2018高考数学大一轮复习升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧文 8页

升级增分训练 简化解析几何运算的5个技巧 ‎1．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A．　　　　　　　　　　 B． C． D．1‎ 解析：选C　如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，‎ 则y＝2px0，‎ 即x0＝．‎ 设M(x′，y′)，‎ 由＝2，‎ 得 化简可得 ‎∴直线OM的斜率为k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．‎ ‎2．设双曲线＋＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，则此双曲线的方程为(　　)‎ A．x2－5y2＝1 B．5y2－x2＝1‎ C．5x2－y2＝1 D．y2－5x2＝1‎ 解析：选D　因为x2＝4y的焦点为(0,1)，‎ 所以双曲线的焦点在y轴上．‎ 因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，‎ 所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，‎ 即－＝1，‎ 则λ＋＝1，λ＝，‎ 所以双曲线的方程为y2－5x2＝1，故选D．‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且·最小值的取值范围是，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，] B．[，2]‎ C．(0，] D．[2，＋∞)‎ 解析：选B　设P(x0，y0)，‎ 则·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)‎ ‎＝x－c2＋y＝a2－c2＋y，‎ 上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，‎ 根据已知－c2≤a2－c2≤－c2，‎ 即c2≤a2≤c2，‎ 即2≤≤4，‎ 即≤≤2，‎ 所以所求离心率的取值范围是[，2]．‎ ‎4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ＞1)，则λ的值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C． D． 解析：选B　根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由＝λ，‎ 得＝λ，‎ 故－y1＝λy2，即λ＝－．‎ 设直线AB的方程为y＝，‎ 联立直线与抛物线方程，‎ 消元得y2－py－p2＝0．‎ 故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，‎ ＝＋＋2＝－，‎ 即－λ－＋2＝－．‎ 又λ＞1，解得λ＝4．‎ ‎5．(2015·四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)‎ A．(1,3) B．(1,4)‎ C．(2,3) D．(2,4)‎ 解析：选D　设A，B，M，C(5,0)为圆心，当y1≠－y2时，kAB＝，kCM＝，由kAB·kCM＝－1⇒y＋y＝24，所以M，又r2＝|CM|2＝4＋2＝10＋y1y2，所以(2r2－20)2＝yy，所以y，y是方程t2－24t＋(2r2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r＜4．综上，r的取值范围是(2,4)．‎ ‎6．中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为(　　)‎ A．＋＝1 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ 解析：选C　由已知得c＝5，‎ 设椭圆的方程为＋＝1，‎ 联立 消去y得(‎10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由根与系数关系得x1＋x2＝，‎ 由题意知x1＋x2＝1，‎ 即＝1，‎ 解得a2＝75，‎ 所以该椭圆方程为＋＝1．‎ ‎7．已知双曲线C：－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝·，则λ的取值范围是________．‎ 解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，‎ λ＝· ‎＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)‎ ‎＝－x－y＋1‎ ‎＝－x＋2．‎ 因为|x0|≥，‎ 所以λ的取值范围是(－∞，－1]．‎ 答案：(－∞，－1]‎ ‎8．(2017·长春质检)已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．‎ 解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，‎ 则B(－cos θ，－sin θ)，‎ ‎∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)，‎ (－cos θ－x，－sin θ－x－2)，‎ ‎∴· ‎＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)(－sin θ－x－2)‎ ‎＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ ‎＝2x2＋4x＋3‎ ‎＝2(x＋1)2＋1，‎ 当且仅当x＝－1，‎ 即P(－1，1)时，·取最小值1．‎ 答案：1‎ ‎9．设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l．过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为 B．设C，AF与BC相交于点E．若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 解析：由(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∴F，|AB|＝|AF|＝|CF|＝p，可得A(p，p)．‎ 易知△AEB∽△FEC，‎ ‎∴＝＝，‎ 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p×＝p2＝3，‎ ‎∴p2＝6．∵p＞0，∴p＝．‎ 答案： ‎10．(2016·河北三市二联)已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝．‎ ‎(1)求此椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．‎ 解：(1)设焦距为‎2c，‎ ‎∵e＝＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴＝，由题意可知＝，‎ ‎∴b＝1，a＝，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，‎ 得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ 又直线与椭圆有两个交点，‎ 所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，‎ 解得k2＞1．‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 若以CD为直径的圆过E点，‎ 则·＝0，‎ 即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，‎ 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，‎ 则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5‎ ‎＝－＋5＝0，‎ 解得k＝，满足k2＞1．‎ ‎11．(2016·山东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程．‎ ‎(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D．直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．求证：点M在定直线上．‎ 解：(1)由题意知＝，‎ 可得a2＝4b2．‎ 因为抛物线E的焦点为F，‎ 所以b＝，a＝1．‎ 所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1．‎ ‎(2)证明：设P(m＞0)．‎ 由x2＝2y，可得y′＝x，‎ 所以直线l的斜率为m．‎ 因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，‎ 即y＝mx－．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，‎ 联立方程 得(‎4m2‎＋1)x2－‎4m3‎x＋m4－1＝0．‎ 由Δ＞0，‎ 得0＜m2＜2＋．(*)‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，‎ 因此x0＝．‎ 将其代入y＝mx－，‎ 得y0＝．‎ 因为＝－，‎ 所以直线OD的方程为y＝－x．‎ 联立方程 得点M的纵坐标yM＝－，‎ 所以点M在定直线y＝－上．‎ ‎12．(2016·合肥质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．‎ 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由题意可知‎2a＝4，＝，又a2＋b2＝c2，‎ 解得a＝2，c＝，b＝1，‎ 故椭圆C的方程为＋x2＝1．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－，①‎ 设△OAB的面积为S，‎ 由x1x2＝－＜0，‎ 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|‎ ‎＝＝2，‎ 令k2＋3＝t，知t≥3，‎ ‎∴S＝2．‎ 对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝＞0，‎ ‎∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴t＋≥，‎ ‎∴0＜≤，∴0＜S≤，‎ 即△OAB面积的取值范围是．‎