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- 2021-05-14 发布
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第一讲 函数与方程思想、数形结合思想
1.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18 B.24
C.60 D.90
2.若a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是( )
A.(1,) B.(,)
C.[,] D.(,)
3.(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知f(x)=x2+sin(+x),f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的图象是( )
4.(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧q
C.p∧¬q D.¬p∧¬q
5.若关于x的方程x2+2kx-1=0的两根x1、x2满足-1≤x1<0b>0),点P在椭圆上.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点,若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.
答案:
1.【解析】选C.设数列{an}的公差为d.
则
∴
解得:a1=-3,d=2,
∴S10=10×(-3)+×2=60.
2.【解析】选B.e2=()2==1+(1+)2,因为是减函数,所以当a>1时,0<<1,所以20(∀x>0,x≠1).
g(x)满足g(1)=0,且
g′(x)=1-f′(x)=.
当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g′(x)>0,
故g(x)单调递增.
所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).
所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.
11.【解】(1)因为点P在椭圆上,
故+=1,可得=.
于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=.
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,
设点Q的坐标为(x0,y0).
由条件得
消去y0并整理得x=.①
由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得
(x0+a)2+k2x=a2,
整理得(1+k2)x+2ax0=0.
而x0≠0,故x0=.
代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.
由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,
即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.
所以直线OQ的斜率k=±.