高考数学全国卷完整试题答案解析 11页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．‎ 答题前，考生务必用‎0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸规定的位置．‎ 参考公式：‎ 样本数据的标准差 其中为样本平均数 球的面积公式 ‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．‎ ‎2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.复数（是虚数单位）的虚部是 A． B． C． D．‎ ‎2.已知是实数集，，则 A． B． C. D． ‎ ‎3.现有个数，其平均数是，且这个数的平方和是，那么这个数组的标准差是 A． B． C． D．‎ ‎4.设为等比数列的前项和，，则 A． B． C． D．15‎ ‎5.已知函数，若存在，使得恒成立，则的值是 A． B． C． D．‎ ‎6.已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为 ‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）则∥‎ ‎（4） ‎ A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）‎ ‎7.已知平面上不共线的四点，若等于 A． B． C． D．‎ ‎8.已知三角形的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是 A． B． C． D．‎ ‎9.函数的零点所在的区间是 A． B． C． D．‎ ‎10.过直线上一点引圆的切线，则切线长的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎11.已知函数.若都是区间内的数，则使成立的概率是 A． B． C． D．‎ ‎12.已知双曲线的标准方程为，为其右焦点，是实轴的两端点，设 为双曲线上不同于的任意一点，直线与直线分别交于两点,若,则的值为 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 1． 请用‎0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．‎ 2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．‎ 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．‎ 否 ‎ 开始 ‎ 输出 ‎ 结束 ‎ 是 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.‎ ‎14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.‎ 第14题图 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为．‎2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的 倍． ‎ ‎16.给出下列命题：‎ ‎①已知都是正数，且，则；‎ ‎②已知是的导函数，若，则一定成立；‎ ‎③命题“，使得”的否定是真命题；‎ ‎④“”是“”的充要条件.‎ 其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)‎ 三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知向量共线，且有函数．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在中，角,的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ A B C D E F 已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥面；‎ ‎（Ⅱ）求证：面；‎ ‎（III）求四棱锥的体积.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：‎ 时间（秒）‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ 深度（微米）‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎17‎ 现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；‎ ‎（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得关于的线性回归方程，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数在点的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：在上恒成立.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 实轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点在轴上.抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点,且，△的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；‎ B x y A F1‎ F2‎ C o ‎（Ⅱ）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于,若,求直线的斜率.‎ 参考答案及评分标准 一． 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ B D B A D B B D B C C B 二． 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） ‎ ‎13． 14. 15. 16. ①③ ‎ 三．解答题 ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵与共线 ‎ ‎∴‎ ‎…………3分 ‎∴，即 …………………………………………4分 ‎ …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）已知 由正弦定理得：‎ ‎∴，∴在中 ∠ …………………………………………8分 ‎∵∠ ∴, …………………………………………10分 ‎∴,‎ ‎∴函数的取值范围为 …………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得 ‎ …………………………………………2分 解得， …………………………………………4分 ‎．……………………………6分 ‎(Ⅱ)， …………………………………………7分 ‎……………………9分 ‎∴ …………………………………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）取AC中点G,连结FG、BG，‎ ‎∵F,G分别是AD,AC的中点 A B C D E F G ‎∴FG∥CD,且FG=DC=1 ．‎ ‎∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等 ‎∴EF∥BG． ……………………………2分 ‎∴∥面 ……………………………4分 ‎（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC,BG面ABC ∴DC⊥BG ‎∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC,DC，‎ ‎∴BG⊥面ADC ． …………………………………………6分 ‎∵EF∥BG ‎∴EF⊥面ADC ‎∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC ． …………………………………………8分 ‎（Ⅲ）连结EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．‎ ‎．………………………12分 另法：取的中点为，连结，则，又平面,‎ ‎∴ , ∴平面，∴为的高，．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设6组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从6组数据中选取2组数据共有15种情况：（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）（3,4）（3,5）（3,6）（4,5）（4,6）（5,6），其中事件A包含的基本事件有10种． …………………………………………3分 所以．所以选取的2组数据恰好不相邻的概率是． ………………………6分 ‎(Ⅱ) 当时， ……………………………………9分 ‎ ‎ 当时， ‎ 所以，该研究所得到的回归方程是可靠的． …………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）将代入切线方程得 ‎ ‎∴，化简得． …………………………………………2分 ‎ ． …………………………………………4分 解得：‎ ‎∴ ． …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）由已知得在上恒成立 化简得 即在上恒成立 ． …………………………………………8分 设，‎ ‎∵ ∴，即． …………………………………………10分 ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴在上恒成立 ． …………………………………………12分 ‎22．（本小题满分14分）‎ 解（1）设椭圆方程为，‎ 由题意知 …………………………………………2分 解得，∴．‎ ‎∴椭圆的方程为 …………………………………………4分 ‎∵，∴,代入椭圆的方程得，‎ 将点A坐标代入得抛物线方程为． …………………………………………6分 ‎（2）设直线的方程为，‎ 由 得，‎ 化简得 …………………………………………8分 联立直线与抛物线的方程，‎ 得 ‎∴① …………………………………………10分 联立直线与椭圆的方程 得 ‎∴② …………………………………………12分 ‎∴‎ 整理得：‎ ‎∴ ，所以直线的斜率为 ． …………………………………………14分