高考试题天津卷 17页

‎2002年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至10页。共150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：‎ 1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。‎ 2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ 3、 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）‎ 如果事件A、B互相独立，那么 P（AB）=P（A）P（B）‎ 如果事件A在试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 正棱锥、圆锥的侧面积公式 ‎ 其中c表示底面周长，表示斜高或母线长 球的体积公式 其中R表示球的半径。‎ 第I卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 ‎（A） （B） （C）1 （D）‎ 分析：本题考查三角函数的最值问题 本题选D，难度为★‎ ‎（2）复数的值是 ‎（A） （B） （C） （D）1‎ 分析：本题考查复数运算 本题选C，难度为★‎ ‎（3）已知m、n异面直线，‎ ‎（A）与m、n都相交 （B）与m、n中至少一条相交 ‎（B）与m、n都不相交 （D）至多与m、n中的一条相交 分析：本题考查立体几何基础知识，如果l与m和n都不相交，则m与n平行，与异面矛盾。‎ 本题选B，难度为★★‎ ‎（4）不等式的解集是 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 分析：本题考查不等式的解法。‎ 本题选D，难度为★★‎ ‎（5）在（0,2π）内，使sinx>cosx成立的x取值范围为 ‎ （A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 分析：本题考查三角函数的性质。可以利用辅助角公式将两个三角函数合成一个；也可以采用三解函数线来判断。‎ 本题选C，难度为★★‎ ‎（6）设集合则 ‎ （A） （B） （C）（D）‎ 分析：本题考查了集合间的运算，M表示所有奇数的四分之一，N表示所有整数的四分之一，因此M为N的子集。‎ 本题选B，难度为★★‎ ‎（7）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1所成的角是 ‎ （A）（B） （C）（D）‎ 分析：本题考查异面直线成角问题，利用平移的方法，将所给的异面直线放在同一平面，再 进行计算。‎ 本题选B，难度为★★‎ ‎（8）函数是单调函数的充要条件是 （A） b≥0 （B）b≤0 （C）b>0 （D）b<0‎ 分析：本题考查函数单调性问题，可以利用二次函数图像来进行判断；也可以利用导数来进行判断 本题选A，难度为★★‎ ‎（9）已知，则有 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 分析：本题考查函数比大小的内容，利用对数函数性质很容易得出正确结论。‎ 本题选D，难度为★★‎ ‎（10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为：‎ （A） ‎3x-2y-11=0 （B）(x-1)2+(y-2)2=5‎ ‎（C） 2x-y=0 （D）x+2y-5=0‎ 分析：本题考查平面向量的运算，由于，取C点所在的两个特殊点，根据两点式即能求出C的轨迹 本题选D，难度为★★★‎ ‎（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A） ‎8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种 分析：本题考查排列组合问题，有2个面不相邻的反面是3个面都相邻，容易分析出三个面都相邻有8种选法，用总数减去8即为正确答案。‎ 本题选B，难度为★★★‎ ‎（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%。” 如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 ‎（A）115000亿元 （B）120000亿元 （C）127000亿元 （D）135000亿元 分析：本题考查二项式定理之估算法。‎ 本题选C，难度为★★★‎ 第二卷（非选择题共90分）‎ 注意事项：‎ 1、 第二卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ 2、 答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。‎ ‎（13）函数 图象与其反函数图象的交点坐标为________。‎ 分析：本题考查了求解反函数。‎ 本题答案：（0,0）,（1,1），难度为★★‎ ‎（14）椭圆的一个焦点是（0,2）,那么k=_____________.‎ 分析：本题考查了椭圆的基础知识。先把椭圆的方程化为标准方程，再利用椭圆的自身性质求解。‎ 本题答案：-1，难度为★★‎ ‎（15）直线x=0，y=0，x=2与曲线所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于__________________。‎ 分析：本题考查了积分，解法如下：‎ ‎（16）已知函数，那么 ‎______________。‎ 分析：本题考查了函数的综合问题。由于题目当中除第一项外，相邻两项互为倒数，因此，我们就可以考虑把x分之一代处f(x)当中，结果得到，自变量互为倒数的两项之各为1，因为本题的结果为。‎ 本题答案：，难度为★★★‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知的值。‎ 注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。‎ ‎（18甲）（本小题满分12分）‎ 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为，侧棱长为。‎ ‎（Ⅰ）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求AC1与侧面ABB1A1所成的角 ‎（18乙）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=‎ ‎（Ⅰ）求MN的长；‎ ‎（Ⅱ）当为何值时，MN的长最小；‎ ‎（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。‎ ‎（Ⅰ）求至少3人同时上网的概率；‎ ‎（Ⅱ）至少几人同时上网的概率小于0.3？‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴交点为。证明：‎ ‎① ；‎ ‎② 若，则 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知两点M（-1,0），N（1,0），且点P使成等差小于零的等差数列。‎ ‎（Ⅰ）点P的轨迹是什么曲线？‎ ‎（Ⅱ）若点P坐标为，记为与的夹角，求。‎ ‎（22）已知是由非负整数组成的数列，满足 ‎……。‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明……；‎ ‎（Ⅲ）求的通项公式及其前项和。‎ ‎2002年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数学试题（理工农医类）参考答案 一． 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每题5分，满分60分。‎ ‎（1）D （2）C （3）B （4）D （5）C （6）B ‎（7）B （8）A （9）D （10）D （11）B （12）C 一． 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分 ‎（13）（0,0）,（1,1） （14）-1 （15） （16）‎ 二． 解答题 ‎（17）本小题考查同角三角函数关系式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。‎ 解：‎ 注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。‎ 本小题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方法，考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。满分12分。‎ 解：（1）如图，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面垂直的直线为Ox轴，建立空间直角坐标系。‎ 由已知，得 ‎------------4分 ‎（2）坐标系如上。取的中点M，于是有,连有 ‎,且 由于 所以，‎ ‎∴‎ ‎（18乙）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。‎ 解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，‎ 即MNQP是平行四边形。‎ ‎∴MN=PQ 由已知，‎ CM=BN=a,CB=AB=BE=1,‎ ‎∴‎ 即 ‎∴（2）由（1）‎ ‎（3）取MN的中点G，连接AG、BG，‎ ‎∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG⊥MN，∴∠AGB即为二面角α的平面角。‎ 又，所以由余弦定理有 ‎。故所求二面角。‎ ‎（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。‎ 解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即 ‎（2）至少4人同时上网的概率为 至少5人同时上网的概率为 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.‎ ‎（20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。满分12分。‎ （1） 解：求的导数：，由此得切线的方程：‎ ‎。‎ （2） 证：依题意，切线方程中令y=0，‎ ‎.‎ ① 由 ‎.‎ ‎②‎ ‎。‎ ‎（21）本小题主要考查向量的数量积，二次函数和等差数列等基础知识，以及综合分析和解决问题的能力。满分12分。‎ 解：（1）‎ ‎。‎ 于是，是等差小于零的等差数列等价于 即,‎ 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。‎ ‎（2）点P的坐标为。‎ ‎（22）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。满分14分。‎ 解：（1）由题设得，且均为非负整数，所以的可能的值为1、2、5、10.‎ 若＝1,则＝10，＝，与题设矛盾。‎ 若＝5,则＝2, ，与题设矛盾。‎ 若＝10,则＝1, ，，与题设矛盾。‎ 所以＝2.‎ ‎（2）用数学归纳法证明：‎ ‎①当，等式成立。‎ ‎②假设当时等式成立，即，‎ 由题设 因为 所以 也就是说，当时，等式成立。‎ 根据①②，对于所有。‎ ‎（3）由得 ‎……。‎ 即……。‎ 所以