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  • 2021-05-14 发布

安徽省合肥市高考数学二模试卷理科

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‎2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设复数z满足,则z在复平面内的对应点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.(5分)若集合,B={x|﹣1<x<2},则A∩B=(  )‎ A.[﹣2,2) B.(﹣1,1] C.(﹣1,1) D.(﹣1,2)‎ ‎3.(5分)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且经过点P(,4),则双曲线的方程是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.(5分)在△ABC中,,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎﹣0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是(  )‎ A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 ‎ B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 ‎ C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 ‎ D.剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎6.(5分)将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(  )‎ A.函数g(x)的图象关于点对称 ‎ B.函数g(x)的周期是 ‎ C.函数g(x)在上单调递增 ‎ D.函数g(x)在上最大值是1‎ ‎7.(5分)已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P,若F2B∥AP,则该椭圆离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有(  )‎ A.36种 B.44种 C.48种 D.54种 ‎9.(5分)函数f(x)=x2+xsinx的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.(5分)如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有(  )‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 ‎11.(5分)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则n的值为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎12.(5分)函数f(x)=ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|在(0,1)内有两个零点,则实数b的取值范围是(  )‎ A. B.(1﹣e,0)∪(0,e﹣1) ‎ C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S4=16,则数列{an}的公差d=   .‎ ‎14.(5分)若,则cos2α+cosα=   .‎ ‎15.(5分)若a+b≠0,则的最小值为   .‎ ‎16.(5分)已知半径为4的球面上有两点A,B,,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C﹣AB﹣O的大小为60o,则四面体OABC的外接球的半径为   .‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,△ABC的面积S=abc.‎ ‎(Ⅰ)求角C;‎ ‎(Ⅱ)求△ABC周长的取值范围.‎ ‎18.(12分)如图,三棱台ABC﹣EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF,BF=CF.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB⊥CG;‎ ‎(Ⅱ)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.‎ ‎19.(12分)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:‎ 方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;‎ 方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列;‎ ‎(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?‎ ‎20.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|•|BQ|的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=a(x+1)ln(x+1)﹣x2﹣ax(a>0)是减函数.‎ ‎(Ⅰ)试确定a的值;‎ ‎(Ⅱ)已知数列{an},,Tn=a1a2a3•…•an(n∈N*),求证:‎ ‎.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若P,Q分别为曲线C1,C2上的动点,求|PQ|的最大值.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知f(x)=|3x+2|.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)≤1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x2)≥a|x|恒成立,求实数a的最大值.‎ ‎2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设复数z满足,则z在复平面内的对应点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义;A5:复数的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4A:数学模型法;5N:数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解:∵=,‎ ‎∴z在复平面内的对应点为(2,2),位于第一象限.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.‎ ‎2.(5分)若集合,B={x|﹣1<x<2},则A∩B=(  )‎ A.[﹣2,2) B.(﹣1,1] C.(﹣1,1) D.(﹣1,2)‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;37:集合思想;49:综合法;5J:集合.‎ ‎【分析】可求出集合A,然后进行交集的运算即可.‎ ‎【解答】解:A={x|﹣2≤x<1},B={x|﹣1<x<2};‎ ‎∴A∩B=(﹣1,1).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】考查描述法、区间的定义,分式不等式的解法,以及交集的运算.‎ ‎3.(5分)已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,且经过点P(,4),则双曲线的方程是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;48:分析法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】求得双曲线的渐近线方程可得=2,代入点P的坐标,可得a,b的方程组,解方程即可得到所求双曲线的方程.‎ ‎【解答】解:双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,‎ 可得=2,‎ 由双曲线经过点P(,4),可得﹣=1,‎ 解得a=,b=2,‎ 则双曲线的方程为﹣=1.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎4.(5分)在△ABC中,,则=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】9E:向量数乘和线性运算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;41:向量法;5A:平面向量及应用.‎ ‎【分析】根据即可得出:,解出向量即可.‎ ‎【解答】解:∵;‎ ‎∴;‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】考查向量减法的几何意义,以及向量的数乘运算.‎ ‎5.(5分)如表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎﹣0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是(  )‎ A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 ‎ B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 ‎ C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 ‎ D.剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎【考点】B7:分布和频率分布表.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;44:数形结合法;5I:概率与统计.‎ ‎【分析】根据题意,分析表中数据,即可得出正确的选项.‎ ‎【解答】解:根据表中数据知,该公司2018年度冰箱类电器销售净利润所占比为﹣0.48,是亏损的,A正确;‎ 小家电类电器营业收入所占比和净利润所占比是相同的,但收入与净利润不一定相同,B错误;‎ 该公司2018年度净利润空调类电器销售所占比为95.80%,是主要利润来源,C正确;‎ 所以剔除冰箱类电器销售数据后,该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低,D正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了数据分析与统计知识的应用问题,是基础题.‎ ‎6.(5分)将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是(  )‎ A.函数g(x)的图象关于点对称 ‎ B.函数g(x)的周期是 ‎ C.函数g(x)在上单调递增 ‎ D.函数g(x)在上最大值是1‎ ‎【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;56:三角函数的求值;57:三角函数的图象与性质.‎ ‎【分析】直接利用函数的图象的伸缩变换的应用求出函数的关系式,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.‎ ‎【解答】解:函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),‎ 得到函数g(x)=2sin(2x+)﹣1的图象,‎ 故:‎ ‎①函数g(x)的图象关于点对称,‎ 故选项A错误.‎ ‎②函数的最小正周期为π,‎ 故选项B错误.‎ ‎③当时,,‎ 所以函数的最大值取不到1.‎ 故选项D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.‎ ‎7.(5分)已知椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P,若F2B∥AP,则该椭圆离心率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】如图所示,以线段F1A为直径的圆的方程为:+y2=‎ ‎,化为:x2﹣(a﹣c)x+y2﹣ac0.直线F1B的方程为:bx﹣cy+bc=0,联立解得P点坐标,利用 F2B∥AP,及其斜率计算公式、离心率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ 以线段F1A为直径的圆的方程为:+y2=,化为:x2﹣(a﹣c)x+y2﹣ac0.‎ 直线F1B的方程为:bx﹣cy+bc=0,‎ 联立,解得P.‎ kAP=,=﹣.‎ ‎∵F2B∥AP,‎ ‎∴=﹣,‎ 化为:e2=,e∈(0,1).‎ 解得.‎ 另解:F1A为圆的直径,∴∠F1PA=90°.‎ ‎∵F2B∥AP,‎ ‎∴∠F1BF2=90°.‎ ‎∴2a2=(2c)2,解得e=.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率与离心率计算公式、圆的标准方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎8.(5分)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有(  )‎ A.36种 B.44种 C.48种 D.54种 ‎【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5O:排列组合.‎ ‎【分析】根据题意,分3种情况讨论:①,任务A排在第一位,则E排在第二位,②,任务A排在第二位,则E排在第三位,③,任务A排在第三位,则E排在第四位,由加法原理计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,任务A必须排在前三项执行,分3种情况讨论:‎ ‎①,任务A排在第一位,则E排在第二位,将剩下的2项任务全排列,排好后有3个空位,将B、C安排在3个空位中,有A22A32=12种不同的执行方案,‎ ‎②,任务A排在第二位,则E排在第三位,BC的安排方法有4×A22=8种,将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置,有A22=2种安排方法,则有8×2=16种安排方法,‎ ‎③,任务A排在第三位,则E排在第四位,BC的安排方法有4×A22=8种,将剩下的2项任务全排列安排在剩下位置,有A22=2种安排方法,则有8×2=16种安排方法,‎ 则不同的执行方案共有12+16+16=44种;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分类计数原理的应用,注意优先分析受到限制的元素,属于基础题.‎ ‎9.(5分)函数f(x)=x2+xsinx的图象大致为(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考点】3A:函数的图象与图象的变换.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;33:函数思想;44:数形结合法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性排除B,再根据函数的单调性排除C,D,问题得以解决.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x2+xsinx是偶函数,关于y轴对称,故排除B,‎ 令g(x)=x+sinx,‎ ‎∴g′(x)=1+cosx≥0恒成立,‎ ‎∴g(x)在R上单调递增,‎ ‎∵g(0)=0,‎ ‎∴f(x)=xg(x)≥0,故排除D,‎ 当x>0时,f(x)=xg(x)单调递增,故当x<0时,f(x)=xg(x)单调递减,故排除C.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了函数图象识别和应用,考查了导数和函数单调性的关系,属于中档题.‎ ‎10.(5分)如图,正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图,则该多面体各表面所在平面互相垂直的有(  )‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 ‎【考点】L!:由三视图求面积、体积.菁优网版权所有 ‎【专题】31:数形结合;5F:空间位置关系与距离.‎ ‎【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步利用面面垂直的判定的应用求出结果.‎ ‎【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:‎ 根据几何体得到:‎ 平面SAD⊥平面SCD,平面SBC⊥平面SCD,‎ 平面SCD⊥平面ABCD,平面SAD⊥平面SBC.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,面面垂直的判定定理的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.‎ ‎11.(5分)“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则n的值为(  )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;38:对应思想;4R:转化法;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】由题意可得第n层的货物的价格为an=n•()n﹣1,根据错位相减法求和即可求出.‎ ‎【解答】解:由题意可得第n层的货物的价格为an=n•()n﹣1,‎ 设这堆货物总价是Sn=1•()0+2•()1+3•()2+…+n•()n﹣1,①,‎ 由①×可得Sn=1•()1+2•()2+3•()3+…+n•()n,②,‎ 由①﹣②可得Sn=1+()1+()2+()3+…+()n﹣1﹣n•()n=﹣n•()n=10﹣(10+n)•()n,‎ ‎∴Sn=100﹣10(10+n)•()n,‎ ‎∵这堆货物总价是万元,‎ ‎∴n=10,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了错位相减法求和,考查了运算能力,以及分析问题解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎12.(5分)函数f(x)=ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|在(0,1)内有两个零点,则实数b的取值范围是(  )‎ A. B.(1﹣e,0)∪(0,e﹣1) ‎ C. D.‎ ‎【考点】52:函数零点的判定定理.菁优网版权所有 ‎【专题】31:数形结合;32:分类讨论;35:转化思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】利用换元法设t=x﹣,则函数等价为y=﹣﹣2b|t|,条件转化为﹣=2b|t|,研究函数的 单调性结合绝对值的应用,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:f(x)=ex﹣e1﹣x﹣2b|x﹣|,‎ 设t=x﹣,则x=t+,‎ ‎∵0<x<1,∴﹣<t<,‎ 则函数f(x)等价为y=﹣﹣2b|t|,‎ 即等价为y=﹣﹣2b|t|在﹣<t<上有两个零点,‎ 即﹣=2b|t|有两个根,‎ 设h(t)=﹣,‎ 则h(﹣t)=﹣=﹣(﹣)=﹣h(t),即函数h(t)是奇函数,‎ 则h′(t)=+>0,即函数h(t)在﹣≤t≤上是增函数,‎ h(0)=0,h()=e﹣1,h(﹣)=1﹣e,‎ 当0≤t≤,‎ 若b=0,则函数f(x)只有一个零点,不满足条件.‎ 若b>0,则g(t)=2bx,‎ 设过原点的直线g(t)与h(t)相切,切点为(a,﹣),‎ h′(t)=+,即h′(a)=+,‎ 则切线方程为y﹣(﹣)=(+)(x﹣a),‎ 切线过原点,‎ 则﹣(﹣)=﹣a(+),‎ 即﹣+=﹣a﹣a,‎ 则(a+1)=(﹣a+1),‎ 得a=0,即切点为(0,0),此时切线斜率k=h′(0)==2‎ 若2=2b,则b==,此时切线y=2x与h(t)相切,只有一个交点,不满足条件.‎ 当直线过点(,e﹣1)时,e﹣1=2b×=b,‎ 此时直线g(t)=2(e﹣1)x,‎ 要使g(t)与h(t)有两个交点,则<b<e﹣1,‎ 当b<0时,t<0时,g(t)=﹣2bx,‎ 由﹣2b=2‎ 得b=﹣,当直线过点(﹣,1﹣e)时,1﹣e=﹣2b(﹣)=b,‎ 要使g(t)与h(t)有两个交点,则1﹣e<b<﹣,‎ 综上1﹣e<b<﹣或<b<e﹣1,‎ 即实数b的取值范围是,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用条件转化为两个函数图象问题是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.(5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=3,S4=16,则数列{an}的公差d= 2 .‎ ‎【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:由a2=3,S4=16,‎ ‎∴a1+d=3,4a1+6d=16,‎ 联立解得a1=1,d=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎14.(5分)若,则cos2α+cosα=  .‎ ‎【考点】GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4O:定义法;56:三角函数的求值.‎ ‎【分析】根据三角函数的诱导公式求出cosα的值,结合二倍角公式进行转化求解即可.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴cosα=,‎ 则cos2α+cosα=2cos2α﹣1+cosα=2×﹣1+=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用诱导公式以及二倍角公式是解决本题的关键.‎ ‎15.(5分)若a+b≠0,则的最小值为  .‎ ‎【考点】7F:基本不等式及其应用.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;35:转化思想;5T:不等式.‎ ‎【分析】根据题意,由基本不等式的性质可得a2+b2≥,进而可得≥+,结合基本不等式的性质分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,若a+b≠0,即a≠﹣b,则有a2+b2≥,‎ 则≥+≥2=,‎ 即的最小值为;‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用,关键是构造基本不等式成立的条件.‎ ‎16.(5分)已知半径为4的球面上有两点A,B,,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C﹣AB﹣O的大小为60o,则四面体OABC的外接球的半径为  .‎ ‎【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;34:方程思想;5Q:立体几何.‎ ‎【分析】由球面动点C想到以O为顶点,以A,B,C所在球小圆O′为底面的圆锥,作出图形,取AB中点E,∠OEO′=60°,进而求得高和底面半径,列方程求解不难.‎ ‎【解答】解:‎ 如图,设A,B,C所在球小圆为圆O′,‎ 取AB中点E,连接OE,O′E,‎ 则∠OEO′即为二面角C﹣AB﹣O的平面角,为60°,‎ 由OA=OB=4,AB=,‎ 得△AOB为等腰直角三角形,‎ ‎∴OE=,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 设O﹣ABC的外接球球心为M,半径为r,‎ 利用Rt△BO′M列方程得:,‎ 解得:r=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题考查了圆锥外接球,二面角等,综合性较强,难度较大.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,△ABC的面积S=abc.‎ ‎(Ⅰ)求角C;‎ ‎(Ⅱ)求△ABC周长的取值范围.‎ ‎【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知利用三角形的面积公式可得2c=sinC,由正弦定理化简已知等式可得a2+b2+ab=c2.由余弦定理得,即可得解C的值.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知2c=sinC,由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可得a+b+c=sin(A+)+,由范围,可求,利用正弦函数的图象和性质可求△ABC的周长的取值范围.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)由,可知:2c=sinC,‎ ‎∴sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C.由正弦定理得a2+b2+ab=c2.‎ ‎∴由余弦定理得,‎ ‎∴.…………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知2c=sinC,‎ ‎∴2a=sinA,2b=sinB.‎ ‎∴△ABC的周长为 ‎=‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴△ABC的周长的取值范围为.……………………………(12分)‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的面积公式,正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.‎ ‎18.(12分)如图,三棱台ABC﹣EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF,BF=CF.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB⊥CG;‎ ‎(Ⅱ)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值.‎ ‎【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有 ‎【专题】14:证明题;35:转化思想;41:向量法;5F:空间位置关系与距离;5G:空间角.‎ ‎【分析】(Ⅰ)取BC的中点为D,连结DF,推导出四边形CDFG为平行四边形,从而CG∥DF,DF⊥BC,CG⊥BC.进而CG⊥平面ABC,由此能证明CG⊥AB.‎ ‎(Ⅱ)连结AD.由△ABC是正三角形,且D为中点得,AD⊥BC.由CG⊥平面ABC,CG∥DF,DF⊥AD,DF⊥BC,以DB,DF,DA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D﹣xyz.利用向量法能求出直线AE与平面BEG所成角的正弦值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)取BC的中点为D,连结DF.‎ 由ABC﹣EFG是三棱台得,平面ABC∥平面EFG,从而BC∥FG.‎ ‎∵CB=2GF,∴,‎ ‎∴四边形CDFG为平行四边形,∴CG∥DF.‎ ‎∵BF=CF,D为BC的中点,‎ ‎∴DF⊥BC,∴CG⊥BC.‎ ‎∵平面ABC⊥平面BCGF,且交线为BC,CG⊂平面BCGF,‎ ‎∴CG⊥平面ABC,而AB⊂平面ABC,‎ ‎∴CG⊥AB.‎ 解:(Ⅱ)连结AD.由△ABC是正三角形,且D为中点得,AD⊥BC.‎ 由(Ⅰ)知,CG⊥平面ABC,CG∥DF,‎ ‎∴DF⊥AD,DF⊥BC,‎ ‎∴DB,DF,DA两两垂直.‎ 以DB,DF,DA分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.‎ 设BC=2,则A(),E(),B(1,0,0),G(﹣1,,0),‎ ‎∴,,.‎ 设平面BEG的一个法向量为.‎ 由可得,.‎ 令,则y=2,z=﹣1,∴.‎ 设AE与平面BEG所成角为θ,‎ 则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为.‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎19.(12分)某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:‎ 方案一:交纳延保金7000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2000元;‎ 方案二:交纳延保金10000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(Ⅰ)求X的分布列;‎ ‎(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?‎ ‎【考点】CG:离散型随机变量及其分布列;CH:离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5I:概率与统计.‎ ‎【分析】(Ⅰ)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.‎ ‎(Ⅱ)选择延保方案一,求出所需费用Y1元的分布列和数学期望,选择延保方案二,求出所需费用Y2元的分布列和数学期望,由此能求出该医院选择延保方案二较合算.‎ ‎【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ)X所有可能的取值为0,1,2,3,4,5,6.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(Ⅱ)选择延保方案一,所需费用Y1元的分布列为:‎ Y1‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ P ‎(元).‎ 选择延保方案二,所需费用Y2元的分布列为:‎ Y2‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ P ‎(元).‎ ‎∵EY1>EY2,∴该医院选择延保方案二较合算.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查相互独立事件概率乘法的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎20.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|•|BQ|的取值范围.‎ ‎【考点】K8:抛物线的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;49:综合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)可得抛物线的准线为,∴,解得,p=2,即可得抛物线的方程.‎ ‎(Ⅱ)设l:y=kx+1.设A(),B(x2,),可得..同理可得,,即可得|AP|•|BQ|的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到其准线的距离为10.‎ ‎∵抛物线的准线为,∴,‎ 解得,p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.…………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,因为F(0,1),则l:y=kx+1.‎ 设A(),B(x2,),由消去y得,x2﹣4kx﹣4=0,‎ ‎∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4.‎ 由于抛物线C也是函数的图象,且,则 ‎.‎ 令y=0,解得,∴P,从而.‎ 同理可得,,‎ ‎∴==.‎ ‎∵k2≥0,∴|AP|•|BQ|的取值范围为[2,+∞).……………………………(12分)‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质,直线与抛物线的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题 ‎21.(12分)已知函数f(x)=a(x+1)ln(x+1)﹣x2﹣ax(a>0)是减函数.‎ ‎(Ⅰ)试确定a的值;‎ ‎(Ⅱ)已知数列{an},,Tn=a1a2a3•…•an(n∈N*),求证:.‎ ‎【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4R:转化法;53:导数的综合应用;55:点列、递归数列与数学归纳法.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出原函数的定义域,求出原函数的导函数,把f(x)是定义域内的减函数转化为f′(x)=aln(x+1)﹣2x≤0恒成立.再利用导数求得导函数的最大值,由最大值等于0求得a值;‎ ‎(Ⅱ)由f(x)是减函数,且f(0)=0可得,当x>0时,f(x)<0,得到f(n)<0,即2(n+1)ln(1+n)<n2+2n.两边同除以2(n+1)2得,,即.得到Tn<,则.然后利用导数证明 即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞),f′(x)=aln(x+1)﹣2x.‎ 由f(x)是减函数得,对任意的x∈(﹣1,+∞),都有f′(x)=aln(x+1)﹣2x≤‎ ‎0恒成立.‎ 设g(x)=aln(x+1)﹣2x.‎ ‎∵,由a>0知,,‎ ‎∴当时,g'(x)>0;当时,g'(x)<0,‎ ‎∴g(x)在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴g(x)在时取得最大值.‎ 又∵g(0)=0,∴对任意的x∈(﹣1,+∞),g(x)≤g(0)恒成立,即g(x)的最大值为g(0).‎ ‎∴,解得a=2;‎ ‎(Ⅱ)由f(x)是减函数,且f(0)=0可得,当x>0时,f(x)<0,‎ ‎∴f(n)<0,即2(n+1)ln(1+n)<n2+2n.‎ 两边同除以2(n+1)2得,,即.‎ 从而,‎ ‎∴①.‎ 下面证.‎ 记,x∈[1,+∞).‎ ‎∴,‎ ‎∵在[2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴h'(x)在[2,+∞)上单调递减,而,‎ ‎∴当x∈[2,+∞)时,h'(x)<0恒成立,‎ ‎∴h(x)在[2,+∞)上单调递减,即x∈[2,+∞),h(x)≤h(2)=2ln4﹣ln3﹣3ln2=ln2﹣ln3<0,‎ ‎∴当n≥2时,h(n)<0.‎ ‎∵,‎ ‎∴当n∈N*时,h(n)<0,即②.‎ 综上①②可得,.‎ ‎【点评】本题考查利用导数求函数的最值,训练了利用导数证明数列不等式,考查化归与转化思想方法,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属难题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C1和C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若P,Q分别为曲线C1,C2上的动点,求|PQ|的最大值.‎ ‎【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5S:坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据平方关系式可得C1 的直角坐标方程,根据x=ρcosθ,y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)|PQ|的最大值为C1上的点到圆心C2的最大值加上半径.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)曲线C1的直角坐标方程为,‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=4y﹣3,即x2+(y﹣2)2=1.…………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)设P点的坐标为(2cosθ,sinθ).|PQ|≤|PC2|+1=,‎ 当时,|PQ|max=.…………………………(10分)‎ ‎【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知f(x)=|3x+2|.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)≤1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x2)≥a|x|恒成立,求实数a的最大值.‎ ‎【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4R:转化法;59:不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)去掉绝对值,求出不等式的解集即可;‎ ‎(Ⅱ)问题转化为,根据基本不等式的性质求出a的最大值即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)≤1得|3x+2|≤1,‎ 所以﹣1≤3x+2≤1,解得,‎ 所以,f(x)≤1的解集为.…………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)f(x2)≥a|x|恒成立,即3x2+2≥a|x|恒成立.‎ 当x=0时,a∈R;‎ 当x≠0时,.‎ 因为(当且仅当,即时等号成立),‎ 所以,即a的最大值是.…………………………(10分)‎ ‎【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查基本不等式的性质以及转化思想,是一道常规题.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/4/17 8:05:28;用户:qgjyuser10375;邮箱:qgjyuser10375.21957750;学号:21985382‎