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- 2021-05-14 发布
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高考数学二轮复习专项
排列、组合、二项式定理与概率统计(含详解)
1. 袋里装有30个球,每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为的球的重量为(克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出.
(Ⅰ)如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率.
(Ⅱ)如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率;
(Ⅲ)如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率.
2. 从10个元件中(其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件)随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为,每个乙品牌元件能通过测试的概率均为.试求:
(I)选出的3个元件中,至少有一个甲品牌元件的概率;
(II)若选出的三个元件均为乙品牌元件,现对它们进行性能测试,求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.
3. 设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次任取一个,并且取出不在放回,若以和分别表示取出次品和正品的个数。
(1)求的分布列,期望及方差;
(2)求的分布列,期望及方差;
4. 某大型商场一个结算窗口,每天排队结算的人数及相应概率如下:
排队人数
0—5
6—10
11—15
16—20
21—25
25以上
概率
0.1
a
0.25
0.25
0.2
0.05
(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少?
(2)一周7天中,若有三天以上(含三天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75,商场就需要增加结算窗口,请问,该商场是否需要增加结算窗口?
5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货.如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8,0.7.假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响,求在这个小时内:
(1)只有丙柜面需要售货员照顾的概率;
(2)三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率;
(3)三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率.
6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶,现有一个11阶的楼梯 ,该同学从第1阶到第11阶用7步走完。
(1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率;
(2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ,求随机事件ζ的分布列及其期望。
7. 甲、乙两支足球队,苦战120分钟,比分为1 :1,现决定各派5名队员,每人射一个点球决定胜负,假设两支球队派出的队员点球命中率均为
⑴两队球员一个间隔一个出场射球,有多少种不同的出场顺序?
⑵甲、乙两队各射完5个点球后,再次出现平局的概率是多少?
8. 在一个盒子中,放有标号分别为,,的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、,记.
(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.
9. 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D占线的概率均为0.4。各部门是否占线相互之间没有影响。假设有部电话占线,试求随机变量的概率分布和它的期望。
10. 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
11. 如图,面积为的正方形中有一个不规则的图形,可按下面方法估计的面积:在正方形中随机投掷个点,若个点中有个点落入中,则的面积的估计值为,假设正方形的边长为2,的面积为1,并向正方形中随机投掷个点,以表示落入中的点的数目.
(I)求的均值;
(II)求用以上方法估计的面积时,的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率.
附表:
12. 四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示.
纪念币
概率
这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数.
(1)求的分布列及数学期望;
(2)在概率中,若的值最大,求的取值范围.
13. 数学试题中共有10道选择题每道选择题都有4个选项,其中有且仅有一个是正确的.
评分标准规定:“每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分”,某考生每道题都给出了一个答案,已确定有6道题的答案是正确的,而其余题中,有两道题都可判断出两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生:
(1)得50分的概率;
(2)得多少分的可能性最大.
14. 甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,
答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.
(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望;
(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
15. 多哈亚运会中,中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛,根据以往战况,中国女排每一局赢的概率为。已知比赛中,第一局日本女排先胜一局,在这个条件下,(Ⅰ)求中国女排取胜的概率
(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数,求的分布列及 ((Ⅰ)(Ⅱ)均用分数作答)
16. 某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;
(2)求的分布列及期望.
17. 有三张大小形状质量完全相同的卡片,三张卡片上分别写有0,1,2
三个数字,现从中任抽一张,其上面的数字记为x,然后放回,再抽一张,其上面的数字记为y,记=xy,求:(1)的分布列;(2)的期望.
18. 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱,为了找出该箱中的二等品,我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。
(I)求前两次取出的都是二等品的概率;
(II)求第二次取出的是二等品的概率;
(III)用随机变量表示第二个二等品被取出时共取出的件数,求的分布列及数学期望。
19.
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中一个开关能够闭合,线路就能正常工作,假定在某段时间内,每个开关能够闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内:
(1)开关JA,JB恰有一个闭合的概率;
(2)线路正常工作的概率。
20. 在一次由三人参加的围棋对抗赛中,甲胜乙的概率为0.4,乙胜丙的概率为0.5,丙胜甲的概率为0.6,比赛按以下规则进行;第一局:甲对乙;第二局:第一局胜者对丙;第三局:第二局胜者对第一局败者;第四局:第三局胜者对第二局败者,求:
(1)乙连胜四局的概率;
(2)丙连胜三局的概率.
21. 沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿灯交通信号,汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别为,,,对于该大街上行驶的汽车,求:
(Ⅰ)在三个地方都不停车的概率;
(Ⅱ)在三个地方都停车的概率;
(Ⅲ)只在一个地方停车的概率.
答案:
1. (Ⅰ)所以所求概率
(Ⅱ)由, 可解得
由题意知=4,5,6,7,8,9,10,11, 共8个值,
所以所求概率为;
(Ⅲ)设第号和第号的两个球的重量相等, 其中,
当时, 可以得到,
则(1,11), (2,10), …, (5,7), 共5种情况,
所以所求概率为.
2. (Ⅰ)随机选出的3个元件中,至少有一个甲品牌元件的概率为
1-;
(Ⅱ)至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为
=;
3. (1)的可能值为0,1,2
若表示没有取出次品,其概率为;
同理
的分布列为
0
1
2
(2)的可能值为1、2、3,显然
的分布列为
1
2
3
4. (1)依题意知,所求概率为:P=1-0.2-0.05=0.75
∴每天不超过20人排队结算的概率是0.75
(2)超过15人排队的概率为:0.25+0.2+0.05=
1周7天中,没有出现超过15人结算的概率为:
1周7天中,有一天超过15人结算的概率为:
1周7天中,有二天超过15人结算的概率为:
∴该商场需要增加结算窗口。
5. 设事件A、B、C分别表示“某一小时内甲、乙、丙柜面不需要售货员照顾”,则A、B、C相互独立,且.
(1)设事件D表示“某一小时内只有丙柜面不需要售货员照顾”、
则事件,且事件相互独立,故
.
(2) 设事件E表示“某一小时内三个柜面中最多有一个需要售货员照顾”,
则事件,
故
.
(3) 设事件F表示“某一小时内三个柜面中至少有一个需要售货员照顾”,
则事件,故
,
所以,.
6. 设走2阶的步数为x,走1阶的步数为y,则有
(1)
(2)P(ζ=1)=
P(ζ=3)=
随机事件ζ的分布列是
ξ
1
2
3
4
P
ξ的期望是Eξ=×1+×2+×3+×4=
7. (1)此题为5个两类不同的元素的相间排列,其方法为:
(2)
8. (Ⅰ)、可能的取值为、、,
,,
,且当或时,.
因此,随机变量的最大值为.
有放回抽两张卡片的所有情况有种,
.
答:随机变量的最大值为,事件“取得最大值”的概率为.
(Ⅱ)的所有取值为.
时,只有这一种情况,
时,有或或或四种情况,
时,有或两种情况.
,,.
则随机变量的分布列为:
因此,数学期望.
9.
随机变量的概率分别为:
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
10. (1)设“甲射击4次,至少1次未击中目标”为事件A,则其对立事件为“4次均击中目标”,则
(2)设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
(3)设“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故
11. 每个点落入中的概率均为.
依题意知.
(Ⅰ).
(Ⅱ)依题意所求概率为,
.
12. (1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为.
∴,
,
,
,.
∴的分布列为
的数学期望为.
(2)∵,∴,.则
,,
由,得,即的取值范围是.
13. (1)得分为50分,10道题必须全做对.
在其余的四道题中,有两道题答对的概率为,有一道题答对的概率为,还有一道答对的概率为,所以得分为50分的概率为:P=
(2)依题意,该考生得分的范围为{30,35,40,45,50}.
得分为30分表示只做对了6道题,其余各题都做错,所以概率为:
同样可以求得得分为35分的概率为:
得分为40分的概率为:;
得分为45分的概率为:;
得分为50分的概率为:
所以得35分或得40分的可能性最大.
14. (Ⅰ)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且
所以ε的分布列为
ε
0
1
2
3
P
ε的数学期望为
Eε=
解法二:根据题设可知
因此ε的分布列为
(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又
由互斥事件的概率公式得
解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事
P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).
=
15. (Ⅰ)中国女排取胜的情况有两种: ①中国女排连胜三局 ②中国女排在第2局到第4局中赢两局,且第5局赢。故中国女排取胜的概率为
(Ⅱ)比赛局数 则,
的分布列为:
3
4
5
P
16. (1)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
,.
(2)的可能取值为元,元,元.
,,
.
的分布列为
(元).……………………10分
17. (1)可取0,1,2,4
;,,
0
1
2
4
p
∴的分布列为
(2)
18. (I)四件产品逐一取出排成一列共有种方法,前两次取出的产品都是二等品的共有种方法,
∴前两次取出的产品都是二等品的概率为
(II)四件产品逐一取出排成一列共有种方法,第二次取出的产品是二等品的共有种方法,
∴第二次取出的产品是二等品的概率为
(III)的所有可能取值为2,3,4,
∴的概率分布为
2
3
4
p
∴
19. 分别记在这段时间内开关能够闭合为事件A、B、C,则它们的对立事件为,,且P(A)=P(B)=P(C)=0.7,P()=P()=P()=1-0.7=0.3根据题意在这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响,即事件A、B、C相互独立(2分)
(1)在这段时间内“开关JA,JB恰有一个闭合”包括两种情况:一种是开关JA闭合但开关JB不闭合(事件A·发生),一种是开关JA不闭合但开关JB闭合(事件·B发生),根据题意这两种情况不可能同时发生即事件A·与事件·B互斥。根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率是:
P(A·+·B)=P(A+)+P(+B)=P(A)P()+P()P(B)
=0.7·0.3+0.3·0.7=0.42(7分)
(2)在这段时间内,线路正常工作,意味着3个开关至少有一个能够闭合,即事件A、B、C至少有一个发生,其对立事件为事件,,同时发生于是所求的概率为:
1-P(··)=1-P()P()P()=1-0.3·0.3·0.3=1-0.027=0.973(11分)
答:开关JA,JB恰有一个闭合的概率为0.42;线路正常工作的概率是0.973
20. 1)当乙连胜四局时,对阵情况如下:
第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜.
所求概率为=×==0.09
∴ 乙连胜四局的概率为0.09.
(2)丙连胜三局的对阵情况如下:
第一局:甲对乙,甲胜,或乙胜.
当甲胜时,第二局:甲对丙,丙胜.第三局:丙对乙,丙胜;第四局:丙对甲,丙胜.
当乙胜时,第二局:乙对丙,丙胜;第三局:丙对甲,丙胜;第四局:丙对乙,丙胜.
故丙三连胜的概率=0.4××0.5+(1-0.4)××0.6=0.162.
21. (1);
(2);
(3)