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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题~第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式:
柱体的体积,其中是柱体的底面积,是柱体的高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合交集即可计算.
【详解】∵,
∴
故答案为:.
【点睛】本题考查了交集及其运算,是基础题型.
- 24 -
2.已知是虚数单位,则复数的实部是_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则,化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查复数的基本概念,是基础题.
3.已知一组数据的平均数为4,则的值是_____.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平均数的公式进行求解即可.
【详解】∵数据的平均数为4
∴,即.
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出基本事件总数,点数和为5的种数,再根据概率公式解答即可.
【详解】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有,,,共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
- 24 -
故答案为:.
【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
5.如图是一个算法流程图,若输出的值为,则输入的值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质,判断出,由此求得的值.
【详解】由于,所以,解得.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值,考查指数函数的性质,属于基础题.
6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求得,由此求得,进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线,故.由于双曲线的一条渐近线方程为,即
- 24 -
,所以,所以双曲线的离心率为.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的求法,属于基础题.
7.已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时, ,则f(-8)的值是____.
【答案】
【解析】
【分析】
先求,再根据奇函数求
【详解】,因为为奇函数,所以
故答案为:
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题.
8.已知 =,则的值是____.
【答案】
【解析】
【分析】
直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.
【详解】
故答案为:
【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,属基础题.
9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半轻为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
- 24 -
【答案】
【解析】
【分析】
先求正六棱柱体积,再求圆柱体积,相减得结果.
【详解】正六棱柱体积为
圆柱体积为
所求几何体体积为
故答案为:
【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积,考查基本分析求解能力,属基础题.
10.将函数y=的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据图象变换得解析式,再求对称轴方程,最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为:
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴,考查基本分析求解能力,属基础题.
11.设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和
- 24 -
,则d+q的值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
结合等差数列和等比数列前项和公式的特点,分别求得的公差和公比,由此求得.
【详解】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,根据题意.
等差数列的前项和公式为,
等比数列的前项和公式为,
依题意,即,
通过对比系数可知,故.
故答案为:
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式,属于中档题.
12.已知,则的最小值是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设条件可得,可得,利用基本不等式即可求解.
【详解】∵
- 24 -
∴且
∴,当且仅当,即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).
13.在△ABC中,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设条件可设,结合与三点共线,可求得,再根据勾股定理求出,然后根据余弦定理即可求解.
【详解】∵三点共线,
∴可设,
∵,
∴,即,
- 24 -
若且,则三点共线,
∴,即,
∵,∴,
∵,,,
∴,
设,,则,.
∴根据余弦定理可得,,
∵,
∴,解得,
∴的长度为.
当时, ,重合,此时的长度为,
当时,,重合,此时,不合题意,舍去.
故答案为:0或.
【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:上的两个动点,满足,则△PAB面积的最大值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件得,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积,最后利用导数求最大值.
【详解】
设圆心到直线距离为,则
- 24 -
所以
令(负值舍去)
当时,;当时,,因此当时,取最大值,即取最大值为,
故答案为:
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.
(1)求证:EF∥平面AB1C1;
(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.
【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.
【解析】
【分析】
(1)通过证明,来证得平面.
(2)通过证明平面,来证得平面平面.
【详解】(1)由于分别是的中点,所以.
由于平面,平面,所以平面.
(2)由于平面,平面,所以.
- 24 -
由于,所以平面,
由于平面,所以平面平面.
【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,属于中档题.
16.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求的值;
(2)在边BC上取一点D,使得,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)利用余弦定理求得,利用正弦定理求得.
(2)根据的值,求得的值,由(1)求得的值,从而求得的值,进而求得的值.
【详解】(1)由余弦定理得,所以.
- 24 -
由正弦定理得.
(2)由于,,所以.
由于,所以,所以
所以
.
由于,所以.
所以.
【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,属于中档题.
17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行,为铅垂线(在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米.
- 24 -
(1)求桥AB的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k>0).问为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?
【答案】(1)120米(2)米
【解析】
【分析】
(1)根据A,B高度一致列方程求得结果;
(2)根据题意列总造价的函数关系式,利用导数求最值,即得结果.
【详解】(1)由题意得
米
(2)设总造价为万元,,设,
(0舍去)
当时,;当时,,因此当时,取最小值,
答:当米时,桥墩CD与EF的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,属中档题.
18.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF2⊥F1F2,直线AF1与椭圆E相交于另一点B.
- 24 -
(1)求△AF1F2的周长;
(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求的最小值;
(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S1,S2,若S2=3S1,求点M的坐标.
【答案】(1)6;(2)-4;(3)或.
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆定义可得,从而可求出的周长;
(2)设,根据点在椭圆上,且在第一象限,,求出,根据准线方程得点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;
(3)设出设,点到直线的距离为,由点到直线的距离与,可推出,根据点到直线的距离公式,以及满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标.
【详解】(1)∵椭圆的方程为
∴,
由椭圆定义可得:.
∴的周长为
(2)设,根据题意可得.
∵点在椭圆上,且在第一象限,
∴
∵准线方程为
∴
- 24 -
∴,当且仅当时取等号.
∴的最小值为.
(3)设,点到直线的距离为.
∵,
∴直线的方程为
∵点到直线的距离为,
∴
∴
∴①
∵②
∴联立①②解得,.
∴或.
【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根据推出是解答本题的关键.
19.已知关于x的函数与在区间D上恒有.
(1)若,求h(x)的表达式;
(2)若,求k的取值范围;
- 24 -
(3)若求证:.
【答案】(1);(2);(3)证明详见解析
【解析】
【分析】
(1)求得与的公共点,并求得过该点的公切线方程,由此求得的表达式.
(2)先由,求得的一个取值范围,再由,求得的另一个取值范围,从而求得的取值范围.
(3)先由,求得的取值范围,由方程的两个根,求得的表达式,利用导数证得不等式成立.
【详解】(1)由题设有对任意的恒成立.
令,则,所以.
因此即对任意的恒成立,
所以,因此.
故.
(2)令,.
又.
若,则在上递增,在上递减,则,即,不符合题意.
当时,,符合题意.
当时, 在上递减,在上递增,则,
即,符合题意.
综上所述,.
由
- 24 -
当,即时,在为增函数,
因为,
故存在,使,不符合题意.
当,即时,,符合题意.
当,即时,则需,解得.
综上所述,的取值范围是.
(3)因为对任意恒成立,
对任意恒成立,
等价于对任意恒成立.
故对任意恒成立
令,
当,,
此时,
当,,
但对任意的恒成立.
等价于对任意的恒成立.
的两根为,
则,
所以.
令,则.
构造函数,,
所以时,,递减,.
- 24 -
所以,即.
【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,属于难题.
20.已知数列的首项a1=1,前n项和为Sn.设λ与k是常数,若对一切正整数n,均有成立,则称此数列为“λ–k”数列.
(1)若等差数列是“λ–1”数列,求λ的值;
(2)若数列是“”数列,且an>0,求数列的通项公式;
(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列为“λ–3”数列,且an≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由,
【答案】(1)1
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据定义得,再根据和项与通项关系化简得,最后根据数列不为零数列得结果;
(2)根据定义得,根据平方差公式化简得,求得,即得;
(3)根据定义得,利用立方差公式化简得两个方程,再根据方程解的个数确定参数满足的条件,解得结果
【详解】(1)
(2)
- 24 -
,
(3)假设存在三个不同的数列为数列.
或
或
∵对于给定的,存在三个不同的数列为数列,且
或有两个不等的正根.
可转化为,不妨设,则有两个不等正根,设.
① 当时,,即,此时,,满足题意.
② 当时,,即,此时
- 24 -
,,此情况有两个不等负根,不满足题意舍去.
综上,
【点睛】本题考查数列新定义、由和项求通项、一元二次方程实根分步,考查综合分析求解能力,属难题.
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-2:矩阵与变换]
21.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.
(1)求实数,的值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)根据变换写出具体的矩阵关系式,然后进行矩阵的计算可得出实数的值;
(2)设出逆矩阵,由定义得到方程,即可求解.
【详解】(1)∵平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点
∴
∴,解得
(2)设,则
- 24 -
∴,解得
∴
【点睛】本题考查矩阵变换的应用,考查逆矩阵的求法,解题时要认真审题,属于基础题.
B.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中,).
(1)求,的值
(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)将A,B点坐标代入即得结果;(2)联立直线与圆极坐标方程,解得结果.
【详解】(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,
,
因为点为直线上,故其直角坐标方程为,
又对应的圆的直角坐标方程为:,
由解得或,
- 24 -
对应的点为,故对应的极径为或.
(2),
,
当时;
当时,舍;即所求交点坐标为当
【点睛】本题考查极坐标方程及其交点,考查基本分析求解能力,属基础题.
C.[选修4-5:不等式选讲]
23.设,解不等式.
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值定义化为三个方程组,解得结果
【详解】或或
或或
所以解集为
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式,考查基本分析求解能力,属基础题.
【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24.在三棱锥A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点.
- 24 -
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;
(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F—DE—C的大小为θ,求sinθ的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,利用向量数量积求直线向量夹角,即得结果;
(2)先求两个平面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
详解】
(1)连
以为轴建立空间直角坐标系,则
- 24 -
从而直线与所成角的余弦值为
(2)设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.
25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.
(1)求p1·q1和p2·q2;
(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示) .
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)直接根据操作,根据古典概型概率公式可得结果;
(2)根据操作,依次求,即得递推关系,构造等比数列求得,最后根据数学期望公式求结果.
- 24 -
【详解】(1),
,
(2),
,
因此,
从而,
即.
又的分布列为
0
1
2
故.
【点睛】本题考查古典概型概率、概率中递推关系、构造法求数列通项、数学期望公式,考查综合分析求解能力,属难题.
- 24 -
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