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  • 2021-05-14 发布

2020年高考真题——数学(江苏卷) Word版含解析

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绝密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)‎ 数学Ⅰ 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 ‎1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.‎ ‎3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.‎ ‎4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.‎ ‎5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.‎ 参考公式:‎ 柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集即可计算.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型.‎ - 24 -‎ ‎2.已知是虚数单位,则复数的实部是_____.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值.‎ ‎【详解】∵复数 ‎∴‎ ‎∴复数的实部为3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.‎ ‎3.已知一组数据的平均数为4,则的值是_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数的公式进行求解即可.‎ ‎【详解】∵数据的平均数为4‎ ‎∴,即.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.‎ ‎4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可.‎ ‎【详解】根据题意可得基本事件数总为个.‎ 点数和为5的基本事件有,,,共4个.‎ ‎∴出现向上的点数和为5的概率为.‎ - 24 -‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎5.如图是一个算法流程图,若输出的值为,则输入的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的性质,判断出,由此求得的值.‎ ‎【详解】由于,所以,解得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值,考查指数函数的性质,属于基础题.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线方程求得,由此求得,进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】双曲线,故.由于双曲线的一条渐近线方程为,即 - 24 -‎ ‎,所以,所以双曲线的离心率为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.‎ ‎7.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再根据奇函数求 ‎【详解】,因为为奇函数,所以 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎8.已知 =,则的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.‎ ‎【详解】‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为‎2 cm,高为‎2 cm,内孔半轻为‎0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求正六棱柱体积,再求圆柱体积,相减得结果.‎ ‎【详解】正六棱柱体积为 圆柱体积为 所求几何体体积为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎10.将函数y=的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果.‎ ‎【详解】‎ 当时 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎11.设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和 - 24 -‎ ‎,则d+q的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合等差数列和等比数列前项和公式的特点,分别求得的公差和公比,由此求得.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意.‎ 等差数列的前项和公式为,‎ 等比数列的前项和公式为,‎ 依题意,即,‎ 通过对比系数可知,故.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式,属于中档题.‎ ‎12.已知,则的最小值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件可得,可得,利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】∵‎ - 24 -‎ ‎∴且 ‎∴,当且仅当,即时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).‎ ‎13.在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题设条件可设,结合与三点共线,可求得,再根据勾股定理求出,然后根据余弦定理即可求解.‎ ‎【详解】∵三点共线,‎ ‎∴可设,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ - 24 -‎ 若且,则三点共线,‎ ‎∴,即,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ 设,,则,.‎ ‎∴根据余弦定理可得,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴的长度为.‎ 当时, ,重合,此时的长度为,‎ 当时,,重合,此时,不合题意,舍去.‎ 故答案为:0或.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出.‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:上的两个动点,满足,则△PAB面积的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积,最后利用导数求最大值.‎ ‎【详解】‎ 设圆心到直线距离为,则 - 24 -‎ 所以 令(负值舍去)‎ 当时,;当时,,因此当时,取最大值,即取最大值为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.在三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB⊥AC,B‎1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B‎1C的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面AB‎1C1;‎ ‎(2)求证:平面AB‎1C⊥平面ABB1.‎ ‎【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过证明,来证得平面.‎ ‎(2)通过证明平面,来证得平面平面.‎ ‎【详解】(1)由于分别是的中点,所以.‎ 由于平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)由于平面,平面,所以.‎ - 24 -‎ 由于,所以平面,‎ 由于平面,所以平面平面.‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,属于中档题.‎ ‎16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用余弦定理求得,利用正弦定理求得. ‎ ‎(2)根据的值,求得的值,由(1)求得的值,从而求得的值,进而求得的值.‎ ‎【详解】(1)由余弦定理得,所以.‎ - 24 -‎ 由正弦定理得.‎ ‎(2)由于,,所以.‎ 由于,所以,所以 所以 ‎.‎ 由于,所以.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题.‎ ‎17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为‎40米.‎ - 24 -‎ ‎(1)求桥AB的长度;‎ ‎(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为‎80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?‎ ‎【答案】(1)‎120米(2)米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据A,B高度一致列方程求得结果;‎ ‎(2)根据题意列总造价的函数关系式,利用导数求最值,即得结果.‎ ‎【详解】(1)由题意得 米 ‎(2)设总造价为万元,,设,‎ ‎(0舍去)‎ 当时,;当时,,因此当时,取最小值,‎ 答:当米时,桥墩CD与EF的总造价最低.‎ ‎【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F‎1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.‎ - 24 -‎ ‎(1)求△AF‎1F2的周长;‎ ‎(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;‎ ‎(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.‎ ‎【答案】(1)6;(2)-4;(3)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据椭圆定义可得,从而可求出的周长;‎ ‎(2)设,根据点在椭圆上,且在第一象限,,求出,根据准线方程得点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;‎ ‎(3)设出设,点到直线的距离为,由点到直线的距离与,可推出,根据点到直线的距离公式,以及满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标.‎ ‎【详解】(1)∵椭圆的方程为 ‎∴,‎ 由椭圆定义可得:.‎ ‎∴的周长为 ‎(2)设,根据题意可得.‎ ‎∵点在椭圆上,且在第一象限,‎ ‎∴‎ ‎∵准线方程为 ‎∴‎ - 24 -‎ ‎∴,当且仅当时取等号.‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎(3)设,点到直线的距离为.‎ ‎∵,‎ ‎∴直线的方程为 ‎∵点到直线的距离为,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴①‎ ‎∵②‎ ‎∴联立①②解得,.‎ ‎∴或.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.‎ ‎19.已知关于x的函数与在区间D上恒有.‎ ‎(1)若,求h(x)的表达式;‎ ‎(2)若,求k的取值范围;‎ - 24 -‎ ‎(3)若求证:.‎ ‎【答案】(1);(2);(3)证明详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得与的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得的表达式.‎ ‎(2)先由,求得的一个取值范围,再由,求得的另一个取值范围,从而求得的取值范围.‎ ‎(3)先由,求得的取值范围,由方程的两个根,求得的表达式,利用导数证得不等式成立.‎ ‎【详解】(1)由题设有对任意的恒成立.‎ 令,则,所以.‎ 因此即对任意的恒成立,‎ 所以,因此.‎ 故.‎ ‎(2)令,.‎ 又.‎ 若,则在上递增,在上递减,则,即,不符合题意.‎ 当时,,符合题意.‎ 当时, 在上递减,在上递增,则,‎ 即,符合题意.‎ 综上所述,.‎ 由 - 24 -‎ 当,即时,在为增函数,‎ 因为,‎ 故存在,使,不符合题意.‎ 当,即时,,符合题意.‎ 当,即时,则需,解得.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎(3)因为对任意恒成立,‎ 对任意恒成立,‎ 等价于对任意恒成立.‎ 故对任意恒成立 令,‎ 当,,‎ 此时,‎ 当,,‎ 但对任意的恒成立. ‎ 等价于对任意的恒成立.‎ 的两根为,‎ 则,‎ 所以.‎ 令,则.‎ 构造函数,,‎ 所以时,,递减,.‎ - 24 -‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.‎ ‎20.已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ–k”数列.‎ ‎(1)若等差数列是“λ–‎1”‎数列,求λ的值;‎ ‎(2)若数列是“”数列,且an>0,求数列的通项公式;‎ ‎(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ–‎3”‎数列,且an≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由,‎ ‎【答案】(1)1‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据定义得,再根据和项与通项关系化简得,最后根据数列不为零数列得结果;‎ ‎(2)根据定义得,根据平方差公式化简得,求得,即得;‎ ‎(3)根据定义得,利用立方差公式化简得两个方程,再根据方程解的个数确定参数满足的条件,解得结果 ‎【详解】(1)‎ ‎(2)‎ - 24 -‎ ‎,‎ ‎(3)假设存在三个不同的数列为数列.‎ 或 或 ‎∵对于给定的,存在三个不同的数列为数列,且 或有两个不等的正根.‎ 可转化为,不妨设,则有两个不等正根,设.‎ ‎① 当时,,即,此时,,满足题意.‎ ‎② 当时,,即,此时 - 24 -‎ ‎,,此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.‎ 综上,‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步,考查综合分析求解能力,属难题.‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A.[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.‎ ‎(1)求实数,的值;‎ ‎(2)求矩阵的逆矩阵.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据变换写出具体的矩阵关系式,然后进行矩阵的计算可得出实数的值;‎ ‎(2)设出逆矩阵,由定义得到方程,即可求解.‎ ‎【详解】(1)∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点 ‎∴‎ ‎∴,解得 ‎(2)设,则 - 24 -‎ ‎∴,解得 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查矩阵变换的应用,考查逆矩阵的求法,解题时要认真审题,属于基础题.‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).‎ ‎(1)求,的值 ‎(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将A,B点坐标代入即得结果;(2)联立直线与圆极坐标方程,解得结果.‎ ‎【详解】(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,‎ ‎,‎ 因为点为直线上,故其直角坐标方程为,‎ 又对应的圆的直角坐标方程为:,‎ 由解得或, ‎ - 24 -‎ 对应的点为,故对应的极径为或.‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 当时;‎ 当时,舍;即所求交点坐标为当 ‎【点睛】本题考查极坐标方程及其交点,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ C.[选修4-5:不等式选讲] ‎ ‎23.设,解不等式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值定义化为三个方程组,解得结果 ‎【详解】或或 或或 所以解集为 ‎【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.在三棱锥A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点.‎ - 24 -‎ ‎(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;‎ ‎(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)建立空间直角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;‎ ‎(2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.‎ 详解】‎ ‎(1)连 以为轴建立空间直角坐标系,则 - 24 -‎ 从而直线与所成角的余弦值为 ‎(2)设平面一个法向量为 令 设平面一个法向量为 令 因此 ‎【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.‎ ‎25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.‎ ‎(1)求p1·q1和p2·q2;‎ ‎(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) .‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接根据操作,根据古典概型概率公式可得结果;‎ ‎(2)根据操作,依次求,即得递推关系,构造等比数列求得,最后根据数学期望公式求结果.‎ - 24 -‎ ‎【详解】(1),‎ ‎,‎ ‎(2),‎ ‎,‎ 因此,‎ 从而,‎ 即.‎ 又的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式,考查综合分析求解能力,属难题.‎ ‎ ‎ - 24 -‎