2012高考重庆理科数学试题及答案高清版 9页

‎2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(重庆卷)‎ 本试卷满分150分．考试时间120分钟．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　)‎ A．7 B．15 C．20 D．25‎ A．若q则p B．若p则q C．若q则p D．若p则q ‎2．不等式的解集为(　　)‎ A．(，1] B．[，1]‎ C．(－∞，)∪[1，＋∞) D．(－∞，]∪[1，＋∞)‎ ‎3．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2 的位置关系一定是(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 ‎4． 的展开式中常数项为(　　)‎ A． B． C． D．105‎ ‎5．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)‎ A． B． C． D．10‎ ‎7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的(　　)‎ A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件 ‎8．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎9．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，‎ 则a的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(0，)‎ C．(1，) D．(1，)‎ ‎10．设平面点集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分．把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝__________.‎ ‎12． __________.‎ ‎13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，b＝3，则c＝__________.‎ ‎14．过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝__________.‎ ‎15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．设f(x)＝alnx＋＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ ‎17．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．‎ ‎(1)求甲获胜的概率；‎ ‎ (2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．‎ ‎18．设f(x)＝4cos(ωx－)sinωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0.‎ ‎(1)求函数y＝f(x)的值域；‎ ‎(2)若f(x)在区间[，]上为增函数，求ω的最大值．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．‎ ‎(1)求点C到平面A1ABB1的距离；‎ ‎ (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值．‎ ‎20．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；‎ ‎(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．‎ ‎21．设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0，‎ ‎(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；‎ ‎(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．‎ ‎1． B　.‎ ‎2． A　不等式可化为解不等式组得＜x≤1，故选A项．‎ ‎3． C　直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而02＋12＜2，所以点(0,1)在圆x2＋y2＝2内部，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2相交且直线不经过圆心，故选C项．‎ ‎4．)B　二项式的通项为，令得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4＝，故选B项．‎ ‎5． A　因为tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，而，故选A项．‎ ‎6． B　由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c得，解得y＝－2，所以a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝，故选B项．‎ ‎7． D　若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数；若f(x)为[3,4]上的减函数，则f(x)在[－1,0]上也为减函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数，故选D项．‎ ‎8． D　由题图可得函数y＝(1－x)f′(x)的零点为－2,1,2，则当x＜1时，1－x＞0，此时在(－∞，－2)上f(x)＞0，f′(x)＞0，在(－2,1)上f(x)＜0，f′(x)＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在(1,2)上f(x)＞0，f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f(x)＜0，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－2)为增函数，在(－2,2)为减函数，在(2，＋∞)为增函数，因此f(x)有极大值f(－2)，极小值f(2)，故选D项．‎ ‎9．A　四面体如图1所示，设AB＝AC＝BD＝CD＝1，，BC＝a，则a＞0.当A，B，C，D四点共面时，(如图2所示)．而此时A，B，C，D四点不能构成四面体，所以，故选A项．‎ 图1‎ 图2‎ ‎10． D　不等式(y－x)(y－)≥0可化为或集合B表示圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图阴影部所示．由线，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半，故选D项．‎ ‎11．答案：4‎ 解析：(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，所以a＝1，b＝3，a＋b＝4.‎ ‎12．答案：‎ 解析：‎ ‎＝.‎ ‎13．答案：‎ 解析：由已知条件可得，，而sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，根据正弦定理得.‎ ‎14．答案：‎ 解析：F点坐标为(，0)，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|＜|BF|，故直线AB不垂直于x轴．设直线AB为y＝k(x－)，联立直线与抛物线的方程得k2x2－(k2＋2)x＋＝0　①，则，又|AB|＝x1＋x2＋1＝，可解得k2＝24，代入①式得12x2－13x＋3＝0，即(3x－1)(4x－3)＝0.而|AF|＜|BF|，所以，由抛物线的定义得.‎ ‎15．答案：‎ 解析：基本事件总数为，事件“相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课”所包含的基本事件可分为三类，第一类：三节艺术课各不相邻有；第二类：有两节艺术课相邻有；第三类：三节艺术课相邻有.由古典概型概率公式得概率为.‎ ‎16．解：(1)因f(x)＝alnx＋＋1，故.‎ 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而，解得a＝－1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋1(x＞0)，‎ ‎.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝1，‎ ‎(因不在定义域内，舍去)．‎ 当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．‎ 故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.‎ ‎17．解：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．‎ ‎(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 ‎＝‎ ‎＝.‎ ‎ (2)ξ的所有可能值为1,2,3.‎ 由独立性知 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝，‎ ‎，‎ ‎.‎ 综上知，ξ有分布列 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而，Eξ＝1×＋2×＋3×＝(次)．‎ ‎18．解：(1)f(x)＝4(cosωx＋sinωx)sinωx＋cos2ωx ‎＝sinωxcosωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ‎＝sin2ωx＋1.‎ 因－1≤sin2ωx≤1，所以函数y＝f(x)的值域为[，]．‎ ‎(2)因y＝sinx在每个闭区间[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上为增函数，故f(x)＝sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间[，](k∈Z)上为增函数．‎ 依题意知[，][，]对某个k∈Z成立，此时必有k＝0，于是 解得，故ω的最大值为.‎ ‎19．解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1.故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为.‎ ‎ (2)解法一：如图，取D1为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．‎ 因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此，即AA12＝AD·A1B1＝8，得.‎ 从而.‎ 所以，在Rt△A1DD1中，‎ ‎.‎ 解法二：如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直．以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.‎ 设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)．‎ 由⊥，有8－h2＝0，.‎ 故＝(－2,0,)，＝(0,0,)，＝(0，，0)．‎ 设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥，m⊥，即 取z1＝1，得m＝(，0,1)．‎ 设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，‎ 则n⊥，n⊥，‎ 即 取x2＝1，得n＝(1,0,0)，‎ 所以cos〈m，n〉＝.‎ 所以二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值为.‎ ‎20．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为(a＞b＞0)，右焦点为F2(c,0)．‎ 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2为直角，因此|OA|＝|OB2|，得，结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率.‎ 在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.‎ 由题设条件得b2＝4，从而a2＝5b2＝20，‎ 因此所求椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此，，‎ 又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，‎ 所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)·(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝.‎ 由PB2⊥QB2，得·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.‎ 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.‎ ‎21． (1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，‎ 因a2≠0，故a1＝1，得，‎ 又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，‎ 两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1，‎ 由a2≠0，知an＋1≠0，因此，‎ 综上，对所有n∈N*成立．从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．‎ 证法二：用数学归纳法证明，n∈N*.‎ 当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，‎ 所以结论成立．‎ 假设n＝k时，结论成立，即，那么ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝.‎ 这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．‎ 综上可得，对任意n∈N*，.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．‎ ‎(2)证法一：当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．‎ 设n≥3，a2＞－1且a2≠0.由(1)知a1＝1，，所以要证的不等式化为1＋a2＋＋…＋≤(1＋)(n≥3)，‎ 即证：1＋a2＋＋…＋≤(1＋)(n≥2)．‎ 当a2＝1时，上面不等式的等号成立．‎ 当－1＜a2＜1时，与(r＝1,2，…，n－1)同为负；‎ 当a2＞1时，与(r＝1,2，…，n－1)同为正．‎ 因此当a2＞－1且a2≠1时，总有()()＞0，即＋＜1＋(r ‎＝1,2，…，n－1)．‎ 上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋＋…＋)＜(n－1)(1＋)，‎ 由此得1＋a2＋＋…＋．‎ 综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．‎ 证法二：当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋an)，等号也成立．‎ 当a2≠1时，由(1)知，.下证：‎ ‎(n≥3，a2＞－1且a2≠1)．‎ 当－1＜a2＜1时，上面不等式化为(n－2)＋na2－＜n－2(n≥3)．令f(a2)＝(n－2)＋na2－.‎ 当－1＜a2＜0时，，‎ 故f(a2)＝(n－2)＋na2(1－)＜(n－2)|a2|n＜n－2，‎ 即所要证的不等式成立．‎ 当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)－(n－1)＋1]＝ng(a2)．‎ 其中g(a2)＝(n－2)－(n－1)＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)＞g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)＞0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．‎ 当a2＞1时，令，则0＜b＜1，由已证的结论知，‎ 两边同乘以得所要证的不等式．‎ 综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．‎