高考数学数列部分知识点梳理 5页

高考数学数列部分知识点梳理 一数列的概念 ‎ ‎1）数列的前项和与通项的公式①； ‎ ‎2）数列的分类：①递增数列:对于任何,均有.②递减数列:对于任何,均有.③摆动数列:例如: ④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数使.⑥无界数列:对于任何正数,总有项使得.‎ 一、 等差数列 ‎ 1） 通项公式，为首项，为公差。前项和公式或.‎ 2） 等差中项：。‎ 3） 等差数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.‎ 4） 等差数列的性质：‎ ‎ ⑴数列是等差数列，则数列、（是常数）都是等差数列；‎ ‎⑵在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为.‎ ‎⑶；(,是常数)；(,是常数，)‎ ‎⑷若，则；‎ ‎⑸若等差数列的前项和，则是等差数列；‎ ‎⑹当项数为，则；‎ ‎ 当项数为，则.‎ ‎ (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；‎ ‎ (8)设，，，则有；‎ ‎ (9) 是等差数列的前项和，则；‎ ‎ (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则 ‎　　    ①．为等差数列，公差为；‎ ‎　　　　 ②．（即）为等差数列，公差； ‎ ‎　　　　 ③．（即）为等差数列，公差为. ‎ 一、 等比数列 ‎ 1） 通项公式：，为首项，为公比 。前项和公式：①当时，②当时，.‎ 2） 等比中项：。；‎ 3） 等比数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.‎ 4） 等比数列的性质：‎ ‎⑴数列是等比数列，则数列、（是常数）都是等比数列；‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）若，则；‎ ‎ （4）若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.‎ ‎ （5）设，是等比数列，则也是等比数列。‎ ‎　（6）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；‎ ‎　（7）设是正项等比数列，则是等差数列；‎ ‎　（8）设，，，则有；‎ ‎　（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则 ‎　　①．为等比数列，公比为；‎ ‎　　②．（即）为等比数列，公比为；‎ 一、 解题技巧： ‎ A、数列求和的常用方法：‎ ‎1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。‎ ‎2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）‎ 即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。‎ ‎3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（其中等差）。可裂项为：，‎ B、等差数列前项和的最值问题：‎ ‎1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。‎ ‎（ⅰ）若已知通项，则最大；‎ ‎（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；‎ ‎2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 ‎（ⅰ）若已知通项，则最小；‎ ‎（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；‎ C、根据递推公式求通项：‎ ‎1、构造法：‎ ‎　1°递推关系形如“”，利用待定系数法求解 ‎　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.‎ ‎　2°递推关系形如“，两边同除或待定系数法求解 ‎　【例题】，求数列的通项公式.‎ ‎　3°递推已知数列中，关系形如“”，利用待定系数法求解 ‎　【例题】已知数列中，，求数列的 通项公式.‎ ‎　4°递推关系形如",两边同除以 ‎　【例题】已知数列中，，求数列的通项公式.‎ ‎　【例题】数列中，，求数列的通项公式.‎ 2、 迭代法：‎ ‎　a、⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；‎ ‎【例题】已知数列中，，求数列的通项公式 ‎ ‎ b、已知关系式，可利用迭乘法.‎ ‎【例题】已知数列满足：，求求数列的通项公式；‎ ‎3、给出关于和的关系 ‎ 【例题】设数列的前项和为，已知，设，‎ 求数列的通项公式．‎ 五、典型例题： ‎ A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）‎ ‎1）根据基本量求解（方程的思想）‎ ‎【例题】已知为等差数列的前项和，，求；‎ ‎2）根据数列的性质求解（整体思想）‎ ‎【例题】已知为等比数列前项和，，，则 .‎ B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）‎ C、证明数列是等差或等比数列 ‎1)证明数列等差 ‎【例题】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.‎ ‎2）证明数列等比 ‎【例题】数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；‎ D、求数列的前n项和 ‎【例题1】求数列的前项和.（拆项求和法）‎ ‎【例题2】求和：S=1+（裂项相消法）‎ ‎【例题3】设，求：⑴；‎ ‎ ⑵（倒序相加法）‎ ‎【例题4】若数列的通项，求此数列的前项和.（错位相减法）‎ ‎【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.‎ E、数列单调性最值问题 ‎【例题】数列中，，当数列的前项和取得最小值时， ‎