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- 2021-05-14 发布
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2014年重庆高考数学试题详解(文)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、实部为,虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的( )
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解:由已知复数对应的坐标为,位于第二象限,选择
2、在等差数列中,,则( )
解:由已知,选择
3、某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,学科网用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本,已知从高中生中抽取70人,则为( )
解:分层抽样保持比例不变,故,选择
4、下列函数为偶函数的是( )
解:逐一验证知:为非奇非偶函数;为奇函数;为偶函数,选择
5、执行右图所示的程序框图,则输出的为( )
解:由已知:
,选择
6、已知命题对任意,总有;
命题是方程的根
则下列命题为真命题的是( )
解:因为真,假,为真,故为真,选择
7、 某几何体的三视图如下图,则几何体的体积为( )
A.12 B.18 C.24 D.30
解:在长方体中构造几何体,如右图所示,
,经检验该几何体的三视图满足
题设条件。其体积,选择
8、设分别为双曲线的左、右焦点,
双曲线上存在点使得则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.4 D.
解:由于,故,即,分解因式得:
,故,从而,
故,选择
9、若的最小值为( )
A. B. C. D.
解:由于,故
由可知,设,则:
,当时取等号,选择
10、已知函数内有且仅有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解:等价于方程有两个根,即和的图像有两个交点,分别画出函数和的图像分析可知选择
画图时必须注意到:的图像由左移一个单位,再下移三个单位得到。而过定点。交点有两种情况:的每个分段上各有一个交点;两个交点都在的图像上,后者以直线和相切为临界状况。
二、填空题
11、已知集合______.
解:易知
12、已知向量_________.
解:
13、将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的
一半,纵坐标不变,再向右平移的个单位得到的图像,则______.
解:作逆变换:将左移,再将横坐标伸长两倍可得的图像,故:
,从而
14、已知直线与圆心为的圆相交于两点,且
,则实数的值为_________.
解:将圆配方得,故圆心,半径,由已知为等腰直角三角形,故,圆心到直线的距离,所以:
或
15、某校早上8:00上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__ _
(用数字作答)
解:记为时刻,小张,小王到校的时刻分别为,则
这样的二维变量可与点建立对应,满足条件的形成一个边长为
的正方形区域。由已知小张比小王至少早5分钟满足关系:,由线性规划知此时形成一个三角形区域,其面积为,故所求概率为:
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,学科网证明过程或演算步骤.
16、已知是首相为1,公差为2的等差数列,表示的前项和.
(1)求及;
(2)设是首相为2的等比数列,公比满足,求的通
项公式及其前项和.
解:(1)由已知
(2)由于,故公比满足
故,
17、20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下:
(1)求频数直方图中的值;
(2)分别球出成绩落在与中的学生人数;
(3)从成绩在的学生中人选2人,求这2人的成绩都在中的概率.
解:(1)因为所有频率之和等于1,故,解出
(2)的学生人数为人;
的学生人数为人;
(3)记的学生为,的学生为,则从成绩在的学生中人选2人的选法共有10中,列举如下:
其中2人的成绩都在中有三种:
故所求概率为
18、在中,内角所对的边分别为,且
(1)若,求的值;
(2)若,且面积,求和的值.
解:(1)由已知,由余弦定理:
(2)由已知
整理得:
即:
面积
由已知
联立上面的三个式子解出
19、已知函数,其中,且曲线在点处的切线垂直于
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间和极值。
解:(1)由已知切线斜率,故,而
故
(2)此时,其中
令得增区间;令得减区间;
故当时具有极小值,没有极大值。
20、如下图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,,为上一点,且.
(1) 证明:平面;
(2) 若,求四棱锥的体积.
(1)证明:由知为等边三角形,故,
在中,,由余弦定理可求出,
因为,
因为底面
因为,所以平面
(2)设,则,
在中由余弦定理
因为,所以为直角三角形,由勾股定理:
,解出
四棱锥的体积
21、如下图,设椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上,,,的面积为.
(1) 求该椭圆的标准方程;
(2) 是否存在圆心在轴上的圆,使圆在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,说明理由.
解:(1)设,代入椭圆方程中求出,故,而
由已知:,联立解出
即,联立解出
所以椭圆的标准方程为
(2) 由于所求圆的圆心在轴上,故圆和椭圆的两个交点关于轴对称,从而经过点
所作的切线也关于轴对称,如下图所示。
当切线互相垂直时,设两条切线交于点,则恰好形成一个正方形。设圆心,圆的半径为,则由知:,另一方面由于为等腰直角三角形,故,所以,由几何关系,
,因为
所以,再由,知
所以圆的方程为,经检验符合题设要求。
故存在这样的圆,其方程为