• 1.87 MB
  • 2021-05-14 发布

2020-2021学年高考数学(理)考点:导数的概念及运算

  • 37页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2020-2021学年高考数学(理)考点:导数的概念及运算 ‎1.导数的概念 ‎(1)一般地,函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率是 = ,我们称它为函数y=f (x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= = .‎ ‎(2)如果函数y=f (x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f (x)在开区间(a,b)内的导函数.简称导数,记作f′(x)或y′.‎ ‎2.导数的几何意义 函数y=f (x)在点x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f (x)在点P(x0,f (x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f (x)=c(c为常数)‎ f′(x)=0‎ f (x)=xα(α∈Q*)‎ f′(x)=αxα-1‎ f (x)=sin x f′(x)=cos x f (x)=cos x f′(x)=-sin x f (x)=ex f′(x)=ex f (x)=ax(a>0)‎ f′(x)=axln a f (x)=ln x f′(x)= f (x)=logax(a>0,a≠1)‎ f′(x)= ‎4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 ‎(1)[f (x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);‎ ‎(2)[f (x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f (x)g′(x);‎ ‎(3)′=(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数的导数 复合函数y=f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 概念方法微思考 ‎1.根据f′(x)的几何意义思考一下,|f′(x)|增大,曲线f (x)的形状有何变化?‎ 提示 |f′(x)|越大,曲线f (x)的形状越来越陡峭.‎ ‎2.直线与曲线相切,是不是直线与曲线只有一个公共点?‎ 提示 不一定.‎ ‎1.(2020•新课标Ⅰ)函数的图象在点,(1)处的切线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,得,‎ ‎(1),‎ 又(1),‎ 函数的图象在点,(1)处的切线方程为,‎ 即.‎ 故选.‎ ‎2.(2020•新课标Ⅲ)若直线与曲线和圆都相切,则的方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线与圆相切,那么圆心到直线的距离等于半径,‎ 四个选项中,只有,满足题意;‎ 对于选项:与联立,可得,此时无解;‎ 对于选项:与联立,可得,此时解得;‎ 直线与曲线和圆都相切,方程为,‎ 故选.‎ ‎3.(2019•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由,得,‎ ‎,‎ 曲线在点处的切线方程为,‎ 即.‎ 故选.‎ ‎4.(2019•新课标Ⅲ)已知曲线在点处的切线方程为,则  ‎ A., B., C., D.,‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导数为,‎ 由在点处的切线方程为,‎ 可得,解得,‎ 又切点为,可得,即,‎ 故选.‎ ‎5.(2018•全国)若函数图象上点,(1)处的切线平行于直线,则  ‎ A. B.0 C. D.1‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的导数为,‎ 可得点,(1)处的切线斜率为,‎ 由点,(1)处的切线平行于直线,‎ 可得,‎ 解得,‎ 故选.‎ ‎6.(2018•新课标Ⅰ)设函数.若为奇函数,则曲线在点 处的切线方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数,若为奇函数,,‎ ‎.‎ 所以:‎ 可得,所以函数,可得,‎ 曲线在点处的切线的斜率为:1,‎ 则曲线在点处的切线方程为:.‎ 故选.‎ ‎7.(2016•山东)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,‎ 则函数的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为,‎ 当时,,满足条件;‎ 当时,恒成立,不满足条件;‎ 当时,恒成立,不满足条件;‎ 当时,恒成立,不满足条件;‎ 故选.‎ ‎8.(2016•四川)设直线,分别是函数图象上点,处的切线,与垂直相交于点,且,分别与轴相交于点,,则的面积的取值范围是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,,,,‎ 当时,,当时,,‎ 的斜率,的斜率,‎ 与垂直,且,‎ ‎,即.‎ 直线,.‎ 取分别得到,,‎ ‎.‎ 联立两直线方程可得交点的横坐标为,‎ ‎.‎ 函数在上为减函数,且,‎ ‎,则,‎ ‎.‎ 的面积的取值范围是.‎ 故选.‎ ‎9.(2020•新课标Ⅲ)设函数,若(1),则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数,,‎ 若(1),,则,‎ 故答案为:1.‎ ‎10.(2019•全国)若函数,,则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由,得,‎ ‎,,‎ ‎.‎ 故答案为:3.‎ ‎11.(2018•天津)已知函数,为的导函数,则(1)的值为__________.‎ ‎【答案】e ‎【解析】函数,‎ 则;‎ ‎(1).‎ 故答案为:.‎ ‎12.(2016•天津)已知函数,为的导函数,则的值为__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:3.‎ ‎13.(2020•上海)已知函数,是的反函数,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,‎ 把与互换,可得的反函数为.‎ 故答案为:.‎ ‎14.(2020•新课标Ⅰ)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】的导数为,‎ 设切点为,可得,‎ 解得,即有切点,‎ 则切线的方程为,即,‎ 故答案为:.‎ ‎15.(2019•天津)曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,可知:‎ ‎,‎ ‎.‎ 曲线在点处的切线方程:,‎ 整理,得:.‎ 故答案为:.‎ ‎16.(2019•江苏)在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点,为自然对数的底数),则点的坐标是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,,由,得,‎ ‎,则该曲线在点处的切线方程为,‎ 切线经过点,,‎ 即,则.‎ 点坐标为.‎ 故答案为:.‎ ‎17.(2019•江苏)在平面直角坐标系中,是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是__________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】由,得,‎ 设斜率为的直线与曲线切于,,‎ 由,解得.‎ 曲线上,点到直线的距离最小,‎ 最小值为.‎ 故答案为:4.‎ ‎18.(2019•新课标Ⅰ)曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 在点处的切线斜率,‎ 切线方程为:.‎ 故答案为:.‎ ‎19.(2018•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ 当时,‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎20.(2018•新课标Ⅲ)曲线在点处的切线的斜率为,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线,可得,‎ 曲线在点处的切线的斜率为,‎ 可得:,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎21.(2018•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 曲线在点处的切线方程为.‎ 故答案为:.‎ ‎22.(2017•全国)若曲线的切线与直线平行,则的方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点为,‎ 可得,‎ 的导数为,‎ 由切线与直线平行,可得 ‎,解得,‎ 即有切点为,‎ 可得切线的方程为,‎ 即为.‎ 故答案为:.‎ ‎23.(2017•天津)已知,设函数的图象在点,(1)处的切线为,则在轴上的截距为__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】函数,可得,切线的斜率为:(1),‎ 切点坐标,切线方程为:,‎ 在轴上的截距为:.‎ 故答案为:1.‎ ‎24.(2017•新课标Ⅰ)曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线,可得,‎ 切线的斜率为:.‎ 切线方程为:,即:.‎ 故答案为:.‎ ‎25.(2016•新课标Ⅲ)已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为偶函数,可得,‎ 当时,,即有 时,,,‎ 可得(1),(1),‎ 则曲线在点处的切线方程为,‎ 即为.‎ 故答案为:.‎ ‎26.(2016•新课标Ⅲ)已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知为偶函数,当时,,‎ 设,则,‎ ‎,‎ 则,‎ ‎(1).‎ 曲线在点处的切线方程是.‎ 即.‎ 故答案为:.‎ ‎27.(2016•新课标Ⅱ)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与和的切点分别为,、,;‎ 由导数的几何意义可得,得 再由切点也在各自的曲线上,可得 联立上述式子解得;‎ 从而得出.故答案为:.‎ ‎28.(2018•江苏)记,分别为函数,的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.‎ ‎(1)证明:函数与不存在“点”;‎ ‎(2)若函数与存在“点”,求实数的值;‎ ‎(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“点”,并说明理由.‎ ‎【解析】(1)证明:,,‎ 则由定义得,得方程无解,则与不存在“点”;‎ ‎(2),,,‎ 由得,得,‎ ‎,得;‎ ‎(3),,,‎ 由,假设,得,得,‎ 由,得,得,‎ 令,,‎ 设,,‎ 则,(1),得(1),‎ 又的图象在上不间断,‎ 则在上有零点,‎ 则在上有零点,‎ 则存在,使与在区间内存在“”点.‎ ‎29.(2016•新课标Ⅱ)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在,(1)处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.‎ ‎【解析】当时,.‎ ‎(1),即点为,‎ 函数的导数,‎ 则(1),‎ 即函数的切线斜率(1),‎ 则曲线在处的切线方程为;‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ 在上单调递增,‎ ‎(1).‎ ‎①,(1),‎ 在上单调递增,‎ ‎(1),满足题意;‎ ‎②,存在,,函数在上单调递减,在,上单调递增,‎ 由(1),可得存在,,不合题意.‎ 综上所述,.‎ 另解:若当时,,‎ 可得,‎ 即为,‎ 由的导数为,‎ 由的导数为,‎ 函数在递增,可得,‎ 则函数在递增,‎ 则,‎ 可得恒成立,‎ 即有.‎ ‎30.(2020•北京)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)设曲线在点,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)的导数,‎ 令切点为,可得切线的斜率为,‎ ‎,,‎ 切线的方程为;‎ ‎(Ⅱ)曲线在点,处的切线的斜率为,‎ 切线方程为,‎ 令,可得,令,可得,‎ ‎,‎ 由,可知为偶函数,‎ 不妨设,则,‎ ‎,‎ 由,得,‎ 当时,,递增;当时,,递减,‎ 则在和处取得极小值,且为最小值32,‎ 所以的最小值为32.‎ ‎31.(2020•新课标Ⅲ)设函数,曲线在点,处的切线与轴垂直.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎【解析】(1)由,得,‎ ‎,即;‎ ‎(2)证明:设为的一个零点,根据题意,,且,‎ 则,且,‎ 令,‎ ‎,‎ 当,,时,,当,时,‎ 可知在,,上单调递减,在,上单调递增.‎ 又,(1),,,‎ ‎.‎ 设 为的零点,则必有,‎ 即,‎ ‎,得,‎ 即.‎ 所有零点的绝对值都不大于1.‎ ‎32.(2016•北京)设函数.‎ ‎(1)求曲线在点,处的切线方程;‎ ‎(2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;‎ ‎(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎【解析】(1)函数的导数为,‎ 可得在点,处的切线斜率为,‎ 切点为,可得切线的方程为;‎ ‎(2)设,即有,‎ 由,可得,‎ 由的导数,‎ 当或时,,递增;‎ 当时,,递减.‎ 即有在处取得极大值,且为0;‎ 在处取得极小值,且为.‎ 由函数有三个不同零点,可得,‎ 解得,‎ 则的取值范围是;‎ ‎(3)证明:若有三个不同零点,令,‎ 可得的图象与轴有三个不同的交点.‎ 即有有3个单调区间,‎ 即为导数的图象与轴有两个交点,‎ 可得△,即,即为;‎ 若,即有导数的图象与轴有两个交点,‎ 当,时,满足,‎ 即有,图象与轴交于,,则的零点为2个.‎ 故是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ 强化训练 ‎1.(2019•西湖区校级模拟)已知某函数的导数为y′,则这个函数可能是(  )‎ A.y=ln B.y=ln C.y=ln(1﹣x) D.y=ln ‎【答案】A ‎【解析】对选项求导.‎ A、(ln)′()′,符合;‎ 对于B,∵,∴,不符合;‎ 对于C,,不符合;‎ 对于D,∵y=﹣ln(x﹣1)∴,不符合;‎ 故选A.‎ ‎2.(2020•重庆模拟)函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是(  )‎ A.10 B.9 C.8 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由f(x)=ax2+bx,得f′(x)=2ax+b,‎ 又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,‎ 所以f′(1)=2a+b=2,即.‎ 则.‎ 当且仅当,即时“=”成立.‎ 所以的最小值是9.‎ 故选B.‎ ‎3.(2019•西湖区校级模拟)函数f(x)=cosx(sinx+1)的导数是(  )‎ A.cos2x+sinx B.cos2x﹣sinx C.cos2x+cosx D.cos2x﹣cosx ‎【答案】B ‎【解析】f′(x)=﹣sinx(sinx+1)+cosx•cosx=cos2x﹣sin2x﹣sinx=cos2x﹣sinx.‎ 故选B.‎ ‎4.(2019•西湖区校级模拟)函数f(x)=cosx+sinx,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】f′(x)=cosx﹣sinx,‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎5.(2019•西湖区校级模拟)下列运算正确的是(  )‎ A.(3x)′=3xlnx ‎ B. ‎ C. ‎ D.(log2x)′‎ ‎【答案】D ‎【解析】(3x)′=3xln3,,,.‎ 故选D.‎ ‎6.(2019•新疆模拟)已知f(x)=x3﹣x2f'(﹣1)﹣1,则f'(﹣1)=(  )‎ A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3‎ ‎【答案】A ‎【解析】f(x)=x3﹣x2f'(﹣1)﹣1,‎ 则f'(x)=3x2﹣2xf'(﹣1),‎ 则f'(﹣1)=3+2f'(﹣1),‎ 解得f'(﹣1)=﹣3‎ 故选A.‎ ‎7.(2019•怀化三模)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列五个函数:①f(x)=x2,②f(x)=e﹣x,③f(x)=lnx,④f ‎(x)=tanx,其中有“巧值点”的函数的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,依次分析所给的函数:‎ ‎①、若f(x)=x2;则f′(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故①符合要求;‎ ‎②、若f(x)=e﹣x;则f′(x)=﹣e﹣x,即e﹣x=﹣e﹣x,此方程无解,②不符合要求;‎ ‎③、f(x)=lnx,则f′(x),若lnx,利用数形结合可知该方程存在实数解,③符合要求;‎ ‎④、f(x)=tanx,则f′(x)=()′,即sinxcosx=1,变形可sin2x=2,无解,④不符合要求;‎ 故选B.‎ ‎8.(2020•滨州三模)函数y=lnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程为(  )‎ A.x+ey﹣1+e=0 B.x﹣ey+1﹣e=0 C.x+ey=0 D.x﹣ey=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】y=lnx的导数为y′,‎ 可得函数y=lnx的图象在点x=e处的切线斜率为k,‎ 且切点为(e,1),‎ 则切线的方程为y﹣1(x﹣e),‎ 化为x﹣ey=0.‎ 故选D.‎ ‎9.(2020•镜湖区校级模拟)若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=lnx+2b的切线,则实数b=(  )‎ A.﹣1 B.1 C.2 D.e ‎【答案】B ‎【解析】曲线y=ex的导数为y′=ex,‎ 可得在x=0处的切线斜率为k=1,切点为(0,1),‎ 则切线的方程为y=x+1,‎ 设直线y=x+1与y=lnx+2b相切的切点为(m,2b+lnm),‎ 由y=lnx+2b的导数为y′,可得切线的斜率为,‎ 则1,2b+lnm=m+1,‎ 解得m=1,b=1,‎ 故选B.‎ ‎10.(2020•香坊区校级一模)过直线y=x上一点P可以作曲线f(x)=x﹣lnx两条切线,则点P横坐标t的取值范围为(  )‎ A.t<1 B.t<0 C.0<t<1 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设切点为(m,m﹣lnm),m>0,‎ 由f(x)=x﹣lnx的导数为f′(x)=1,‎ 可得切线的斜率为1,‎ 又P(t,t),可得1,‎ 化为t=m﹣mlnm,‎ 设g(x)=x﹣xlnx,可得g′(x)=1﹣(1+lnx)=﹣lnx,‎ 当x>1时,g′(x)<0,g(x)递减;当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)递增.‎ 可得g(x)在x=1处取得最大值1,‎ g(x)的图象如右图,‎ 由题意可得当0<t<1时,方程t=m﹣mlnm有两解,‎ 故选C.‎ ‎11.(2020•南岗区校级四模)曲线f(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1)x在点(0,f(0))处的切线的斜率为(  )‎ A.2﹣e B. C.1 D.4﹣2e ‎【答案】A ‎【解析】f(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1)x的导数为f′(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1),‎ 可得f′(1)=f′(1)e﹣(e﹣1),解得f′(1)=1,‎ 所以f(x)=ex﹣(e﹣1)x,‎ f′(x)=ex﹣(e﹣1),‎ 则在点(0,f(0))处的切线的斜率为k=f′(0)=e0﹣(e﹣1)=2﹣e,‎ 故选A.‎ ‎12.(2020•汉阳区校级模拟)已知函数f(x)=sinx在x=0处的切线与y=aex相切,则a的值为(  )‎ A.1 B.e C. D.e2‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数f(x)=sinx的导数为f′(x)=cosx,‎ 可得函数f(x)=sinx在x=0处的切线斜率为k=1,‎ 由切点(0,0),可得切线的方程为y=x,‎ 又切线与y=aex相切,设此时的切点为(m,aem),‎ y=aex的导数为y′=aex,‎ 可得aem=m=1,‎ 解得a,‎ 故选C.‎ ‎13.(2020•来宾模拟)设函数f(x)=alnx+bx2(a>0,b>0),若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y﹣2e=0垂直,则的最小值为(  )‎ A.1 B. C.3﹣2 D.3+2‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数f(x)=alnx+bx2的导数为f′(x)2bx,‎ 可得函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为a+2b,‎ 由切线与直线x+y﹣2e=0垂直,可得a+2b=1,(a>0,b>0),‎ 则(a+2b)()=1+23+23+2,‎ 当且仅当即ab1时,取得等号,‎ 则的最小值为3+2,‎ 故选D.‎ ‎14.(2020•鼓楼区校级模拟)已知曲线在x=x1处的切线为l1,曲线y=lnx在x=x2处的切线为l2,且l1⊥l2,则x2﹣x1的取值范围是(  )‎ A. B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,0) D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,得,‎ 则,‎ 由y=lnx,得y′,‎ 则,‎ ‎∵l1⊥l2,∴,即.‎ ‎∵x2>0,∴x1>1,‎ 又,令h(x),x>1.‎ 则h′(x).‎ 当x∈(1,+∞)时,y=2﹣x﹣ex为减函数,故2﹣x﹣ex<2﹣1﹣e<0.‎ ‎∴h′(x)<0在(1,+∞)上恒成立,‎ 故h(x)在(1,+∞)上为减函数,则h(x)<h(1)=﹣1.‎ 又当x>1时,,‎ ‎∴h(x)的取值范围为(﹣∞,﹣1).‎ 即x2﹣x1的取值范围是(﹣∞,﹣1).‎ 故选B.‎ ‎15.(2020•吉林模拟)已知函数在(0,+∞)上的最小值为3,直线l在y轴上的截距为﹣1,则下列结论正确个数是(  )‎ ‎①实数a=1;‎ ‎②直线l的斜率为1时,l是曲线y=f(x)的切线;‎ ‎③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为f(x)=2x的导数为f′(x)=2,‎ 当0<x,f′(x)<0,f(x)递减;x时,f′(x)>0,f(x)递增.可得f()为最小值,且为3,‎ 即23,解得a=1,故①正确;‎ 设切点A为(m,2m),又因为f′(x)=2,所以21,解得m,‎ 由切线方程y=x﹣1可得切点为(,1),代入f(x)=2x不成立,‎ 所以直线l不是曲线y=f(x)的切线,故②错误;‎ 又设直线l:y=kx﹣1,则曲线y=f(x)与直线l的交点个数等价为方程2xkx﹣1的根的个数.‎ 由2xkx﹣1可得k=2,‎ 令t,可得k=t3+t+2,t∈R,t≠0,‎ 设h(t)=t3+t+2,t∈R,h′(t)=3t2+1>0,所以h(t)在R上递增,且h(t)∈R,‎ 而方程k=t3+t+2,t∈R,t≠0,‎ 所以当k=h(0)=2时,k=t3+t+2无实数根;当k≠2时,k=t3+t+2有且只有一个根.‎ 故k=2时,曲线y=f(x)与直线l没有交点;而当k≠2时,曲线y=f(x)与直线l有且只有一个交点.故③错误.‎ 故选B.‎ ‎16.(2020•来宾模拟)曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】y=x3+x+3的导数为y′=3x2+1,‎ 可得曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的斜率k≥1,‎ 设倾斜角为θ,可得tanθ≥1,‎ 可得锐角θ满足θ,‎ 故选A.‎ ‎17.(2020•榆林四模)若函数f(x)3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则a=(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】f(x)3ax的导数为f′(x)3a,‎ 可得f(x)的图象在x=1处的切线斜率为﹣1﹣3a,‎ 由切线与直线x+4y=0垂直,可得﹣1﹣3a=4,‎ 解得a.‎ 故选D.‎ ‎18.(2020•碑林区校级模拟)已知函数f(x)=x2﹣2m,g(x)=3lnx﹣x,若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m=(  )‎ A.﹣3 B.1 C.2 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点(a,b)(a>0),‎ f(x)=x2﹣2m,其导数f′(x)=2x,则切线的斜率k=f′(a)=2a,‎ g(x)=3lnx﹣x,其导数g′(x),则切线的斜率k=g′(a),‎ 则有2a,解可得a=1或(舍),‎ 则b=3ln1﹣1=﹣1,‎ 则公共点为(1,﹣1),则有﹣1=1﹣2m,解得m=1.‎ 故选B.‎ ‎19.(2020•河南模拟)曲线在某点处的切线的斜率为,则该切线的方程为(  )‎ A.3x+2y﹣1=0 B.3x+2y+1=0 C.6x+4y﹣5=0 D.12x+8y﹣7=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】的导数为y′=x,‎ 设切点为(m,n),m>0,‎ 可得切线的斜率为m,‎ 解得m(﹣2舍去),‎ 可得切点为(,),‎ 则切线的方程为y(x),‎ 化为12x+8y﹣7=0.‎ 故选D.‎ ‎20.(2020•福州三模)曲线y=(1﹣x)ex在x=1处的切线方程为(  )‎ A.ex﹣y﹣e=0 B.ex+y﹣e=0 C.x+ey﹣1=0 D.x﹣ey﹣1=0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知:y|x=1=0,y′=ex(1﹣x﹣1)=﹣xex.‎ 所以k=﹣e,故切线为y=﹣e(x﹣1),即ex+y﹣e=0.‎ 故选B.‎ ‎21.(2020•桃城区校级模拟)设曲线在点处的切线与直线2x+ay+1=0垂直,则实数a的值为(  )‎ A.﹣2 B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得,‎ 所以曲线在点处的切线的斜率k1=﹣1,‎ 又直线2x+ay+1=0的斜率,‎ 由k1k2=﹣1,解得a=﹣2,‎ 故选A.‎ ‎22.(2020•让胡路区校级三模)曲线在点(1,2)处的切线方程为(  )‎ A.y=x+1 B.y=2x C.y=3x﹣1 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,则,‎ 所以f'(1)=1,所以切线方程为y﹣2=x﹣1,‎ 即y=x+1.‎ 故选A.‎ ‎23.(2020•临汾模拟)已知曲线f(x)=lnx+ax+b在x=1处的切线是x轴,若方程f(x)=m(m∈R)有两个不等实根x1,x2,则x1+x2的取值范围是(  )‎ A.(0,) B.(0,1) C.(2,+∞) D.(4,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】易知,切点为(1,0),切线斜率为0,而.‎ ‎∴,解得a=﹣1,b=1.‎ ‎∴f(x)=lnx﹣x+1(x>0).‎ ‎∵,易知f′(1)=0,‎ 且当x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.‎ ‎∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,‎ 故若方程f(x)=m(m∈R)有两个不等实根x1<x2,‎ 则必有0<x1<1<x2,则2﹣x1>1.‎ ‎∵f(x1)=f(x2),∴f(x2)﹣f(2﹣x1)=f(x1)﹣f(2﹣x1),‎ 令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)=lnx﹣x﹣1﹣[ln(2﹣x)﹣(2﹣x)﹣1]‎ ‎=lnx﹣ln(2﹣x)﹣2x+2,x∈(0,1),‎ ‎∵(0<x<1),‎ ‎∴g(x)在(0,1)上单调递增,‎ 而g(1)=0,故g(x)<0在(0,1)上恒成立,‎ ‎∴f(x2)﹣f(2﹣x1)<0恒成立,即f(x2)<f(2﹣x1)恒成立 而此时x2,2﹣x1∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上是减函数,‎ ‎∴x2>2﹣x1,即x1+x2>2.‎ 故选C.‎ ‎24.(2020•河南模拟)设点P是函数f(x)=2ex﹣f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数f(x)=2ex﹣f′(0)x+f′(1)的导数为f′(x)=2ex﹣f′(0),‎ 令x=0,可得f′(0)=2e0﹣f′(0),解得f′(0)=1,‎ 则f(x)=2ex﹣x+f′(1),f′(x)=2ex﹣1,‎ 设P(m,n),可得k=2em﹣1>﹣1,‎ 则tanα>﹣1,即﹣1<tanα<0或tanα≥0,‎ 由0≤α或α<π,‎ 可得倾斜角α满足:α<π或0≤α,‎ 故选B.‎ ‎25.(2020•黑龙江二模)若曲线y=lnx在x=1处的切线也是y=ex+b的切线,则b=(  )‎ A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.﹣e ‎【答案】B ‎【解析】由y=lnx得,故y′|x=1=1,切点坐标为A(1,0),‎ 故切线方程为y=x﹣1.‎ 设y=ex+b的切点为B(m,em+b),∵y′=ex,‎ ‎∴em=1,所以m=0,将m=0代入切线方程得B(0,﹣1),‎ 将B(0,﹣1)代入y=em+b得:﹣1=e0+b,得b=﹣2.‎ 故选B.‎ ‎26.(2020•河南模拟)过原点引y=ex+t的切线,若切线斜率为,则t=(  )‎ A.﹣e B. C.2e D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设切点坐标为(x0,y0),‎ 则,‎ 又.‎ 故选D.‎ ‎27.(2020•福建模拟)函数f(x)=x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0,则a+b=(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)=x的导数为f′(x)=1,‎ 可得函数f(x)=x在x=1处的切线的斜率为k=1﹣a,‎ 由切线方程为2x﹣y+b=0,可得1﹣a=2,即a=﹣1,‎ 则f(x)=x,可得切点为(1,0),‎ 可得2﹣0+b=0,即b=﹣2,‎ 则a+b=﹣3,‎ 故选A.‎ ‎28.(2020•河南模拟)已知:过点M(m,0)可作函数f(x)=x2﹣2x+t图象的两条切线l1,l2,且l1⊥l2,则t=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点为(n,n2﹣2n+t),∵f′(x)=2x﹣2,故切线斜率为2n﹣2.‎ 所以切线方程:y﹣(n2﹣2n+t)=(2n﹣2)(x﹣n),‎ 将(m,0)代入整理得:n2﹣2mn+2m﹣t=0,‎ 设l1,l2的切点横坐标分别为n1,n2,则:n1+n2=2m,n1n2=2m﹣t.‎ 因为l1⊥l2,所以f′(n1)f′(n2)=(2n1﹣2)(2n2﹣2)=4n1n2﹣4(n1+n2)+4=﹣1①.‎ 结合韦达定理得4×(2m﹣t)﹣4×2m+4=﹣1,解得.‎ 故选B.‎ ‎29.(2020•益阳模拟)已知函数f(x)=x2lnx+1﹣f'(1)x,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为(  )‎ A. B. C.3e D.3e ‎【答案】A ‎【解析】函数f(x)=x2lnx+1﹣f'(1)x的导数为f′(x)=2xlnx+x﹣f′(1),‎ 令x=1,则f′(1)=0+1﹣f′(1),可得f′(1),‎ 则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为,‎ 故选A.‎ ‎30.(2020•三模拟)函数f(x)=3sinx+4cosx的图象在点T(0,f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由f(x)=3sinx+4cosx,得f'(x)=3cosx﹣4sinx,‎ ‎∴f'(0)=3,又f(0)=4,‎ ‎∴切线l的方程为3x﹣y+4=0,‎ 取x=0,解得切线l在y轴上的截距b=4,‎ 取y=0,解得切线l在x轴上的截距,‎ ‎∴直线l与坐标轴围成的三角形面积|a||b|.‎ 故选D.‎ ‎31.(2020•陕西模拟)曲线f(x)=f′(1)ex﹣x2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)=f′(1)ex﹣x2+2,‎ 可得f′(x)=f′(1)ex﹣2x,‎ 可令x=1,可得f′(1)=f′(1)e﹣2,‎ 解得f′(1),‎ 则f′(x)ex﹣2x,‎ 可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为f′(0),‎ 故选B.‎ ‎32.(2020•赤峰模拟)设函数f(x)=ex﹣x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则a+b的最大值是(  )‎ A.1 B.1 C.e﹣1 D.e2﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得f′(x)=ex﹣1,设切点(t,f(t)),则f(t)=etx,f′(t)=et﹣1;‎ 则切线方程为:y﹣(et﹣t)=(et﹣1)(x﹣t),‎ 即y=(et﹣1)x+et(1﹣t),又因为y=ax+b,‎ 所以a=et﹣1,b=et(1﹣t),‎ 则a+b=﹣1+2et﹣tet,‎ 令g(t)=﹣1+2et﹣tet,则g′(t)=(1﹣t)et,‎ 则有t>1,g′(t)<0;t<1,g′(t)>0,‎ 所以t=1时,g(x)取最大值,‎ 所以a+b的最大值为g(1)=﹣1+2e﹣e=e﹣1.‎ 故选C.‎ ‎33.(2020•四川模拟)曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为(  )‎ A.3 B.2 C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由x>0,f(x)x3+2lnx的导数,‎ 当且仅当x=1时等号成立,‎ 可得曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为3.‎ 故选A.‎ ‎34.(2018•南开区二模)函数y=xcosx在x处的导数值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】y′=x′cosx+x(cosx)′=cosx﹣xsinx 所以y=xcosx在处的导数值是 故答案为.‎ ‎35.(2020•沙坪坝区校级模拟)函数,则__________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎36.(2020•香坊区校级二模)已知函数,则 __________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知,‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故答案为:1.‎ ‎37.(2020•河南模拟)已知函数f(x)=2ex﹣f′(0)sinx,则f'(0)=__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】f′(x)=2ex﹣f′(0)cosx,‎ ‎∴f′(0)=2﹣f′(0),解得f′(0)=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎38.(2020•荔湾区校级模拟)设函数f(x)的导数为f'(x),且满足f(x)=f′(1)x3﹣2x,则f(1)=__________.‎ ‎【答案】ln2﹣2‎ ‎【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3﹣2x,则f′(x)=3f′(1)x2﹣2xln2,‎ 当x=1时,有f′(1)=3f′(1)﹣2ln2,‎ 解可得f′(1)=ln2,‎ 则f(x)=ln2×x3﹣2x,故f(1)=ln2﹣2;‎ 故答案为:ln2﹣2.‎ ‎39.(2020•遂宁模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=3xf′(2)+lnx,则f(1)的值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,f(x)=3xf′(2)+lnx,其导数f′(x)=3f′(2),‎ 令x=2可得:f′(2)=3f′(2),‎ 解可得f′(2),‎ 故f(x)x+lnx,则f(1),‎ 故答案为:.‎ ‎40.(2020•邯山区校级模拟)已知函数f(x)=xsinx+2x﹣1,则f'(π)=__________.‎ ‎【答案】2﹣π ‎【解析】∵f′(x)=sinx+xcosx+2;‎ ‎∴f′(π)=0﹣π+2=2﹣π.‎ 故答案为:2﹣π.‎ ‎41.(2020•遂宁模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+lnx,则f'(1)的值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,f(x)=3xf'(2)+lnx,‎ 则其导数f′(x)=3f'(2),‎ 当x=2时,有f′(2)=3f'(2),解可得f′(2),‎ 则f′(x),‎ 则f′(1)1,‎ 故答案为:.‎ ‎42.(2020•乐山模拟)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= 2 ;函数f(x)在x=1处导数f′(1)=__________.‎ ‎【答案】2,﹣2‎ ‎【解析】(1)由图象可知f(0)=4,f(4)=2,‎ 即f(f(0))=2‎ ‎(2)∵f(0)=4,f(4)=2,f(2)=4,‎ ‎∴由函数的图象可知,‎ ‎,‎ 当0≤x≤2时,f'(x)=﹣2‎ ‎∴f'(1)=﹣2‎ 故答案为:2,﹣2.‎ ‎43.(2020•汉中二模)已知函数f(x)x3x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.‎ ‎(1)若存在x<0,使得f′(x)=﹣9,求a的最大值;‎ ‎(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.‎ ‎【解析】f(x)x3x2+bx+a,f′(x)=x2﹣(a+1)x+b 由f′(0)=0得b=0,f′(x)=x(x﹣a﹣1).‎ ‎(1)存在x<0,使得f′(x)=x(x﹣a﹣1)=﹣9,‎ ‎﹣a﹣1=﹣x(﹣x)6,‎ ‎∴a≤﹣7,‎ 当且仅当x=﹣3时,a=﹣7.所以a的最大值为﹣7.‎ ‎(2)当a>0时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ f(x)的极大值f(0)=a>0,‎ f(x)的极小值f(a+1)=a(a+1)3.‎ ‎44.(2018•浙江模拟)已知函数.‎ ‎(1)求f(x)的导函数;‎ ‎(2)求f(x)的定义域及值域.‎ ‎【解析】(1)对f(x)求导得:‎ ‎ ‎ ‎(2)因为|x|≥|x|≥﹣x,‎ 所以x0对一切x∈R恒成立,故f(x)的定义域为R.‎ 令f′(x)=0,即0,解得x(舍去),或x,‎ 当x时,,f′(x)<0,‎ 当x时,,f′(x)>0‎ 所以当x时,f(x)取最大值f(),‎ 又x0,所以f(x)>0,‎ 故f(x)的值域为(0,].‎ ‎45.(2020•唐山二模)已知函数f(x)=axlnx,g(x)=x2﹣b,若曲线y=f(x)与y=g(x)相交于P(1,0),且在点P处有相同的切线.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)比较f(x)与g(x)的大小关系.‎ ‎【解析】(1)由g(1)=0,得b=1.‎ f′(x)=a(lnx+1),g′(x)=2x.‎ 依题意可得f′(1)=g′(1)=2,‎ 所以a=2,b=1.‎ ‎(2).‎ 令,则,‎ 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,‎ 因此0<x<1时,h(x)>h(1)=0;‎ x=1时,h(x)=h(1)=0;x>1时,h(x)<h(1)=0.‎ 故0<x<1时,f(x)>g(x);‎ x=1时,f(x)=g(x);‎ x>1时,f(x)<g(x).‎