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  • 2021-05-14 发布

高三高考数学中求轨迹方程的常见方法

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高考数学中求轨迹方程的常见方法 一、直接法 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.‎ 例1 已知点、动点满足,则点的轨迹为( ) ‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解: ,‎ ‎. 由条件,,整理得,此即点的轨迹方程,所以的轨迹为抛物线,选D.‎ 二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.‎ C B y x O A 例2 已知中,、、的对边分别为、、,若依次构成等差数列,且,,求顶点的轨迹方程.‎ 解:如右图,以直线为轴,线段的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意,构成等差数列,,‎ 即,又,的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,,,故的轨迹方程为.‎ 三、代入法 y Q O x N P 当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法.‎ 例3 如图,从双曲线上一点引直线 的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程.‎ 解:设,则.在直线上,‎ ‎① 又得即.②‎ 联解①②得.又点在双曲线上,,化简整理得:,此即动点的轨迹方程.‎ 四、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满足的条件,从而得到动点的轨迹方程.‎ 例4 已知点、,过、作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程.‎ 解:由平面几何知识可知,当为直角三角形时,点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点,半径为,方程为. 故的轨迹方程为.‎ 五、参数法 ‎ 参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.‎ 例5 过抛物线()的顶点作两条互相垂直的弦、,求弦的中点的轨迹方程.‎ 解:设,直线的斜率为,则直线的斜率为.直线OA的方程为,由解得,即,同理可得.‎ 由中点坐标公式,得,消去,得,此即点的轨迹方程.‎ ‎ 六、交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.‎ x A1‎ A2‎ O y N M P 例6 如右图,垂直于轴的直线交双曲线于 ‎、两点,为双曲线的左、右顶点,求直线与 的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.‎ 解:设及,又,可得 直线的方程为①;直线的方程为②.‎ ‎①×②得③. 又,代入③得,化简得,此即点的轨迹方程. 当时,点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆;当时,点的轨迹是椭圆.‎ 高考动点轨迹问题专题讲解 ‎(一)选择、填空题 ‎1.( )已知、是定点,,动点满足,则动点的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 ‎2.( )设,,的周长为36,则的顶点的轨迹方程是 ‎(A)() (B)()‎ ‎(C)() (D)()‎ ‎3.与圆外切,又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;‎ ‎4.P在以、为焦点的双曲线上运动,则的重心G的轨迹方程是 ;‎ ‎5.已知圆C:内一点,圆C上一动点Q, AQ的垂直平 分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为 .‎ ‎6.△ABC的顶点为、,△ABC的内切圆圆心在直线上,则顶 点C的轨迹方程是 ;()‎ 变式:若点为双曲线的右支上一点,、分别是左、右焦点,则△的内切圆圆心的轨迹方程是 ;‎ 推广:若点为椭圆上任一点,、分别是左、右焦点,圆与线段的延长线、线段及轴分别相切,则圆心的轨迹是 ;‎ ‎7.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1,则点的轨迹方程是 ‎ .‎ ‎8.抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 .‎ ‎()‎ ‎9.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点旋转时,‎ 弦中点的轨迹方程为 .‎ 解法分析:解法1 当直线的斜率存在时,‎ 设PQ所在直线方程为 与抛物线方程联立,‎ ‎ 消去得 .‎ 设,,中点为,则有 ‎ 消得. ‎ 当直线的斜率不存在时,易得弦的中点为,也满足所求方程.‎ 故所求轨迹方程为.‎ 解法2 设,,‎ 由 得,设中点为,‎ 当时,有,又,‎ 所以,,即.‎ 当时,易得弦的中点为,也满足所求方程.‎ 故所求轨迹方程为.‎ ‎10.过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________.‎ ‎(二)解答题 ‎1.一动圆过点,且与圆相内切,求该动圆圆心的轨迹方程.‎ ‎(定义法)‎ ‎2.过椭圆的左顶点作任意弦并延长到,使,为椭圆另一顶点,连结交于点,‎ 求动点的轨迹方程.‎ ‎3.已知、是椭圆的长轴端点,、是椭圆上关于长轴对称的两点,求直线和的交点的轨迹.(交轨法)‎ ‎4.已知点G是△ABC的重心,,在轴上有一点M,满足 ‎,.‎ ‎(1)求点C的轨迹方程;(2)若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足,试求的取值范围.‎ 解:(1)设,则由重心坐标公式可得.‎ ‎∵ ,点在轴上,∴ .‎ ‎∵ ,,∴ ,即 .‎ 故点的轨迹方程为().(直接法)‎ ‎(2)设直线的方程为(),、,的中点为.‎ 由消,得.‎ ‎∴ ,即. ①‎ 又,∴,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ,∴ ,∴ ,即 ,‎ ‎∴ ,又由①式可得 ,∴ 且.‎ ‎∴ 且,解得且.‎ 故的取值范围是且.‎ ‎5.已知平面上两定点、,为一动点,满足.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(直接法)‎ ‎(Ⅱ)若A、B是轨迹上的两动点,且.过A、B两点分别作轨迹的切线,设其交点为,证明为定值.‎ 解:(Ⅰ)设.由已知,,,‎ ‎.‎ ‎,……………………………………………3分 ‎∵,∴ 整理,得 .‎ 即动点的轨迹为抛物线,其方程为.‎ ‎6.已知O为坐标原点,点、,动点、、满足(),,,.求点M的轨迹W的方程.‎ ‎ 解:∵,,‎ ‎∴ MN垂直平分AF.‎ 又,∴ 点M在AE上,‎ ‎∴ ,,‎ ‎∴ ,‎ ‎∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距,‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点M的轨迹W的方程为().‎ ‎7.设,为直角坐标系内轴正方向上的单位向量,若向量,, 且.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;(定义法)‎ ‎(2)过点作直线与曲线交于、两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程,若不存在,试说明理由.‎ 解:(1);‎ ‎(2)因为过轴上的点.若直线是轴,则两点是椭圆的顶点.‎ ‎ ,所以与 重合,与四边形是矩形矛盾.‎ 故直线的斜率存在,设方程为,.‎ 由 消得此时>恒成立,且,,‎ ‎ ,所以四边形是平行四边形.‎ 若存在直线,使得四边形是矩形,则,即.‎ ‎,‎ ‎∴ .‎ 即.‎ ‎ .,得.‎ 故存在直线:,使得四边形是矩形.‎ ‎8.如图,平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:=2,且于G,点Q是直线上一动点,点M满足:,点P满足:,.‎ ‎(I)建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;‎ ‎(II)若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B,令,‎ 当时,求直线的斜率的取值范围.‎ 解:(1)以的中点为原点,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点,‎ 则,,.‎ ‎∵ ,,∴,.‎ ‎∵,∴ ,‎ 即所求点的轨迹方程为.‎ ‎ (2)设点 ‎ 设AF的斜率为,BF的斜率为,直线的方程为 ‎ ‎ 由…………6分 ‎ ‎ …………7分 ‎ ‎ …………8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ …………10分 ‎ 由于 …………11分 ‎ 解得…………13分 ‎ ∴直线斜率k的取值范围是 ‎9.如图所示,已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,并延长到点,且,.‎ ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)直线与动点的轨迹交于、两点,若,且,求直线的斜率的取值范围.‎ 解:(1)设,由得,‎ ‎,,,‎ 又,∴,即动点的轨迹方程为.‎ ‎10.已知点,点在轴上,点在轴上,为动点,满足,‎ ‎.‎ ‎(1)求点轨迹的方程;‎ ‎(2)将(1)中轨迹按向量平移后得曲线,设是上任一点,过作圆的两条切线,分别交轴与、两点,求的取值范围.‎ 解:(1)设、、,则、、‎ ‎.‎ 由题意得 ∴ ∴ ,‎ 故动点的轨迹方程为.‎ ‎11.如图和两点分别在射线、上移动,且,‎ 为坐标原点,动点满足.‎ ‎(1)求的值; (2)求点的轨迹的方程,并说明它表示怎样的曲线?‎ ‎(3)若直线l过点交(2)中曲线于、两点,且,求的方程.‎ 解:(1)由已知得, ∴ .‎ ‎ (2)设P点坐标为(),由得 ‎ ,‎ ‎∴ 消去,可得,‎ 又因,∴ P点的轨迹方程为.‎ 它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.‎ (3) 设直线l的方程为,将其代入C的方程得 ‎ 即 ,‎ 易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意)‎ ‎ 又,‎ 设,则 ‎∵ l与C的两个交点在轴的右侧 ‎ ,‎ ‎∴ ,即,又由同理可得 ,‎ ‎ 由得 , ∴ ‎ ‎ 由得,‎ ‎ 由得,‎ 消去得 解之得: ,满足.‎ 故所求直线l存在,其方程为:或.‎ ‎12.设A,B分别是直线和上的两个动点,并且,动点P满足.记动点P的轨迹为C.‎ ‎(I) 求轨迹C的方程;‎ ‎(II)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且,求实数的取值范围.‎ 解:(I)设,因为A、B分别为直线和上的点,故可设 ‎   ,.‎ ‎ ∵, ∴ ∴‎ ‎   又,   ∴. ‎ ‎   ∴.  即曲线C的方程为. ‎ ‎(II) 设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-16)= (s,t-16).‎ ‎ 故,.‎ ‎ ∵ M、N在曲线C上, ∴‎ ‎ 消去s得 .‎ 由题意知,且,解得 . ‎ 又 , ∴. 解得 ().‎ ‎ 故实数的取值范围是().‎ ‎13.设双曲线的两个焦点分别为、,离心率为2.‎ ‎(1)求此双曲线的渐近线、的方程;()‎ ‎(2)若A、B分别为、上的动点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.()‎ 提示:,又,,‎ 则,.‎ 又 ,代入距离公式即可.‎ ‎(3)过点是否存在直线,使与双曲线交于、两点,且,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.(不存在)‎ ‎14.已知点,直线,设动点P到直线的距离为,已知,且. (1)求动点P的轨迹方程;‎ ‎15.如图,直线与椭圆()交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).‎ ‎(1)若,且四边形OAPB为矩形,求的值;()‎ ‎(2)若,当变化时(),求点P的轨迹方程.(())‎ ‎16.双曲线C:(,)的离心率为2,其中,,且.(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若双曲线C上存在关于直线:对称的点,求实数的取值范围.‎ 解:(I)依题意有: 解得:  ‎ 所求双曲线的方程为………………………………………6分 ‎(Ⅱ)当k=0时,显然不存在.………………………………………7分 当k≠0时,设双曲线上两点M、N关于直线l对称.由l⊥MN,直线MN的方程为.则M、N两点的坐标满足方程组 由 消去y得.…………………9分 显然,∴.即. ①‎ 设线段MN中点D()‎ 则∵D()在直线l上,∴.即 ②‎ 把②带入①中得 ,解得或.‎ ‎∴或.即或,且k≠0.‎ ‎∴k的取值范围是.…………………14分 ‎17.已知向量=(2,0),==(0,1),动点M到定直线y =1的距离等于d,并且满足·=K(·-d2),其中O为坐标原点,K为参数.‎ ‎(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;‎ ‎(Ⅱ)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足≤e≤,求实数K的取值范围.‎ ‎18.过抛物线的焦点作两条弦、,若,,.‎ ‎(1)求证:直线过定点;(2)记(1)中的定点为,求证为钝角;‎ ‎(3)分别以、为直径作圆,两圆公共弦的中点为,求的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线.‎ ‎19.(05年江西)如图,是抛物线上上的一点,动弦、分别交轴于、两点,且.(1)若为定点,证明:直线的斜率为定值;‎ ‎(2)若为动点,且,求△的重心的轨迹.‎ 思路分析:(1)由直线(或)方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标,利用斜率公式来证明;(2)用点的坐标将、点的坐标表示出来,进而表示出点坐标,消去即得到 的轨迹方程(参数法).‎ 解:(1)法一:设,直线的斜率为(),‎ 则直线的斜率为,方程为.‎ ‎∴由,消得,‎ 解得,∴ ,‎ ‎∴(定值).所以直线的斜率为定值.‎ 法二:设定点,、,‎ 由 得 ,即;同理 .‎ ‎∵ ,∴ ,即,∴ .‎ 所以,(定值).‎ 第一问的变式:过点作倾斜角互补的直线ME、MF,则直线EF的斜率为定值;根据不同的倾斜角,可得出一组平行弦.‎ ‎(2)直线ME的方程为 由得同理可得 设重心G(x, y),则有 消去参数得.‎ ‎20.如图,是边长为2的正方形纸片,沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点都落在边上,记为,折痕与交于点,点满足关系式 ‎.‎ ‎(1)建立适当的直角坐标系,求点的轨迹方程;‎ ‎(2)若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的,是边上的一点,,过点的直线交曲线于、两点,且,求实数的取值范围.‎