高考数学平面向量的数量积及应用ok 5页

‎2013年高考数学第一轮复习单元 第13讲 平面向量的数量积及应用 一．【课标要求】‎ ‎1．平面向量的数量积 ‎①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；‎ ‎②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；‎ ‎③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；‎ ‎④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。‎ ‎2．向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，发展运算能力和解决实际问题的能力。‎ 二．【命题走向】‎ 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。‎ 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主 预测2013年高考：‎ ‎（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目 ‎（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；‎ 三．【要点精讲】‎ ‎1．向量的数量积 ‎（1）两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；‎ 说明：（1）当θ＝０时，与同向；2）当θ＝π时，与反向；3）当θ＝时，与垂直，记⊥；‎ ‎（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0°≤q≤180°。‎ C ‎（2）数量积的概念 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。‎ 规定；‎ 向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；‎ ‎（3）数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ‎（4）向量数量积的性质 ‎①向量的模与平方的关系：。‎ ‎②乘法公式成立；；‎ ‎③平面向量数量积的运算律 交换律成立：；‎ 对实数的结合律成立：；‎ 分配律成立：。‎ ‎④向量的夹角：cos==。‎ 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ‎（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量，则·=。‎ ‎（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。‎ 两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。‎ ‎（7）平面内两点间的距离公式 设，则或。‎ 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)‎ 四．【典例解析】‎ 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否：‎ ‎（1）；2）；3）若，则；‎ ‎（4）若，则当且仅当时成立；5）对任意向量都成立；‎ ‎（6）对任意向量，有。‎ 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零 例2． (1)、已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则 ‎（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ‎①（·）－（·）=②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直 ‎④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）‎ A.①②B.②③C.③④D.②④‎ 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。‎ 题型2：向量的夹角 例3．（1）过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是。‎ ‎（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。‎ ‎（4）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角为 （ ）‎ ‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ 点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。‎ 向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握 例4．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，‎ 且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）‎ A．－++= B．-+=C．+-= D．++=‎ ‎（2）已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；2）若，求的值．‎ 练习2、如图，已知△ABC中，|AC|=1,∠ABC=,∠BAC=θ,记。‎ （1） 求关于θ的表达式;‎ （2） 求的值域。‎ ‎3. 已知,,,。‎ ‎ （1）求；（2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝ ，，求sinx 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题 题型3：向量的模 例5．（1）已知向量与的夹角为，则等于（ ）‎ ‎ A．5　　　　B．‎4　‎　　　C．3　　　　D．1‎ ‎（2）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于（）A. B‎.2‎ C.4 D.12‎ 点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。‎ 例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。‎ 点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。‎ 题型4：向量垂直、平行的判定 例7．已知向量，，且，则。‎ 例8．已知，，，按下列条件求实数的值。‎ ‎（1）；（2）；。‎ 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算 题型6：平面向量在几何图形中的应用 例12．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。‎ 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。‎ ‎12题 ‎ 点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。‎ 针对练习 ‎1、已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( )‎ ‎ A．且c与d同向 B．且c与d反向 C．且c与d同向 D．且c与d反向 ‎3、设P是△ABC所在平面内的一点，，则（　　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 ( ) ‎ A.重心外心垂心 B.重心外心内心 C.外心重心垂心 D.外心重心内心 ‎5.若向量a=，b=，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围是. ‎ ‎6.已知向量，．若向量满足，，则（）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 对于个向量，若存在个不全为零的实数使得成立，‎ 则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量是线性相关的实数的值依次为.（只需写出一组值即可）‎ ‎9. 设向量与的夹角为，，，则．‎ ‎10. 已知向量的夹角的大小为.‎ 五．【思维总结】‎ ‎1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；‎ 如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但¹；‎ ‎ (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 特别注意：1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；‎ ‎（3）=0不能得到=或=。‎ ‎3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；‎ ‎4．注重数学思想方法的教学 ‎①．数形结合的思想方法。‎ 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。‎ ‎②．化归转化的思想方法。‎ 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。‎ ‎③．分类讨论的思想方法。‎