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  • 2021-05-14 发布

全国Ⅱ卷文科数学高考真题

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2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x|x>-1},B={x|x<2},则 A∩B= A.(-1,+∞) B.( -∞,2) C.( -1,2) D. 2.设 z=i(2+i),则 = A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i 3.已知向量 a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= A. 2 B.2 C.5 2 D.50 4.生物实验室有 5 只兔子,其中只有 3 只测量过某项指标。若从这 5 只兔子中随机取出 3 只, 则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A. 2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲:我的成绩比乙高。 乙:丙的成绩比我和甲的都高。 丙:我的成绩比乙高。 成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次 序为 A. 甲、乙、丙 B. 乙、甲、丙 C. 丙、乙、甲 D. 甲、丙、乙 6.设 f(x)为奇函数,且当 x≥0 时,f(x)= -1,则当 x<0 时,f(x)= A. -1 B. +1 C.- -1 D. - +1 7.设α , β为两个平面,则α //β的充要条件是 A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α ,β平行于同一条直线 D.α , β垂直于同一平面 8.若 , 是函数 f(x)= sinωx(ω>0) 两个相邻的极值点,则ω A.2 B. 3 2 C.1 D. 1 2 9.若抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点,则 p= A.2 B.3 C.4 D.8 10.曲线 y=2sinx+cosx 在点(π,-1)处的切线方程为 A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 11.已知 ,2sin2α=cos2α+1,则 sinα= A. 1 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 5 5 12.设 F 为双曲线 C: (a>0,b>0)的右焦点,O 为坐标原点, 以 OF 为直径 的圆与圆 交于 P,Q 两点。若|PQ|=|OF|,则 C 的离心率为 A. 2 B. 3 C.2 D. 5 二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.若变量 x,y 满足约束条件 ,则,z=3x-y 的最大值是 。 14.我国高铁发展迅速,技术先进,经统计,在经停某站的高铁列车中,有 10 个车次的正点 率为 0.97,有 20 个车次的正点率为 0.98,有 10 个车次的正点率为 0.99,则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为 15.△ABC的内角 A, B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,知 bsin A+ acosB = 0 ,则 B = 16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一,印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1),半正多面体是 由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美。 图2是一个 棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上, 且此正方体的棱长为1. 则该半正多面体共有 个面, 其棱长为 (本题第一空2分,第二空3 分) 图1 图2 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一) 必考题:共60分。 17.(12分) 如图,长方体 ABCD - A1B1C 1D 1 的底面 ABCD 是正方形,点 E 在棱 AA1 上, 。 (1)证明: ; (2)若 AE = A1E , AB = 3 ,求四棱锥 E - BB1C 1C 的体积。 18. (12分) 已知{an}是各项均为正数的等比数列, a1 = 2 , a3 = 2a2 +16。 (1)求{an}的通项公式; (2)设bn = log2 an ,求数列{ bn }的前n项和。 19. (12分) 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业 第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表。 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表).(精确到0.01) 附: 20.(12分) 已知 F1,F2 是椭圆C: x2 a2 + y2 b2 =1 (a > b> 0)的两个焦点, P 为C 上的点, O为坐标 原点。 1)若 为等边三角形,求C 的离心率; 2)如果存在点P,使得 ,且 的面积等于16,求 b的值和a的取值范围。 21.(12分) 已知函数 f (x) = (x-1)ln x- x -1,证明: (1) f (x)存在唯一的极值点; (2) f (x) = 0 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数. (二) 选考题 :共 10 分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一 题计分。 22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

 在极坐标系中,O为极点,点 在曲线 上,直线l过点A(4, 0)且与OM垂直,垂足为P . (1)当 时,求 及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 

已知 f(x) = x- a x+ x- 2 (x- a) . 

(1)当a=1时,求不等式 f(x) < 0的解集; 

(2)若 时, ,求a的取值范围.