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- 2021-05-14 发布
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2020-2021学年高考数学(理)考点:导数的概念及运算
1.导数的概念
(1)一般地,函数y=f (x)在x=x0处的瞬时变化率是 = ,我们称它为函数y=f (x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= = .
(2)如果函数y=f (x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数y=f (x)在开区间(a,b)内的导函数.简称导数,记作f′(x)或y′.
2.导数的几何意义
函数y=f (x)在点x=x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f (x)在点P(x0,f (x0))处的切线的斜率k,即k=f′(x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f (x)=c(c为常数)
f′(x)=0
f (x)=xα(α∈Q*)
f′(x)=αxα-1
f (x)=sin x
f′(x)=cos x
f (x)=cos x
f′(x)=-sin x
f (x)=ex
f′(x)=ex
f (x)=ax(a>0)
f′(x)=axln a
f (x)=ln x
f′(x)=
f (x)=logax(a>0,a≠1)
f′(x)=
4.导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f (x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2)[f (x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f (x)g′(x);
(3)′=(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y=f (g(x))的导数和函数y=f (u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
概念方法微思考
1.根据f′(x)的几何意义思考一下,|f′(x)|增大,曲线f (x)的形状有何变化?
提示 |f′(x)|越大,曲线f (x)的形状越来越陡峭.
2.直线与曲线相切,是不是直线与曲线只有一个公共点?
提示 不一定.
1.(2020•新课标Ⅰ)函数的图象在点,(1)处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,得,
(1),
又(1),
函数的图象在点,(1)处的切线方程为,
即.
故选.
2.(2020•新课标Ⅲ)若直线与曲线和圆都相切,则的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线与圆相切,那么圆心到直线的距离等于半径,
四个选项中,只有,满足题意;
对于选项:与联立,可得,此时无解;
对于选项:与联立,可得,此时解得;
直线与曲线和圆都相切,方程为,
故选.
3.(2019•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由,得,
,
曲线在点处的切线方程为,
即.
故选.
4.(2019•新课标Ⅲ)已知曲线在点处的切线方程为,则
A., B., C., D.,
【答案】D
【解析】的导数为,
由在点处的切线方程为,
可得,解得,
又切点为,可得,即,
故选.
5.(2018•全国)若函数图象上点,(1)处的切线平行于直线,则
A. B.0 C. D.1
【答案】D
【解析】函数的导数为,
可得点,(1)处的切线斜率为,
由点,(1)处的切线平行于直线,
可得,
解得,
故选.
6.(2018•新课标Ⅰ)设函数.若为奇函数,则曲线在点
处的切线方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数,若为奇函数,,
.
所以:
可得,所以函数,可得,
曲线在点处的切线的斜率为:1,
则曲线在点处的切线方程为:.
故选.
7.(2016•山东)若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数中具有性质的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,
则函数的导函数上存在两点,使这点的导函数值乘积为,
当时,,满足条件;
当时,恒成立,不满足条件;
当时,恒成立,不满足条件;
当时,恒成立,不满足条件;
故选.
8.(2016•四川)设直线,分别是函数图象上点,处的切线,与垂直相交于点,且,分别与轴相交于点,,则的面积的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设,,,,
当时,,当时,,
的斜率,的斜率,
与垂直,且,
,即.
直线,.
取分别得到,,
.
联立两直线方程可得交点的横坐标为,
.
函数在上为减函数,且,
,则,
.
的面积的取值范围是.
故选.
9.(2020•新课标Ⅲ)设函数,若(1),则__________.
【答案】1
【解析】函数,,
若(1),,则,
故答案为:1.
10.(2019•全国)若函数,,则__________.
【答案】3
【解析】由,得,
,,
.
故答案为:3.
11.(2018•天津)已知函数,为的导函数,则(1)的值为__________.
【答案】e
【解析】函数,
则;
(1).
故答案为:.
12.(2016•天津)已知函数,为的导函数,则的值为__________.
【答案】3
【解析】,
,
.
故答案为:3.
13.(2020•上海)已知函数,是的反函数,则__________.
【答案】
【解析】由,得,
把与互换,可得的反函数为.
故答案为:.
14.(2020•新课标Ⅰ)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为__________.
【答案】
【解析】的导数为,
设切点为,可得,
解得,即有切点,
则切线的方程为,即,
故答案为:.
15.(2019•天津)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由题意,可知:
,
.
曲线在点处的切线方程:,
整理,得:.
故答案为:.
16.(2019•江苏)在平面直角坐标系中,点在曲线上,且该曲线在点处的切线经过点,为自然对数的底数),则点的坐标是__________.
【答案】
【解析】设,,由,得,
,则该曲线在点处的切线方程为,
切线经过点,,
即,则.
点坐标为.
故答案为:.
17.(2019•江苏)在平面直角坐标系中,是曲线上的一个动点,则点到直线的距离的最小值是__________.
【答案】4
【解析】由,得,
设斜率为的直线与曲线切于,,
由,解得.
曲线上,点到直线的距离最小,
最小值为.
故答案为:4.
18.(2019•新课标Ⅰ)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】,
,
当时,,
在点处的切线斜率,
切线方程为:.
故答案为:.
19.(2018•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】,
,
当时,
曲线在点处的切线方程为.
故答案为:.
20.(2018•新课标Ⅲ)曲线在点处的切线的斜率为,则__________.
【答案】
【解析】曲线,可得,
曲线在点处的切线的斜率为,
可得:,解得.
故答案为:.
21.(2018•新课标Ⅱ)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】,
,
当时,,
曲线在点处的切线方程为.
故答案为:.
22.(2017•全国)若曲线的切线与直线平行,则的方程为__________.
【答案】
【解析】设切点为,
可得,
的导数为,
由切线与直线平行,可得
,解得,
即有切点为,
可得切线的方程为,
即为.
故答案为:.
23.(2017•天津)已知,设函数的图象在点,(1)处的切线为,则在轴上的截距为__________.
【答案】1
【解析】函数,可得,切线的斜率为:(1),
切点坐标,切线方程为:,
在轴上的截距为:.
故答案为:1.
24.(2017•新课标Ⅰ)曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】曲线,可得,
切线的斜率为:.
切线方程为:,即:.
故答案为:.
25.(2016•新课标Ⅲ)已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是__________.
【答案】
【解析】为偶函数,可得,
当时,,即有
时,,,
可得(1),(1),
则曲线在点处的切线方程为,
即为.
故答案为:.
26.(2016•新课标Ⅲ)已知为偶函数,当时,,则曲线在点处的切线方程是__________.
【答案】
【解析】已知为偶函数,当时,,
设,则,
,
则,
(1).
曲线在点处的切线方程是.
即.
故答案为:.
27.(2016•新课标Ⅱ)若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则__________.
【答案】
【解析】设与和的切点分别为,、,;
由导数的几何意义可得,得
再由切点也在各自的曲线上,可得
联立上述式子解得;
从而得出.故答案为:.
28.(2018•江苏)记,分别为函数,的导函数.若存在,满足且,则称为函数与的一个“点”.
(1)证明:函数与不存在“点”;
(2)若函数与存在“点”,求实数的值;
(3)已知函数,.对任意,判断是否存在,使函数与在区间内存在“点”,并说明理由.
【解析】(1)证明:,,
则由定义得,得方程无解,则与不存在“点”;
(2),,,
由得,得,
,得;
(3),,,
由,假设,得,得,
由,得,得,
令,,
设,,
则,(1),得(1),
又的图象在上不间断,
则在上有零点,
则在上有零点,
则存在,使与在区间内存在“”点.
29.(2016•新课标Ⅱ)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在,(1)处的切线方程;
(Ⅱ)若当时,,求的取值范围.
【解析】当时,.
(1),即点为,
函数的导数,
则(1),
即函数的切线斜率(1),
则曲线在处的切线方程为;
,
,
,
,,
在上单调递增,
(1).
①,(1),
在上单调递增,
(1),满足题意;
②,存在,,函数在上单调递减,在,上单调递增,
由(1),可得存在,,不合题意.
综上所述,.
另解:若当时,,
可得,
即为,
由的导数为,
由的导数为,
函数在递增,可得,
则函数在递增,
则,
可得恒成立,
即有.
30.(2020•北京)已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率等于的切线方程;
(Ⅱ)设曲线在点,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,求的最小值.
【解析】(Ⅰ)的导数,
令切点为,可得切线的斜率为,
,,
切线的方程为;
(Ⅱ)曲线在点,处的切线的斜率为,
切线方程为,
令,可得,令,可得,
,
由,可知为偶函数,
不妨设,则,
,
由,得,
当时,,递增;当时,,递减,
则在和处取得极小值,且为最小值32,
所以的最小值为32.
31.(2020•新课标Ⅲ)设函数,曲线在点,处的切线与轴垂直.
(1)求;
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:所有零点的绝对值都不大于1.
【解析】(1)由,得,
,即;
(2)证明:设为的一个零点,根据题意,,且,
则,且,
令,
,
当,,时,,当,时,
可知在,,上单调递减,在,上单调递增.
又,(1),,,
.
设 为的零点,则必有,
即,
,得,
即.
所有零点的绝对值都不大于1.
32.(2016•北京)设函数.
(1)求曲线在点,处的切线方程;
(2)设,若函数有三个不同零点,求的取值范围;
(3)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】(1)函数的导数为,
可得在点,处的切线斜率为,
切点为,可得切线的方程为;
(2)设,即有,
由,可得,
由的导数,
当或时,,递增;
当时,,递减.
即有在处取得极大值,且为0;
在处取得极小值,且为.
由函数有三个不同零点,可得,
解得,
则的取值范围是;
(3)证明:若有三个不同零点,令,
可得的图象与轴有三个不同的交点.
即有有3个单调区间,
即为导数的图象与轴有两个交点,
可得△,即,即为;
若,即有导数的图象与轴有两个交点,
当,时,满足,
即有,图象与轴交于,,则的零点为2个.
故是有三个不同零点的必要而不充分条件.
强化训练
1.(2019•西湖区校级模拟)已知某函数的导数为y′,则这个函数可能是( )
A.y=ln B.y=ln C.y=ln(1﹣x) D.y=ln
【答案】A
【解析】对选项求导.
A、(ln)′()′,符合;
对于B,∵,∴,不符合;
对于C,,不符合;
对于D,∵y=﹣ln(x﹣1)∴,不符合;
故选A.
2.(2020•重庆模拟)函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是( )
A.10 B.9 C.8 D.
【答案】B
【解析】由f(x)=ax2+bx,得f′(x)=2ax+b,
又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,
所以f′(1)=2a+b=2,即.
则.
当且仅当,即时“=”成立.
所以的最小值是9.
故选B.
3.(2019•西湖区校级模拟)函数f(x)=cosx(sinx+1)的导数是( )
A.cos2x+sinx B.cos2x﹣sinx C.cos2x+cosx D.cos2x﹣cosx
【答案】B
【解析】f′(x)=﹣sinx(sinx+1)+cosx•cosx=cos2x﹣sin2x﹣sinx=cos2x﹣sinx.
故选B.
4.(2019•西湖区校级模拟)函数f(x)=cosx+sinx,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】f′(x)=cosx﹣sinx,
∴.
故选C.
5.(2019•西湖区校级模拟)下列运算正确的是( )
A.(3x)′=3xlnx
B.
C.
D.(log2x)′
【答案】D
【解析】(3x)′=3xln3,,,.
故选D.
6.(2019•新疆模拟)已知f(x)=x3﹣x2f'(﹣1)﹣1,则f'(﹣1)=( )
A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3
【答案】A
【解析】f(x)=x3﹣x2f'(﹣1)﹣1,
则f'(x)=3x2﹣2xf'(﹣1),
则f'(﹣1)=3+2f'(﹣1),
解得f'(﹣1)=﹣3
故选A.
7.(2019•怀化三模)已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列五个函数:①f(x)=x2,②f(x)=e﹣x,③f(x)=lnx,④f
(x)=tanx,其中有“巧值点”的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】根据题意,依次分析所给的函数:
①、若f(x)=x2;则f′(x)=2x,由x2=2x,得x=0或x=2,这个方程显然有解,故①符合要求;
②、若f(x)=e﹣x;则f′(x)=﹣e﹣x,即e﹣x=﹣e﹣x,此方程无解,②不符合要求;
③、f(x)=lnx,则f′(x),若lnx,利用数形结合可知该方程存在实数解,③符合要求;
④、f(x)=tanx,则f′(x)=()′,即sinxcosx=1,变形可sin2x=2,无解,④不符合要求;
故选B.
8.(2020•滨州三模)函数y=lnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线方程为( )
A.x+ey﹣1+e=0 B.x﹣ey+1﹣e=0 C.x+ey=0 D.x﹣ey=0
【答案】D
【解析】y=lnx的导数为y′,
可得函数y=lnx的图象在点x=e处的切线斜率为k,
且切点为(e,1),
则切线的方程为y﹣1(x﹣e),
化为x﹣ey=0.
故选D.
9.(2020•镜湖区校级模拟)若曲线y=ex在x=0处的切线也是曲线y=lnx+2b的切线,则实数b=( )
A.﹣1 B.1 C.2 D.e
【答案】B
【解析】曲线y=ex的导数为y′=ex,
可得在x=0处的切线斜率为k=1,切点为(0,1),
则切线的方程为y=x+1,
设直线y=x+1与y=lnx+2b相切的切点为(m,2b+lnm),
由y=lnx+2b的导数为y′,可得切线的斜率为,
则1,2b+lnm=m+1,
解得m=1,b=1,
故选B.
10.(2020•香坊区校级一模)过直线y=x上一点P可以作曲线f(x)=x﹣lnx两条切线,则点P横坐标t的取值范围为( )
A.t<1 B.t<0 C.0<t<1 D.
【答案】C
【解析】设切点为(m,m﹣lnm),m>0,
由f(x)=x﹣lnx的导数为f′(x)=1,
可得切线的斜率为1,
又P(t,t),可得1,
化为t=m﹣mlnm,
设g(x)=x﹣xlnx,可得g′(x)=1﹣(1+lnx)=﹣lnx,
当x>1时,g′(x)<0,g(x)递减;当0<x<1时,g′(x)>0,g(x)递增.
可得g(x)在x=1处取得最大值1,
g(x)的图象如右图,
由题意可得当0<t<1时,方程t=m﹣mlnm有两解,
故选C.
11.(2020•南岗区校级四模)曲线f(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1)x在点(0,f(0))处的切线的斜率为( )
A.2﹣e B. C.1 D.4﹣2e
【答案】A
【解析】f(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1)x的导数为f′(x)=f′(1)ex﹣(e﹣1),
可得f′(1)=f′(1)e﹣(e﹣1),解得f′(1)=1,
所以f(x)=ex﹣(e﹣1)x,
f′(x)=ex﹣(e﹣1),
则在点(0,f(0))处的切线的斜率为k=f′(0)=e0﹣(e﹣1)=2﹣e,
故选A.
12.(2020•汉阳区校级模拟)已知函数f(x)=sinx在x=0处的切线与y=aex相切,则a的值为( )
A.1 B.e C. D.e2
【答案】C
【解析】函数f(x)=sinx的导数为f′(x)=cosx,
可得函数f(x)=sinx在x=0处的切线斜率为k=1,
由切点(0,0),可得切线的方程为y=x,
又切线与y=aex相切,设此时的切点为(m,aem),
y=aex的导数为y′=aex,
可得aem=m=1,
解得a,
故选C.
13.(2020•来宾模拟)设函数f(x)=alnx+bx2(a>0,b>0),若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+y﹣2e=0垂直,则的最小值为( )
A.1 B. C.3﹣2 D.3+2
【答案】D
【解析】函数f(x)=alnx+bx2的导数为f′(x)2bx,
可得函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为a+2b,
由切线与直线x+y﹣2e=0垂直,可得a+2b=1,(a>0,b>0),
则(a+2b)()=1+23+23+2,
当且仅当即ab1时,取得等号,
则的最小值为3+2,
故选D.
14.(2020•鼓楼区校级模拟)已知曲线在x=x1处的切线为l1,曲线y=lnx在x=x2处的切线为l2,且l1⊥l2,则x2﹣x1的取值范围是( )
A. B.(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,0) D.
【答案】B
【解析】由,得,
则,
由y=lnx,得y′,
则,
∵l1⊥l2,∴,即.
∵x2>0,∴x1>1,
又,令h(x),x>1.
则h′(x).
当x∈(1,+∞)时,y=2﹣x﹣ex为减函数,故2﹣x﹣ex<2﹣1﹣e<0.
∴h′(x)<0在(1,+∞)上恒成立,
故h(x)在(1,+∞)上为减函数,则h(x)<h(1)=﹣1.
又当x>1时,,
∴h(x)的取值范围为(﹣∞,﹣1).
即x2﹣x1的取值范围是(﹣∞,﹣1).
故选B.
15.(2020•吉林模拟)已知函数在(0,+∞)上的最小值为3,直线l在y轴上的截距为﹣1,则下列结论正确个数是( )
①实数a=1;
②直线l的斜率为1时,l是曲线y=f(x)的切线;
③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】因为f(x)=2x的导数为f′(x)=2,
当0<x,f′(x)<0,f(x)递减;x时,f′(x)>0,f(x)递增.可得f()为最小值,且为3,
即23,解得a=1,故①正确;
设切点A为(m,2m),又因为f′(x)=2,所以21,解得m,
由切线方程y=x﹣1可得切点为(,1),代入f(x)=2x不成立,
所以直线l不是曲线y=f(x)的切线,故②错误;
又设直线l:y=kx﹣1,则曲线y=f(x)与直线l的交点个数等价为方程2xkx﹣1的根的个数.
由2xkx﹣1可得k=2,
令t,可得k=t3+t+2,t∈R,t≠0,
设h(t)=t3+t+2,t∈R,h′(t)=3t2+1>0,所以h(t)在R上递增,且h(t)∈R,
而方程k=t3+t+2,t∈R,t≠0,
所以当k=h(0)=2时,k=t3+t+2无实数根;当k≠2时,k=t3+t+2有且只有一个根.
故k=2时,曲线y=f(x)与直线l没有交点;而当k≠2时,曲线y=f(x)与直线l有且只有一个交点.故③错误.
故选B.
16.(2020•来宾模拟)曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】y=x3+x+3的导数为y′=3x2+1,
可得曲线y=x3+x+3上任意一点处的切线的斜率k≥1,
设倾斜角为θ,可得tanθ≥1,
可得锐角θ满足θ,
故选A.
17.(2020•榆林四模)若函数f(x)3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则a=( )
A.﹣1 B.1 C. D.
【答案】D
【解析】f(x)3ax的导数为f′(x)3a,
可得f(x)的图象在x=1处的切线斜率为﹣1﹣3a,
由切线与直线x+4y=0垂直,可得﹣1﹣3a=4,
解得a.
故选D.
18.(2020•碑林区校级模拟)已知函数f(x)=x2﹣2m,g(x)=3lnx﹣x,若y=f(x)与y=g(x)在公共点处的切线相同,则m=( )
A.﹣3 B.1 C.2 D.5
【答案】B
【解析】设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点(a,b)(a>0),
f(x)=x2﹣2m,其导数f′(x)=2x,则切线的斜率k=f′(a)=2a,
g(x)=3lnx﹣x,其导数g′(x),则切线的斜率k=g′(a),
则有2a,解可得a=1或(舍),
则b=3ln1﹣1=﹣1,
则公共点为(1,﹣1),则有﹣1=1﹣2m,解得m=1.
故选B.
19.(2020•河南模拟)曲线在某点处的切线的斜率为,则该切线的方程为( )
A.3x+2y﹣1=0 B.3x+2y+1=0 C.6x+4y﹣5=0 D.12x+8y﹣7=0
【答案】D
【解析】的导数为y′=x,
设切点为(m,n),m>0,
可得切线的斜率为m,
解得m(﹣2舍去),
可得切点为(,),
则切线的方程为y(x),
化为12x+8y﹣7=0.
故选D.
20.(2020•福州三模)曲线y=(1﹣x)ex在x=1处的切线方程为( )
A.ex﹣y﹣e=0 B.ex+y﹣e=0 C.x+ey﹣1=0 D.x﹣ey﹣1=0
【答案】B
【解析】由已知:y|x=1=0,y′=ex(1﹣x﹣1)=﹣xex.
所以k=﹣e,故切线为y=﹣e(x﹣1),即ex+y﹣e=0.
故选B.
21.(2020•桃城区校级模拟)设曲线在点处的切线与直线2x+ay+1=0垂直,则实数a的值为( )
A.﹣2 B. C. D.2
【答案】A
【解析】由题意得,
所以曲线在点处的切线的斜率k1=﹣1,
又直线2x+ay+1=0的斜率,
由k1k2=﹣1,解得a=﹣2,
故选A.
22.(2020•让胡路区校级三模)曲线在点(1,2)处的切线方程为( )
A.y=x+1 B.y=2x C.y=3x﹣1 D.
【答案】A
【解析】设,则,
所以f'(1)=1,所以切线方程为y﹣2=x﹣1,
即y=x+1.
故选A.
23.(2020•临汾模拟)已知曲线f(x)=lnx+ax+b在x=1处的切线是x轴,若方程f(x)=m(m∈R)有两个不等实根x1,x2,则x1+x2的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,1) C.(2,+∞) D.(4,+∞)
【答案】C
【解析】易知,切点为(1,0),切线斜率为0,而.
∴,解得a=﹣1,b=1.
∴f(x)=lnx﹣x+1(x>0).
∵,易知f′(1)=0,
且当x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
故若方程f(x)=m(m∈R)有两个不等实根x1<x2,
则必有0<x1<1<x2,则2﹣x1>1.
∵f(x1)=f(x2),∴f(x2)﹣f(2﹣x1)=f(x1)﹣f(2﹣x1),
令g(x)=f(x)﹣f(2﹣x)=lnx﹣x﹣1﹣[ln(2﹣x)﹣(2﹣x)﹣1]
=lnx﹣ln(2﹣x)﹣2x+2,x∈(0,1),
∵(0<x<1),
∴g(x)在(0,1)上单调递增,
而g(1)=0,故g(x)<0在(0,1)上恒成立,
∴f(x2)﹣f(2﹣x1)<0恒成立,即f(x2)<f(2﹣x1)恒成立
而此时x2,2﹣x1∈(1,+∞),且f(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴x2>2﹣x1,即x1+x2>2.
故选C.
24.(2020•河南模拟)设点P是函数f(x)=2ex﹣f′(0)x+f′(1)图象上的任意一点,点P处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数f(x)=2ex﹣f′(0)x+f′(1)的导数为f′(x)=2ex﹣f′(0),
令x=0,可得f′(0)=2e0﹣f′(0),解得f′(0)=1,
则f(x)=2ex﹣x+f′(1),f′(x)=2ex﹣1,
设P(m,n),可得k=2em﹣1>﹣1,
则tanα>﹣1,即﹣1<tanα<0或tanα≥0,
由0≤α或α<π,
可得倾斜角α满足:α<π或0≤α,
故选B.
25.(2020•黑龙江二模)若曲线y=lnx在x=1处的切线也是y=ex+b的切线,则b=( )
A.﹣1 B.﹣2 C.2 D.﹣e
【答案】B
【解析】由y=lnx得,故y′|x=1=1,切点坐标为A(1,0),
故切线方程为y=x﹣1.
设y=ex+b的切点为B(m,em+b),∵y′=ex,
∴em=1,所以m=0,将m=0代入切线方程得B(0,﹣1),
将B(0,﹣1)代入y=em+b得:﹣1=e0+b,得b=﹣2.
故选B.
26.(2020•河南模拟)过原点引y=ex+t的切线,若切线斜率为,则t=( )
A.﹣e B. C.2e D.
【答案】D
【解析】设切点坐标为(x0,y0),
则,
又.
故选D.
27.(2020•福建模拟)函数f(x)=x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0,则a+b=( )
A.﹣3 B.﹣1 C.0 D.1
【答案】A
【解析】函数f(x)=x的导数为f′(x)=1,
可得函数f(x)=x在x=1处的切线的斜率为k=1﹣a,
由切线方程为2x﹣y+b=0,可得1﹣a=2,即a=﹣1,
则f(x)=x,可得切点为(1,0),
可得2﹣0+b=0,即b=﹣2,
则a+b=﹣3,
故选A.
28.(2020•河南模拟)已知:过点M(m,0)可作函数f(x)=x2﹣2x+t图象的两条切线l1,l2,且l1⊥l2,则t=( )
A.1 B. C. D.2
【答案】B
【解析】设切点为(n,n2﹣2n+t),∵f′(x)=2x﹣2,故切线斜率为2n﹣2.
所以切线方程:y﹣(n2﹣2n+t)=(2n﹣2)(x﹣n),
将(m,0)代入整理得:n2﹣2mn+2m﹣t=0,
设l1,l2的切点横坐标分别为n1,n2,则:n1+n2=2m,n1n2=2m﹣t.
因为l1⊥l2,所以f′(n1)f′(n2)=(2n1﹣2)(2n2﹣2)=4n1n2﹣4(n1+n2)+4=﹣1①.
结合韦达定理得4×(2m﹣t)﹣4×2m+4=﹣1,解得.
故选B.
29.(2020•益阳模拟)已知函数f(x)=x2lnx+1﹣f'(1)x,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A. B. C.3e D.3e
【答案】A
【解析】函数f(x)=x2lnx+1﹣f'(1)x的导数为f′(x)=2xlnx+x﹣f′(1),
令x=1,则f′(1)=0+1﹣f′(1),可得f′(1),
则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为,
故选A.
30.(2020•三模拟)函数f(x)=3sinx+4cosx的图象在点T(0,f(0))处的切线l与坐标轴围成的三角形面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由f(x)=3sinx+4cosx,得f'(x)=3cosx﹣4sinx,
∴f'(0)=3,又f(0)=4,
∴切线l的方程为3x﹣y+4=0,
取x=0,解得切线l在y轴上的截距b=4,
取y=0,解得切线l在x轴上的截距,
∴直线l与坐标轴围成的三角形面积|a||b|.
故选D.
31.(2020•陕西模拟)曲线f(x)=f′(1)ex﹣x2+2在点(0,f(0))处的切线的斜率等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】f(x)=f′(1)ex﹣x2+2,
可得f′(x)=f′(1)ex﹣2x,
可令x=1,可得f′(1)=f′(1)e﹣2,
解得f′(1),
则f′(x)ex﹣2x,
可得曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为f′(0),
故选B.
32.(2020•赤峰模拟)设函数f(x)=ex﹣x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则a+b的最大值是( )
A.1 B.1 C.e﹣1 D.e2﹣2
【答案】C
【解析】由题得f′(x)=ex﹣1,设切点(t,f(t)),则f(t)=etx,f′(t)=et﹣1;
则切线方程为:y﹣(et﹣t)=(et﹣1)(x﹣t),
即y=(et﹣1)x+et(1﹣t),又因为y=ax+b,
所以a=et﹣1,b=et(1﹣t),
则a+b=﹣1+2et﹣tet,
令g(t)=﹣1+2et﹣tet,则g′(t)=(1﹣t)et,
则有t>1,g′(t)<0;t<1,g′(t)>0,
所以t=1时,g(x)取最大值,
所以a+b的最大值为g(1)=﹣1+2e﹣e=e﹣1.
故选C.
33.(2020•四川模拟)曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.1
【答案】A
【解析】由x>0,f(x)x3+2lnx的导数,
当且仅当x=1时等号成立,
可得曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选A.
34.(2018•南开区二模)函数y=xcosx在x处的导数值是__________.
【答案】
【解析】y′=x′cosx+x(cosx)′=cosx﹣xsinx
所以y=xcosx在处的导数值是
故答案为.
35.(2020•沙坪坝区校级模拟)函数,则__________.
【答案】
【解析】∵,
∴,解得.
故答案为:.
36.(2020•香坊区校级二模)已知函数,则 __________.
【答案】1
【解析】由已知,
∴.∴.
∴.
∴.
故答案为:1.
37.(2020•河南模拟)已知函数f(x)=2ex﹣f′(0)sinx,则f'(0)=__________.
【答案】1
【解析】f′(x)=2ex﹣f′(0)cosx,
∴f′(0)=2﹣f′(0),解得f′(0)=1.
故答案为:1.
38.(2020•荔湾区校级模拟)设函数f(x)的导数为f'(x),且满足f(x)=f′(1)x3﹣2x,则f(1)=__________.
【答案】ln2﹣2
【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3﹣2x,则f′(x)=3f′(1)x2﹣2xln2,
当x=1时,有f′(1)=3f′(1)﹣2ln2,
解可得f′(1)=ln2,
则f(x)=ln2×x3﹣2x,故f(1)=ln2﹣2;
故答案为:ln2﹣2.
39.(2020•遂宁模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=3xf′(2)+lnx,则f(1)的值等于__________.
【答案】
【解析】根据题意,f(x)=3xf′(2)+lnx,其导数f′(x)=3f′(2),
令x=2可得:f′(2)=3f′(2),
解可得f′(2),
故f(x)x+lnx,则f(1),
故答案为:.
40.(2020•邯山区校级模拟)已知函数f(x)=xsinx+2x﹣1,则f'(π)=__________.
【答案】2﹣π
【解析】∵f′(x)=sinx+xcosx+2;
∴f′(π)=0﹣π+2=2﹣π.
故答案为:2﹣π.
41.(2020•遂宁模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+lnx,则f'(1)的值等于__________.
【答案】
【解析】根据题意,f(x)=3xf'(2)+lnx,
则其导数f′(x)=3f'(2),
当x=2时,有f′(2)=3f'(2),解可得f′(2),
则f′(x),
则f′(1)1,
故答案为:.
42.(2020•乐山模拟)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))= 2 ;函数f(x)在x=1处导数f′(1)=__________.
【答案】2,﹣2
【解析】(1)由图象可知f(0)=4,f(4)=2,
即f(f(0))=2
(2)∵f(0)=4,f(4)=2,f(2)=4,
∴由函数的图象可知,
,
当0≤x≤2时,f'(x)=﹣2
∴f'(1)=﹣2
故答案为:2,﹣2.
43.(2020•汉中二模)已知函数f(x)x3x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.
(1)若存在x<0,使得f′(x)=﹣9,求a的最大值;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
【解析】f(x)x3x2+bx+a,f′(x)=x2﹣(a+1)x+b
由f′(0)=0得b=0,f′(x)=x(x﹣a﹣1).
(1)存在x<0,使得f′(x)=x(x﹣a﹣1)=﹣9,
﹣a﹣1=﹣x(﹣x)6,
∴a≤﹣7,
当且仅当x=﹣3时,a=﹣7.所以a的最大值为﹣7.
(2)当a>0时,x,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
f(x)的极大值f(0)=a>0,
f(x)的极小值f(a+1)=a(a+1)3.
44.(2018•浙江模拟)已知函数.
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)的定义域及值域.
【解析】(1)对f(x)求导得:
(2)因为|x|≥|x|≥﹣x,
所以x0对一切x∈R恒成立,故f(x)的定义域为R.
令f′(x)=0,即0,解得x(舍去),或x,
当x时,,f′(x)<0,
当x时,,f′(x)>0
所以当x时,f(x)取最大值f(),
又x0,所以f(x)>0,
故f(x)的值域为(0,].
45.(2020•唐山二模)已知函数f(x)=axlnx,g(x)=x2﹣b,若曲线y=f(x)与y=g(x)相交于P(1,0),且在点P处有相同的切线.
(1)求a,b的值;
(2)比较f(x)与g(x)的大小关系.
【解析】(1)由g(1)=0,得b=1.
f′(x)=a(lnx+1),g′(x)=2x.
依题意可得f′(1)=g′(1)=2,
所以a=2,b=1.
(2).
令,则,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,又h(1)=0,
因此0<x<1时,h(x)>h(1)=0;
x=1时,h(x)=h(1)=0;x>1时,h(x)<h(1)=0.
故0<x<1时,f(x)>g(x);
x=1时,f(x)=g(x);
x>1时,f(x)<g(x).