2020-2021学年高考数学（理）考点：曲线与方程 15页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：曲线与方程 ‎1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：‎ 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.‎ ‎2.求动点的轨迹方程的基本步骤 概念方法微思考 ‎1.方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？‎ 提示　不是同一曲线.‎ ‎2.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？‎ 提示　曲线的交点与方程组的关系 ‎(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；‎ ‎(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.‎ ‎1．（2019•北京）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：‎ ‎①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3．‎ 其中，所有正确结论的序号是　　‎ A．① B．② C．①② D．①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】将换成方程不变，所以图形关于轴对称，‎ 当时，代入得，，即曲线经过，；‎ 当时，方程变为，所以△，解得，，‎ 所以只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过，，‎ 根据对称性可得曲线还经过，，‎ 故曲线一共经过6个整点，故①正确．‎ 当时，由得，（当时取等），‎ ‎，，即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线上任意一点到原点的距离都不超过；故②正确．‎ 在轴上图形面积大于矩形面积，轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③错误．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•山东）已知曲线．　　‎ A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 ‎ B．若，则是圆，其半径为 ‎ C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 ‎ D．若，，则是两条直线 ‎【答案】ACD ‎【解析】．若，则，则根据椭圆定义，知表示焦点在轴上的椭圆，故正确；‎ ‎．若，则方程为，表示半径为的圆，故错误；‎ ‎．若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，‎ 若，，则方程为，表示焦点在轴的双曲线，故此时渐近线方程为，‎ 故正确；‎ ‎．当，时，则方程为表示两条直线，故正确；‎ 故选．‎ ‎3．（2018•上海）已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，则动点的轨迹方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】平面上动点到两个定点和的距离之和等于4，‎ 满足椭圆的定义，可得，，则，‎ 动点的轨迹方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎1．（2020•静安区二模）方程的曲线所满足的性质为　　‎ ‎①不经过第二、四象限；②关于轴对称；③关于原点对称；④关于直线对称．‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．①②‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，化为：，说明，同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限；①正确．‎ 换，方程发生改变，所以图形不关于轴对称，所以②不正确；‎ 以代替，以代替，方程不变，所以③正确；‎ 方程，，互换，方程化为：，方程已经改变；所以④不正确；‎ 故选．‎ ‎2．（2020•宁德模拟）方程：的曲线有下列说法：‎ ‎①该曲线关于对称；‎ ‎②该曲线关于点对称；‎ ‎③该曲线不经过第三象限；‎ ‎④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．‎ 其中正确的是　　‎ A．②③ B．①④ C．②④ D．①③‎ ‎【答案】D ‎【解析】将方程整理可得，令 将换成时，即，‎ 所以，所以曲线关于对称，所以①正确，②不正确；‎ 当时，，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，‎ 曲线过的整数点，，，三个整数点，故④不正确，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•吴兴区校级模拟）已知且，则的取值范围为　　‎ A．，， B．，， ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，则，‎ 由，得，‎ 即，则，‎ 即，解得或．‎ 的取值范围为，，．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•麒麟区校级二模）已知点，，若点在曲线上运动，则面积的最小值为　　‎ A．6 B． C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，，直线的方程为，‎ 曲线表示单位圆的下半部分，‎ 要使面积的最小，则需点到直线的距离最小，不妨设，，‎ 点到直线的距离为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎5．（2019•西城区一模）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为　　‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】曲线围成的平面区域，关于，轴对称，设曲线上的点，可得．‎ 所以曲线围成的平面区域的直径为：3．‎ 故选．‎ ‎6．（2019•闵行区校级模拟）方程所表示的曲线的长度是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程，‎ 可得，即有或，‎ 即有，‎ 作出方程所表示的曲线，‎ 可得曲线为两个半圆，半径均为，‎ 可得表示曲线的长度为．‎ 故选．‎ ‎7．（2019•西湖区校级模拟）方程表示的曲线是　　‎ A．一个圆和一条射线 B．一个圆和一条直线 ‎ C．一个圆 D．一条直线 ‎【答案】B ‎【解析】方程等价于或，‎ ‎①在直角坐标系中，方程图象为一条直线，‎ ‎②，‎ 配方得，‎ 方程表示以为圆心，以1为半径的圆，‎ 故表示一条直线和一个圆，‎ 故选．‎ ‎8．（2019•西湖区校级模拟）方程所表示的曲线是　　‎ A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．抛物线 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 即或．‎ 方程所表示的曲线是两条直线．‎ 故选．‎ ‎9．（2019•黄浦区一模）如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是　　‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图曲线表示折线段的一部分和双曲线，‎ 选项等价于或，表示折线的全部和双曲线，故错误；‎ 选项等价于，或，表示折线的全部，故错误；‎ 选项等价于或，表示折线在双曲线的外部 ‎（包括有原点）的一部分，表示双曲线，符合题中图象，故正确；‎ 选项等价于或，‎ 表示表示折线在双曲线的外部（包括有原点）的一部分，‎ 表示双曲线在轴下方的一部分，故错误．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•河南模拟）曲线与曲线交于、两点，为原点，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）曲线上一点的纵坐标为2，过点作直线、，、的斜率分别为、，，、分别交曲线于异于的不同点，，证明：直线恒过定点．‎ ‎【解析】（1）由对称性可知：、关于轴对称，可设，，‎ 则，‎ 把代入曲线得：；‎ ‎（2）证明：由（1）得曲线的方程为，即有，‎ 设，，，，‎ 则，‎ 同理，，‎ 若直线斜率为0，直线的方程设为，代入曲线，仅有一解，不合题意，舍去；‎ 当存在时，设直线的方程设为，‎ 把代入整理得：，‎ 且，‎ 得，代入式，‎ 得：，‎ 故直线的方程为，‎ 可得直线恒过定点．‎ ‎11．（2020•长春三模）已知点，点在轴负半轴上，以为边做菱形，且菱形对角线的交点在轴上，设点的轨迹为曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，其中，作曲线的切线，设切点为，求面积的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，，菱形的中心在轴上，设为点．‎ 由题意可知，，则，又为的中点，因此点 即点的轨迹为为参数且，‎ 化为标准方程．‎ ‎（Ⅱ）设点，过点的切线方程为：，‎ 点在该切线方程上，，‎ 即，由，可得，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 可知当时，为关于的增函数，因此的取值范围是．‎ ‎12．（2020•邵阳一模）半圆的直径两端点为，，点在半圆及直径上运动，若将点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线的“直径”．‎ ‎【解析】（1）设，则，由题意可得当在直径上运动时，‎ 显然；当在半圆上时，，‎ 所以曲线的方程为或；‎ ‎（2）设曲线上两动点，，，显然，至少有一点在椭圆上时才能取得最大，‎ 不妨设，则，‎ ‎，，‎ 等号成立时，，，或，，，‎ 由两点的距离公式可得，‎ 故曲线的“直径”为．‎ ‎13．（2020•临汾模拟）已知圆，为上任意一点，，的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）已知点，过的直线交于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值．‎ ‎【解析】因为在的中垂线上，所以，而，‎ 所以，由椭圆的定义可得的轨迹为焦点在轴上，长轴长为4‎ ‎，焦点坐标为：，的椭圆，即，，所以，‎ 所以曲线的方程：；‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设的方程为：，设，，，，‎ 联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，△，整理可得：，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 代入可得，‎ 因为直线过点，所以，‎ 所以，‎ 即证了直线的斜率与直线的斜率之和为定值．‎ ‎14．（2020•深圳模拟）在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径，设点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的任意直线与曲线交于点，为的中点，过点作轴的平行线交曲线于点，关于点的对称点为，除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．‎ ‎【解析】（1）如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于，‎ 设动圆的圆心为，半径为，则到轴的距离为，在梯形中，由中位线性质可得，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，‎ 所以曲线的方程为：；‎ ‎（2）由可得在求出上，‎ 当直线的斜率存在时，设，，，，则，‎ 的中点，，即，，‎ 在方程中，令，得，所以，，‎ 设，，由中点坐标公式可得，‎ 又，代入化简，‎ 所以，，‎ 直线的斜率为：，‎ 所以直线的方程为：①，‎ 将代入①化简可得：②，‎ 将代入②式整理可得，△，‎ 所以直线与抛物线相切，‎ 所以除点外，直线与没有其他的公共点．‎ 当直线的斜率不存在时．，，，，‎ 直线的方程为：代入抛物线的方程可得，△，‎ 所以除点外，直线与没有其他的公共点．‎ 综上所述，除点外直线与没有其他的公共点．‎ ‎15．（2020•番禺区模拟）已知长度为4的线段的两个端点，分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设不经过点 的直线与曲线相交于两点，．若直线与的斜率之和为1，求实数的值．‎ ‎【解析】（1）设，，，‎ ‎，‎ ‎，，，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 曲线的方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设，，，，‎ 由，消去得，‎ ‎，‎ 由△，‎ 可得，‎ 又直线不经过点，‎ 且直线与的斜率存在，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故的值为3．‎