高考数学压轴题试题部分 11页

数学 ‎1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求这三条曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎2．（14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围.‎ ‎3.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), ‎ 得到曲线C.‎ ‎(1) 求C的方程;‎ ‎(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,‎ 延长线段ON交C于点E.‎ 求证: 的充要条件是.‎ ‎4.（本小题满分14分）已知函数.‎ ‎(1) 试证函数的图象关于点对称;‎ ‎(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和 ‎(3) 设数列满足: , . 设.‎ 若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.‎ ‎5．（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.‎ （1） 当时，求的面积；‎ （1） 当时，求的大小；‎ （2） 求的最大值.‎ ‎6．（14分）已知数列中，，当时，其前项和满足，‎ （1） 求的表达式及的值；‎ （2） 求数列的通项公式；‎ （3） 设，求证：当且时，.‎ ‎7． (本小题满分14分)‎ 第21题 设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.‎ ‎(1) 证明：无论P点在什么位置，总有||2 = |·| ( O为坐标原点)；‎ ‎(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；‎ ‎1. (本小题满分12分)‎ 已知常数a > 0, n为正整数，fn(x)=xn–(x+a)n ( x > 0 )是关于x的函数.‎ ‎(1) 判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.‎ ‎(2) 对任意n ³ a , 证明f 'n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn'(n)‎ ‎2. (本小题满分12分)‎ 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,vÎ[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .‎ ‎(1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？‎ ‎(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？‎ ‎3. (本小题满分14分)‎ 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ¹ –1)的图象上，且有t2 – c2at + ‎4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).‎ ‎(1) 求证：| ac | ³ 4;‎ ‎(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增.‎ ‎(3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.‎ ‎4．（本小题满分15分）‎ 设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当 x=－1时，f (x)取得极大值，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．‎ （1） 求f (x)的表达式；‎ （2） 试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；‎ （3） 若，求证：‎ ‎5．（本小题满分13分）‎ 设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．‎ ‎6．（本小题满分12分）‎ 过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，‎ ‎（1）求点P的轨迹方程；‎ ‎（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎7．（本小题满分14分）‎ 设函数在上是增函数.‎ （1） 求正实数的取值范围；‎ （2） 设，求证：‎ ‎8．(本小题满分12分)‎ 如图，直角坐标系中，一直角三角形，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为12．若一双曲线以、为焦点，且经过、两点．‎ ‎(1) 求双曲线的方程；‎ ‎(2) 若一过点（为非零常数）的直线与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎9．(本小题满分14分)‎ 已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（为大于1的常数），记．‎ ‎(1) 求；‎ ‎(2) 试比较与的大小（）；‎ ‎(3) 求证：，（）．‎ ‎1．（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，已知双曲线C：的右准线与一条渐近线交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.‎ ‎ （I）求证：；‎ ‎ （II）若且双曲线C的离心率，求双曲线C的方程；‎ ‎ （III）在（II）的条件下，直线过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.‎ ‎2．（本小题满分13分）‎ 已知函数，‎ 数列满足 ‎ （I）求数列的通项公式；‎ ‎ （II）设x轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求；‎ ‎ （III）在集合，且中，是否存在正整数N，使得不等式对一切恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.‎ ‎ （IV）请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ ‎ 设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.‎ ‎ （I）求此双曲线的渐近线的方程；‎ ‎ （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；‎ ‎（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎3. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知数列的前n项和为，且对任意自然数都成立，其中m为常数，且.‎ ‎ （I）求证数列是等比数列；‎ ‎ （II）设数列的公比，数列满足：‎ ‎，试问当m为何值时，‎ 成立？‎ ‎4．（本小题满分12分）‎ 设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为8∶5．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程．‎ ‎5．（本小题满分14分）‎ ‎（理）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎（文）给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，试求的最大值，并求出取最大值时的首项和公差．‎ ‎6．（本小题满分12分）‎ 垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.‎ ‎7．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）若 ‎ （Ⅱ）若 ‎ （Ⅲ）若的大小关系（不必写出比较过程）.‎ ‎1．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.‎ ‎（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；‎ ‎（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎2．（本小题满分12分）‎ 如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.‎ ‎（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.‎ ‎3．（本小题满分12分）‎ ‎ 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.‎ ‎ （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.）‎ ‎4．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知 ‎（I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）；‎ ‎（II）设 ‎（III）若都成立，求a的取值范围.‎ ‎5．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）‎ 已知，函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求使成立的的集合；‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.‎ 本小题主要考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想和分析推理能力. 满分14分.‎ ‎6．（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分）‎ 设数列的前项和为，已知，且 ‎，‎ 其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)求与的值；‎ ‎(Ⅱ)证明：数列为等差数列；‎ ‎(Ⅲ)证明：不等式对任何正整数都成立.‎ ‎1．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 ‎ （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；‎ ‎ （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，‎ ‎ 使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2‎ ‎ 的正切值；若不存在，请说明理由.‎ ‎2．（本小题满分12分）‎ ‎ 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设 是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 ‎ （Ⅰ）用、、表示m；‎ ‎ （Ⅱ）证明：当；‎ ‎ （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，‎ ‎ 求b的取值范围及a与b所满足的关系.‎ ‎3．（本小题满分12分）‎ 已知数列的首项前项和为，且 ‎（I）证明数列是等比数列；‎ ‎（II）令，求函数在点处的导数并比较与的大小.‎ ‎4．(本小题满分14分)‎ 已知动圆过定点，且与直线相切，其中.‎ ‎（I）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎5．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.‎ ‎ （Ⅰ）求双曲线C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.‎ ‎6．（本小题满分12分）‎ ‎ 数列{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）用数学归纳法证明：；‎ ‎（Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828….‎ ‎7．（本小题满分12分）‎ 已知数列 ‎（1）证明 ‎（2）求数列的通项公式an.‎ ‎1．（本小题满分14分）‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ ‎2．（本小题满分12分）‎ ‎ 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.‎ ‎ （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.‎ ‎ （此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎3．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 ‎ （Ⅰ）证明 ‎（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；‎ ‎（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有 ‎4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．‎ 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.‎ ‎5．已知函数和的图象关于原点对称，且．‎ ‎ (Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎ (Ⅱ)解不等式；‎ ‎ (Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．‎ ‎6．(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),‎ ‎ f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg ‎ 规定: 函数h(x)= f(x) 当x∈Df且xDg ‎ g(x) 当xDf且x∈Dg (1) 若函数f(x)=,g(x)=x2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;‎ (2) 求问题(1)中函数h(x)的值域;‎ ‎(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.‎ ‎7．(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.‎ ‎ 在直角坐标平面中,已知点P1(1,2),P2(2,22),┄,Pn(n,2n),其中n是正整数.对平面上任一点A0,记A1为A0关于点P1的对称点, A2为A1关于点P2的对称点, ┄, AN为AN-1关于点PN的对称点.‎ ‎ (1)求向量的坐标;‎ ‎ (2)当点A0在曲线C上移动时, 点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;‎ ‎ (3)对任意偶数n,用n表示向量的坐标.‎ 一. 1. ‎(1) , (2) x=2‎ 2. ‎(1) bn=2n+1 (2) k=4 (3) 0‎ 二. 1. ‎(1) 单调递减 2. ‎(1) 不满足 (2) 满足 1. ‎(1) (2) (3)‎ 2. ‎(1) (2) 或 (3) 导数 3. 4. ‎(1) (2) =1‎ 5. ‎(1) (2) x=(a+b)/b 8. (1) (2) 9. (1) ‎ 二. 6. ‎ (1) (2) (3) （0，1）‎ 7. ‎(1) (2) (3) 存在，495个， (4) 存在极限 lim=2‎ ‎19. (1) (2) (3) 不存在 8. m=－10/9‎ 9. ‎(1) e=1/2 (2) ‎