高考数学知识点综合 13页

‎2019数学高考知识点综合 ‎【必修一】‎ 一、 集合与函数概念 ‎ 并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作：A∪B 交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作：A∩B 补集：就是作差。‎ 1、 集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子有–2个. ‎ 集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R ‎2、求的反函数：解出，互换，写出的定义域；函数图象关于y=x对称。‎ ‎3、函数定义域：①分母不为0；②开偶次方被开方数；③指数的真数属于R、对数的真数.‎ ‎4、函数的单调性：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么：‎ ‎①； ②； ③。‎ ‎（4）换底公式：‎ ‎(5)对数函数的图象和性质 图 象 性 质 ‎(1)定义域：（0，+∞）‎ ‎（2）值域：R ‎（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0‎ ‎（4）在 （0，+∞）上是增函数 ‎（4）在（0，+∞）上是减函数 ‎(5)；‎ ‎(5)；‎ ‎8、幂函数：函数叫做幂函数（只考虑的图象）。‎ ‎9、方程的根与函数的零点：如果函数在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间 (a , b) 内有零点，即存在，使得这个c就是方程的根。零点函数与x轴的交点。‎ ‎【必修二】‎ 一、直线 平面 简单的几何体 ‎1、长方体的对角线长；正方体的对角线长 ‎2、球的体积公式： ； 球的表面积公式： ‎ ‎3、柱体、锥体、台体的体积公式：‎ ‎=h (为底面积，为柱体高)； = (为底面积，为柱体高)‎ ‎=(’++) (’, 分别为上、下底面积，为台体高)‎ ‎4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：‎ ‎（1）四公理三推论:‎ 公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。‎ 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。‎ 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。‎ 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。‎ 推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。‎ 推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.‎ ‎（2）空间线线，线面，面面的位置关系：‎ 空间两条直线的位置关系：‎ 相交直线——有且仅有一个公共点；‎ ‎ 平行直线——在同一平面内，没有公共点； ‎ 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。‎ 空间直线和平面的位置关系：‎ ‎（1）直线在平面内（无数个公共点）；‎ ‎（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；‎ ‎（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，，。‎ 空间平面和平面的位置关系：‎ ‎（1）两个平面平行——没有公共点；‎ ‎（2）两个平面相交——有一条公共直线。‎ ‎5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么该直线与这个平面平行。‎ 符号表示：。图形表示：‎ ‎6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。‎ 符号表示：。图形表示：‎ ‎7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。‎ 符号表示：。 图形表示：‎ ‎8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的平行。‎ 符号表示： ‎ ‎9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。‎ 符号表示：‎ ‎10、.两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。‎ ‎ 符号表示：‎ ‎11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。‎ 符号表示：。‎ ‎12、平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。符号表示：‎ ‎13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。‎ 直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。（如右图）‎ ‎14、异面直线所成角的取值范围是；‎ 直线与平面所成角的取值范围是；‎ 二面角的取值范围是；‎ 两个向量所成角的取值范围是 二、直线和圆的方程 ‎1、斜率：，；直线上两点，则斜率为 ‎2、直线的五种方程 ：‎ ‎（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．‎ ‎（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).‎ ‎（3）两点式( (、； ()、()).‎ ‎(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)‎ ‎（5）一般式 (其中A、B不同时为0).‎ ‎3、两条直线的平行、重合和垂直： ‎ ‎(1)若，‎ ‎①‖≠‎ ‎②；‎ ‎③.‎ ‎(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,‎ ‎①；②‎ ‎4、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的距离公式 │P1P2│=‎ ‎5、两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的中点坐标公式 M（，）‎ ‎6、点P（x0，y0）到直线（直线方程必须化为一般式）Ax+By+C=0的距离公式d=‎ ‎7、平行直线Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0的距离公式d=‎ ‎8、圆的方程：标准方程，圆心，半径为；‎ 一般方程，（配方：） ‎ 时，表示一个以为圆心，半径为的圆；‎ ‎9、点与圆的位置关系：‎ 点与圆的位置关系有三种：‎ 若，则 点在圆外;点在圆上;点在圆内.‎ ‎10、直线与圆的位置关系：‎ 直线与圆的位置关系有三种:‎ ‎;;‎ ‎.其中.‎ ‎11、弦长公式：‎ 若直线y=kx+b与二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于A(x1，y1)，B（x2，y2）两点，则由 ax2+bx+c=0(a≠0)‎ 二次曲线方程 y=kx+m ‎ 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为：‎ ‎= = =‎ ‎ ==‎ ‎13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式：‎ ‎ ⑴ xoy平面上的点的坐标的特征A（x，y，0）：竖坐标z=0‎ ‎ xoz平面上的点的坐标的特征B（x，0，z）：纵坐标y=0‎ ‎ yoz平面上的点的坐标的特征C（0，y，z）：横坐标x=0‎ ‎ x轴上的点的坐标的特征D（x，0，0）：纵、竖坐标y=z=0‎ ‎ y轴上的点的坐标的特征E（0，y，0）：横、竖坐标x=z=0‎ ‎ z轴上的点的坐标的特征E（0，0，z）：横、纵坐标x=y=0‎ ‎ ⑵│P1P2│=‎ 14. 立体几何中求点到平面的距离 建立直角坐标系：求平面的法向量，再用两点距离公式求（法向量与该点坐标）‎ 等体积法：将其看成一个四面体，顶点为所给点，另外三点为所给点射影平面上，将射影平面的三点构成的三角形为底面三角形，再根据=求出h（h即为点到平面的距离）‎ ‎【必修三】‎ 算法初步与统计：‎ 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能 图形符号 名称 功能 终端框（起止框）‎ 表示一个算法的起始和结束 输入、输出框 表示一个算法输入输出的信息 处理框（执行框）‎ 赋值、计算（语句、结果的传送）‎ 判断框 判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是”或“Y”，不成立时标明“否”或“N”‎ 流程线 连接程序框（流程进行的方向）‎ 连接点 连接程序框图的两部分 注释框 帮助注解流程图 循环框 程序做重复运算 一、算法的三种基本结构：（1）顺序结构（2）条件结构（3）循环结构 二、算法基本语句：1、输入语句:输入语句的格式：INPUT “提示内容”； 变量。2、输出语句:输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式。3、赋值语句:赋值语句的一般格式：变量=表达式。4、条件语句（1）“IF—THEN—ELSE”语句。5、循环语句:直到型循环结构“DO—LOOP UNTIL”语句和当型循环结构“WHILE—WEND”。‎ 三．三种常用抽样方法：‎ ‎1、简单随机抽样；2．系统抽样；3．分层抽样。4．统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。‎ 四、频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；‎ ‎（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×频率。‎ ‎2、频率分布直方图： （注意：不是小矩形的高度）‎ 计算公式： ‎ ‎ 各组频数之和=样本容量， 各组频率之和=1‎ ‎3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。‎ 折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。‎ ‎4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。‎ 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；‎ 将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；‎ ‎5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。‎ ‎（1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。‎ ‎（2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平均数的程度越高。‎ ‎（3）计算公式：‎ 标准差：‎ 方差： ‎ 直线回归方程的斜率为，截距为，即回归方程为=x+（此直线必过点（，））。‎ ‎6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。‎ 五、随机事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C…表示.‎ 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。‎ ‎1、事件间的关系：‎ ‎（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；‎ ‎（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；‎ ‎（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；‎ ‎（4）对立一定互斥，互斥不一定对立。‎ ‎2、概率的加法公式：‎ ‎（1）当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）（2）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)．‎ ‎3、古典概型：‎ ‎（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式： ‎ ‎4、几何概型：‎ ‎（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。‎ ‎（2）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．‎ ‎（3）几何概型的概率公式： ‎ ‎【必修四】‎ 一、 三角函数 ‎1、弧度制：（1）、弧度，1弧度；弧长公式： （为所对的弧长，为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负）。‎ ‎2、三角函数： ‎ ‎（1）、定义： ‎ ‎3、特殊角的三角函数值：‎ 的角度 的弧度 ‎—‎ ‎—‎ ‎4、同角三角函数基本关系式： ‎ ‎5、诱导公式：（众变横不变，符号看象限） 正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。‎ ‎ 1、 诱导公式一： 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： ‎ ‎ ‎ ‎4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六：‎ ‎ ‎ ‎6、两角和与差的正弦、余弦、正切：‎ ‎： ：‎ ‎： ： ‎ ‎： ： ‎ tan+tan= tan(+)() tan-tan= tan(-)()‎ ‎7、辅助角公式：‎ ‎8、二倍角公式：（1）、： ： ： ‎ ‎（2）、降次公式：（多用于研究性质）‎ ‎ ‎ ‎9、在四个三角函数中只有是偶函数，其它三个是寄函数。（指数函数、对数函数是非寄非偶函数）‎ ‎10、在三角函数中求最值（最大值、最小值）；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、单调第减区间）；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；‎ 如：再求解。‎ ‎11、三角函数的图象与性质：‎ 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 单调性 在增 在减 在增 在减 在 增 最值 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 无 当时,‎ 对称性 对称中心，‎ 对称轴：‎ 对称中心，‎ 对称轴：‎ 对称中心，‎ 对称轴：无 ‎12．函数的图象：‎ ‎（1）用“图象变换法”作图 由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。‎ 法一：先平移后伸缩 ‎，‎ 法二：先伸缩后平移 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当函数（A>0，，）表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数，它叫做振动的频率；叫做相位，叫做初相（即当x＝0时的相位）。‎ 二、平面向量 ‎ ‎1、平面向量的概念：‎ 在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．‎ 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．‎ 向量的大小称为向量的模（或长度），记作．‎ 模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．‎ 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．‎ 方向相同且模相等的向量称为相等向量．‎ ‎2、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么 ‎(1) 结合律：λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律：(λ+μ) =λ+μ;(3)第二分配律：λ()=λ +λ.‎ ‎3、向量的数量积的运算律：(1) · =· （交换律）;‎ ‎(2)（）· = （·）=· =·（）;(3)（）·= · +·.‎ ‎4、平面向量基本定理：‎ 如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 =λ1 +λ2．‎ 不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎5、坐标运算：（1）设，则 数与向量的积：λ，数量积：‎ ‎（2）、设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.（终点减起点）‎ ‎6、平面两点间的距离公式：（1） =‎ ‎（2）向量的模||：；‎ ‎（3）、平面向量的数量积： ， 注意：，，‎ ‎（4）、向量的夹角，则， ‎ ‎7、重要结论：（1）、两个向量平行： ， ‎ ‎（2）、两个非零向量垂直 ‎ ‎（3）、P分有向线段的：设P（x，y） ，P1（x1，y1） ，P2（x2，y2） ，且 ， ‎ ‎ ‎ 则定比分点坐标公式 中点坐标公式 三、空间向量 ‎1、空间向量的概念：（空间向量与平面向量相似）‎ 在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．‎ 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．‎ 向量的大小称为向量的模（或长度），记作．‎ 模（或长度）为的向量称为零向量；模为的向量称为单位向量．‎ 与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量，记作．‎ 方向相同且模相等的向量称为相等向量．‎ ‎2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．‎ ‎3、设，为实数，，是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．‎ 分配律：；结合律：．‎ ‎4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．‎ ‎5、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．‎ ‎6、平行于同一个平面的向量称为共面向量．‎ ‎7、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；‎ ‎8、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．‎ ‎9、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．‎ ‎10、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．‎ ‎11、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．‎ ‎12、若，为非零向量，为单位向量，则有；；，，；．‎ ‎13、量数乘积的运算律：；；．‎ ‎14、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则，‎ 异面垂直时．‎ ‎15、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则，‎ ‎．‎ ‎16、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．‎ ‎ 。‎ ‎【必修五】：‎ 一、解三角形：（1）三角形的面积公式：：‎ ‎（2）正弦定理：‎ ‎（3）、余弦定理： ‎ ‎（4）求角：‎ （5） 直角三角形的内切圆半径 ‎ 一般三角形内切圆半径 ‎ 直角三角形外接圆半径 二. 数列 ‎1、数列的前n项和：； 数列前n项和与通项的关系：‎ 2、 等差数列 ：（1）、定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数；‎ 性质：等差中项：若a、b、c成等差，则2b=a+c 若（、、、），则；‎ 若（、、），则 ‎（2）、通项公式： （其中首项是，公差是；）‎ ‎（3）、前n项和： （d≠0）‎ ‎（4）、等差中项： 是与的等差中项： 或，三个数成等差常设：a-d，a，a+d ‎3、等比数列：（1）、定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（）。‎ ‎ 性质：等比中项：若，，成等比数列，则 若，则；‎ 若，则 ‎（2）、通项公式：（其中：首项是，公比是）‎ ‎（3）、前n项和：‎ （4） ‎、等比中项： 是与的等比中项：， 即（或，等比中项有两个）‎ ‎4、数列求和的方法：（1）套用公式法： ①等差数列求和公式：‎ ‎②等比数列求和公式：‎ ‎（2）裂项相消法： ‎ ‎（3）分组求和法：等差+等比 ‎（4）错位相减法：等差*等比 ‎ ‎（5）倒序相加法 ‎ 三：不等式 ‎1、重要不等式：（1） 或 (当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ ‎2、均值不等式：（2） 或 ‎ ‎(当且仅当a＝b时取“=”号)．‎ 一正、二定、三相等 注意：解指数、对数不等式的方法：同底法，同时对数的真数大于0； ‎ 圆锥曲线 ‎1、椭圆：平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆 即：,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距 几何性质：‎ 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 轴长 短轴的长 长轴的长 顶点 ‎、‎ ‎、‎ 焦点 ‎、‎ ‎、‎ 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 ‎2、双曲线：平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹 即：这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距几何性质：‎ 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 顶点 ‎、‎ ‎、‎ 焦点 ‎、‎ ‎、‎ 焦距 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 离心率 渐近线方程 ‎3、抛物线：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线 ‎ 几何性质：‎ 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率