(－2，4)＝(4，－8).‎ 思维升华　向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.‎ ‎　(1)(2016·江苏宿迁三校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝______.‎ ‎(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为__________.‎ 答案　(1)4　(2)(2，)‎ 解析　(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，‎ 则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，‎ ‎∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3).‎ ‎∵c＝λa＋μb，‎ ‎∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，‎ 即 解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.‎ ‎(2)设D(x，y)，＝(x，y－2)，＝(4，3)，‎ 又＝2，∴∴ 题型三　向量共线的坐标表示 命题点1　利用向量共线求向量或点的坐标 例3　已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.‎ 答案　(3，3)‎ 解析　方法一　由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4，4λ).‎ 又＝－＝(－2，6)，‎ 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，‎ 解得λ＝，‎ 所以＝＝(3，3)，‎ 所以点P的坐标为(3，3).‎ 方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4，4)，且与共线，所以＝，即x＝y.‎ 又＝(x－4，y)，＝(－2，6)，且与共线，‎ 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，‎ 所以点P的坐标为(3，3).‎ 命题点2　利用向量共线求参数 例4　(2016·常州模拟)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝________.‎ 答案　45°‎ 解析　由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，‎ 所以cos2θ＝，∴cos θ＝或cos θ＝－，‎ 又θ为锐角，∴θ＝45°.‎ 思维升华　平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 ‎(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便.‎ ‎(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.‎ ‎　(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________.‎ ‎(2)设＝(－2，4)，＝(－a，2)，＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________.‎ 答案　(1)(2，4)　(2) 解析　(1)∵在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，‎ ‎∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，‎ 则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，‎ ＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得故点D的坐标为(2，4).‎ ‎(2)由已知得＝(－a＋2，－2)，＝(b＋2，－4)，‎ 又∥，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，‎ 即整理得2a＋b＝2，‎ 所以＋＝(2a＋b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝(当且仅当b＝a时，等号成立).‎ ‎11.解析法(坐标法)在向量中的应用 典例　(14分)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的上运动.若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值. ‎ 思想方法指导　建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征.‎ 规范解答 解　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 则A(1，0)，B(－，). [4分]‎ 设∠AOC＝α(α∈[0，])，则C(cos α，sin α)，‎ 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， [8分]‎ 所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin(α＋)， [11分]‎ 又α∈[0，]，‎ 所以当α＝时，x＋y取得最大值2. [14分]‎ ‎1.(2016·江苏苏州暑期测试)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由题意得a＋2b＝(x＋4，1＋2y)＝(5，－3)，‎ 所以　解得 所以x＋y＝－1.‎ ‎2.已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为__________.‎ 答案　(5，14)‎ 解析　设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).‎ 由＝3a，得解得 ‎3.(2016·江苏南京开学测试)已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为________.‎ 答案　2‎ 解析　方法一　由题意得a＝(1，2)，2a＋b＝(2＋m，8)，‎ 因为a∥(2a＋b)，所以1×8－(2＋m)×2＝0，故m＝2.‎ 方法二　因为a∥(2a＋b)，所以存在实数λ，使得λa＝2a＋b，即(λ－2)a＝b，‎ 所以(λ－2，2λ－4)＝(m，4)，所以λ－2＝m且2λ－4＝4，得λ＝4，m＝2.‎ 方法三　因为a∥(2a＋b)，所以a∥b，所以4＝2m，即m＝2.‎ ‎4.已知a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c＝__________.(用a，b表示)‎ 答案　a－b 解析　设c＝λa＋μb，∴(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，‎ ‎∴∴∴c＝a－b.‎ ‎5.已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设C(x，y)，‎ 则＝(x－7，y－1)，＝(1－x，4－y)，‎ ‎∵＝2，∴解得 ‎∴C(3，3).又∵C在直线y＝ax上，‎ ‎∴3＝a·3，∴a＝2.‎ ‎6.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________.‎ 答案　3‎ 解析　∵·＝0，∴⊥，‎ 以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系(图略)，‎ ＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n).‎ ‎∵tan 30°＝＝，‎ ‎∴m＝3n，即＝3.‎ ‎7.在▱ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则向量的坐标为__________.‎ 答案　(－3，－5)‎ 解析　∵＋＝，∴＝－＝(－1，－1)，‎ ‎∴＝－＝－＝(－3，－5).‎ ‎8.设0＜θ＜，向量a＝(sin 2θ，cos θ)，b＝(cos θ，1)，若a∥b，则tan θ＝________.‎ 答案　 解析　∵a∥b，∴sin 2θ×1－cos2θ＝0，‎ ‎∴2sin θcos θ－cos2θ＝0，‎ ‎∵0＜θ＜，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，‎ ‎∴tan θ＝.‎ ‎9.在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点.若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝______.‎ 答案　 解析　选择，作为平面向量的一组基底，‎ 则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，‎ 于是得解得 所以λ＋μ＝.‎ ‎*10.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________.‎ 答案　(－1，0)‎ 解析　由题意得，＝k(k＜0)，‎ 又|k|＝＜1，∴－1＜k＜0.‎ 又∵B，A，D三点共线，‎ ‎∴＝λ＋(1－λ)，‎ ‎∴m＋n＝kλ＋k(1－λ)，‎ ‎∴m＝kλ，n＝k(1－λ)，‎ ‎∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0).‎ ‎11.(2016·四川改编)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________.‎ 答案　 解析　建系如图，则易知B(－，0)，C(，0)，A(0，3). ‎ 设M(x，y)，P(a，b)，∵＝，‎ ‎∴⇒ 即P(2x－，2y)，又∵||＝1.‎ ‎∴P点在圆①x2＋(y－3)2＝1上，‎ 即(2x－)2＋(2y－3)2＝1，‎ 整理得，2＋2＝(记为圆②)，‎ 即M点在该圆上，‎ 求||的最大值转化为B点到该圆②上的一点的最大距离，‎ 即B到圆心的距离再加上该圆的半径：‎ ‎||2＝2＝.‎ ‎12.(2016·扬州中学质检)在矩形ABCD中，AB＝，BC＝，P为矩形内一点，且AP＝，＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的最大值为________.‎ 答案　 解析　以矩形相邻两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(，0)，D(0，)，‎ 设∠PAB＝α，‎ 则P(cos α，sin α)，‎ 因为＝λ＋μ，‎ 所以(cos α，sin α)＝λ(，0)＋μ(0，)，‎ 所以λ＝cos α，μ＝sin α，‎ 故λ＋μ＝cos α＋sin α＝sin(α＋)，‎ 由已知得0<α<，所以<α＋<π，‎ 所以