全国Ⅱ卷文科数学高考真题 6页

2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则 A∩B= A．（-1，+∞） B．（ -∞，2） C．（ -1，2） D． 2.设 z=i（2+i），则 = A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i 3.已知向量 a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|= A． 2 B．2 C．5 2 D．50 4.生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标。若从这 5 只兔子中随机取出 3 只， 则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A． 2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲：我的成绩比乙高。 乙：丙的成绩比我和甲的都高。 丙：我的成绩比乙高。 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次 序为 A． 甲、乙、丙 B． 乙、甲、丙 C． 丙、乙、甲 D． 甲、丙、乙 6.设 f（x）为奇函数，且当 x≥0 时，f（x）= -1，则当 x<0 时，f（x）= A． -1 B． +1 C．- -1 D． - +1 7．设α ， β为两个平面，则α //β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α ，β平行于同一条直线 D．α ， β垂直于同一平面 8.若 ， 是函数 f（x）= sinωx（ω>0） 两个相邻的极值点，则ω A．2 B． 3 2 C．1 D． 1 2 9.若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A．2 B．3 C．4 D．8 10.曲线 y=2sinx+cosx 在点（π，-1）处的切线方程为 A．x-y-π-1=0 B．2x-y-2π-1=0 C．2x+y-2π+1=0 D．x+y-π+1=0 11.已知 ，2sin2α=cos2α+1，则 sinα= A． 1 5 B． 5 5 C． 3 3 D． 2 5 5 12.设 F 为双曲线 C： （a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点， 以 OF 为直径 的圆与圆 交于 P，Q 两点。若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若变量 x，y 满足约束条件 ，则，z=3x-y 的最大值是 。 14.我国高铁发展迅速，技术先进，经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点 率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 15.△ABC的内角 A， B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，知 bsin A+ acosB = 0 ，则 B = 16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1），半正多面体是 由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美。 图2是一个 棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上， 且此正方体的棱长为1. 则该半正多面体共有 个面， 其棱长为 （本题第一空2分，第二空3 分） 图1 图2 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共60分。 17.（12分） 如图，长方体 ABCD - A1B1C 1D 1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上， 。 （1）证明： ； （2）若 AE = A1E ， AB = 3 ，求四棱锥 E - BB1C 1C 的体积。 18. （12分） 已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 = 2 ， a3 = 2a2 +16。 （1）求{an}的通项公式； （2）设bn = log2 an ，求数列{ bn }的前n项和。 19. （12分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业 第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表）.（精确到0.01） 附： 20.（12分） 已知 F1,F2 是椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1 (a > b> 0)的两个焦点， P 为C 上的点， O为坐标 原点。 1）若 为等边三角形，求C 的离心率； 2）如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求 b的值和a的取值范围。 21.（12分） 已知函数 f (x) = (x-1)ln x- x -1，证明： （1） f (x)存在唯一的极值点； （2） f (x) = 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. （二） 选考题 ：共 10 分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

 在极坐标系中，O为极点，点 在曲线 上，直线l过点A（4， 0）且与OM垂直，垂足为P . （1）当 时，求 及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 

已知 f(x) = x- a x+ x- 2 (x- a) . 

（1）当a=1时，求不等式 f(x) < 0的解集； 

（2）若 时， ，求a的取值范围.