高考数学理一轮复习教案第八篇立体几何空间点直线平面之间的位置关系 10页

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎【2013年高考会这样考】‎ ‎1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．‎ ‎2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．‎ ‎3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎【复习指导】‎ ‎1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．‎ ‎2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．‎ 基础梳理 ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 两种方法 异面直线的判定方法：‎ ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 三个作用 ‎(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．‎ ‎(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．‎ ‎(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是(　　)．‎ A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 解析　空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确．‎ 答案　D ‎2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)．‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析　由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. ‎ 答案　C ‎3．(2011·浙江)下列命题中错误的是(　　)．‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析　对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．‎ 答案　D ‎4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)．‎ A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 解析　‎ 如图所示，与AB异面的直线有B‎1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．‎ 答案　B ‎5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．‎ 答案　3或4‎ ‎　　‎ 考向一　平面的基本性质 ‎【例1】►正方体ABCDA1B‎1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B‎1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是(　　)．‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．‎ 解析　‎ 如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．‎ 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.‎ ‎∴截面为六边形PQFGRE.‎ 答案　D ‎ 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．‎ ‎【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．‎ 解析　‎ 在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A‎1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．‎ 答案　①②③‎ 考向二　异面直线 ‎【例2】►如图所示，‎ 正方体ABCDA1B‎1C1D1中，M、N分别是A1B1、B‎1C1的中点．问：‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．‎ 解　‎ ‎(1)不是异面直线．理由如下：‎ 连接MN、A‎1C1、AC.‎ ‎∵M、N分别是A1B1、B‎1C1的中点，‎ ‎∴MN∥A‎1C1.又∵A‎1A綉C‎1C，‎ ‎∴A1ACC1为平行四边形，‎ ‎∴A‎1C1∥AC，∴MN∥AC，‎ ‎∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)是异面直线．证明如下：‎ ‎∵ABCDA1B‎1C1D1是正方体，‎ ‎∴B、C、C1、D1不共面．‎ 假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ ‎∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B‎1C1D1是正方体矛盾．‎ ‎∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．‎ ‎ 证明两直线为异面直线的方法 ‎(1)定义法(不易操作)．‎ ‎(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．‎ ‎【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．‎ 解析　如题干图(1)中，直线GH∥MN；‎ 图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；‎ 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；‎ 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，‎ ‎∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．‎ 答案　(2)(4)‎ 考向三　异面直线所成的角 ‎【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B‎1C1D1中．‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小；‎ ‎(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A‎1C1与EF所成角的大小．‎ ‎[审题视点] (1)平移A1D到B‎1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A‎1C1与EF垂直．‎ 解　‎ ‎(1)如图所示，连接AB1，B‎1C，由ABCDA1B‎1C1D1是正方体，‎ 易知A1D∥B‎1C，从而B‎1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．‎ ‎∵AB1＝AC＝B‎1C，‎ ‎∴∠B1CA＝60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ AC⊥BD，AC∥A‎1C1，‎ ‎∵E、F分别为AB、AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，∴EF⊥AC.‎ ‎∴EF⊥A‎1C1.‎ 即A‎1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎ 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．‎ ‎【训练3】 A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎(1)证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)解　‎ 如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ 考向四　点共线、点共面、线共点的证明 ‎【例4】►正方体 ABCDA1B‎1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2)CE、D‎1F、DA三线共点．‎ ‎[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；‎ ‎(2)先证CE与D‎1F相交于P，再证P∈AD.‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E、F分别是AB、AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D‎1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E、C、D1、F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，‎ ‎∴CE与D‎1F必相交，设交点为P，‎ 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，‎ 得P∈平面ABCD.‎ 同理P∈平面ADD‎1A1.‎ 又平面ABCD∩平面ADD‎1A1＝DA，‎ ‎∴P∈直线DA，∴CE、D‎1F、DA三线共点．‎ ‎ 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．‎ ‎【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．‎ 证明　∵E、H分别为边AB、AD的中点，‎ ‎∴EH綉BD，而＝＝，‎ ‎∴＝，且FG∥BD.‎ ‎∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.‎ ‎∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.‎ 同理，P∈平面ADC.‎ ‎∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．　‎ 阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误 ‎【问题诊断】 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．‎ ‎【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．‎ ‎【示例】►(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ‎(　　)．‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因　受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．‎ 实录　甲同学：A　乙同学：C 丙同学：D.‎ 正解　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直 线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ 答案　B ‎【试一试】 (2010·江西)‎ 过正方体ABCDA1B‎1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)．‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[尝试解答]　如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的 其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，‎ ‎∵BB1∥AA1，BC∥AD，‎ ‎∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A‎1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A‎1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．‎ 答案　D