春季高考数学试题及答案北京文 8页

‎2004年普通高等学校春季招生考试数学（文史）（北京卷）‎ 一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 在函数中，最小正周期为的函数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3. 双曲线的渐近线方程是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知，则下列不等关系中必定成立的是（ ）‎ ‎ A. ， B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎7. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：‎ ‎ <1>若，则； <2>若，则 <3>若，则 ‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎8. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，恰有1件次品的不同取法的种数是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ ）‎ ‎ A. B. 1 C. D. 2‎ 二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。‎ ‎11. 直线（a为实常数）的倾斜角的大小是_________。‎ ‎12. 的值为____________。‎ ‎13. 若为函数的反函数，则的值域是_______。‎ ‎14. 若直线与圆没有公共点，则m，n满足的关系式为____________；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆的公共点有_________个。‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎15. （本小题满分13分） 解不等式。‎ ‎16. （本小题满分13分） 在中，a，b，c分别是的对边长，已知a，b，c成等比数列，且，求的大小及的值。‎ ‎17. （本小题满分15分） 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，。‎ ‎（I）求证； ‎ ‎（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；‎ ‎18. （本小题满分14分） 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。已知地球半径R＝6371km。‎ ‎（I）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； ‎ ‎（II）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返 回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约 ‎，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？‎ ‎（结果精确到1km/s）（注：km/s即千米/秒）‎ ‎19. （本小题满分15分） 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元。该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元。根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。‎ ‎（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；‎ ‎（II）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？‎ ‎（服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂单价－成本）‎ ‎20. （本小题满分14分） 下表给出一个“等差数阵”： ‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎（ ）‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎……‎ ‎ 其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数。‎ ‎（I）写出的值；‎ ‎（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。‎ ‎2004年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史）（北京卷）参考解答 一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎ 1. A 2. D 3. A 4. C 5. B ‎ 6. C 7. D 8. C 9. A 10. B 二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。‎ ‎ 11. 12. 1 13. 14. 2‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎15. 本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力，满分13分。‎ ‎ 解：原不等式的解集是下面不等式组(1)及(2)的解集的并集：‎ ‎ 或 ‎ 解不等式组(1)得解集 解不等式组(2)得解集 ‎ 所以原不等式的解集为 ‎16. 本小题主要考查解斜三角形等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分13分。‎ ‎ 解：（I）成等比数列 又 ‎ 在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎ （II）解：在中，由正弦定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分15分。 （I）证明：如图1‎ 图1‎ ‎ 底面ABCD是正方形 底面ABCD ‎ DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得 ‎ ‎ ‎ （II）解： 底面ABCD，且ABCD为正方形 ‎ 可以把四棱锥补形为长方体，如图2‎ ‎ 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，‎ ‎ 又 为所求二面角的平面角 ‎ 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ‎ 即面ASD与面BSC所成的二面角为 图2‎ ‎ ‎ 图3‎ ‎18. 本小题主要考查椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分 ‎ 解：（I）设椭圆的方程为 由题设条件得 ‎ ‎ ‎ 解得 所以 ‎ ‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ （注：由得椭圆的方程为，也是正确的。）‎ ‎（II）从15日9时到16日6时共21个小时，合21×3600秒 ‎ 减去开始的9分50秒，即9×60＋50＝590（秒），再减去最后多计的1分钟，共减去590＋60＝650（秒） 得飞船巡天飞行的时间是 （秒）‎ ‎ 平均速度是（千米/秒） 所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s。‎ ‎19. 本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分15分 解：（I）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 所以 ‎ （II）设销售商的一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，则 ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 因此，当销售商一次订购了450件服装时，该厂获利的利润是5850元。‎ ‎20. 本小题主要考查等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。满分14分 解：（I）‎ ‎ （II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：‎ ‎ 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：‎ ‎ ……‎ ‎ 第i行是首项为，公差为的等差数列，因此 ‎ ‎ ‎ 要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得 ‎ 所以 ‎ 当时，得 ‎ 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列。‎