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- 2021-05-14 发布
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高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法
当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.
例1 已知点、动点满足,则点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解: ,
. 由条件,,整理得,此即点的轨迹方程,所以的轨迹为抛物线,选D.
二、定义法
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.
C
B
y
x
O
A
例2 已知中,、、的对边分别为、、,若依次构成等差数列,且,,求顶点的轨迹方程.
解:如右图,以直线为轴,线段的中点为原
点建立直角坐标系. 由题意,构成等差数列,,
即,又,的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,,,故的轨迹方程为.
三、代入法
y
Q
O
x
N
P
当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示,再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点的轨迹方程,称之代入法,也称相关点法、转移法.
例3 如图,从双曲线上一点引直线
的垂线,垂足为,求线段的中点的轨迹方程.
解:设,则.在直线上,
① 又得即.②
联解①②得.又点在双曲线上,,化简整理得:,此即动点的轨迹方程.
四、几何法
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满足的条件,从而得到动点的轨迹方程.
例4 已知点、,过、作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程.
解:由平面几何知识可知,当为直角三角形时,点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点,半径为,方程为. 故的轨迹方程为.
五、参数法
参数法是指先引入一个中间变量(参数),使所求动点的横、纵坐标间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得到间的直接关系式,即得到所求轨迹方程.
例5 过抛物线()的顶点作两条互相垂直的弦、,求弦的中点的轨迹方程.
解:设,直线的斜率为,则直线的斜率为.直线OA的方程为,由解得,即,同理可得.
由中点坐标公式,得,消去,得,此即点的轨迹方程.
六、交轨法
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.
x
A1
A2
O
y
N
M
P
例6 如右图,垂直于轴的直线交双曲线于
、两点,为双曲线的左、右顶点,求直线与
的交点的轨迹方程,并指出轨迹的形状.
解:设及,又,可得
直线的方程为①;直线的方程为②.
①×②得③. 又,代入③得,化简得,此即点的轨迹方程. 当时,点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆;当时,点的轨迹是椭圆.
高考动点轨迹问题专题讲解
(一)选择、填空题
1.( )已知、是定点,,动点满足,则动点的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
2.( )设,,的周长为36,则的顶点的轨迹方程是
(A)() (B)()
(C)() (D)()
3.与圆外切,又与轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;
4.P在以、为焦点的双曲线上运动,则的重心G的轨迹方程是 ;
5.已知圆C:内一点,圆C上一动点Q, AQ的垂直平
分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为 .
6.△ABC的顶点为、,△ABC的内切圆圆心在直线上,则顶
点C的轨迹方程是 ;()
变式:若点为双曲线的右支上一点,、分别是左、右焦点,则△的内切圆圆心的轨迹方程是 ;
推广:若点为椭圆上任一点,、分别是左、右焦点,圆与线段的延长线、线段及轴分别相切,则圆心的轨迹是 ;
7.已知动点到定点的距离比到直线的距离少1,则点的轨迹方程是
.
8.抛物线的一组斜率为的平行弦的中点的轨迹方程是 .
()
9.过抛物线的焦点作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点旋转时,
弦中点的轨迹方程为 .
解法分析:解法1 当直线的斜率存在时,
设PQ所在直线方程为 与抛物线方程联立,
消去得 .
设,,中点为,则有
消得.
当直线的斜率不存在时,易得弦的中点为,也满足所求方程.
故所求轨迹方程为.
解法2 设,,
由 得,设中点为,
当时,有,又,
所以,,即.
当时,易得弦的中点为,也满足所求方程.
故所求轨迹方程为.
10.过定点作直线交抛物线于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________.
(二)解答题
1.一动圆过点,且与圆相内切,求该动圆圆心的轨迹方程.
(定义法)
2.过椭圆的左顶点作任意弦并延长到,使,为椭圆另一顶点,连结交于点,
求动点的轨迹方程.
3.已知、是椭圆的长轴端点,、是椭圆上关于长轴对称的两点,求直线和的交点的轨迹.(交轨法)
4.已知点G是△ABC的重心,,在轴上有一点M,满足
,.
(1)求点C的轨迹方程;(2)若斜率为的直线与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足,试求的取值范围.
解:(1)设,则由重心坐标公式可得.
∵ ,点在轴上,∴ .
∵ ,,∴ ,即 .
故点的轨迹方程为().(直接法)
(2)设直线的方程为(),、,的中点为.
由消,得.
∴ ,即. ①
又,∴,
∴ .
∵ ,∴ ,∴ ,即 ,
∴ ,又由①式可得 ,∴ 且.
∴ 且,解得且.
故的取值范围是且.
5.已知平面上两定点、,为一动点,满足.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(直接法)
(Ⅱ)若A、B是轨迹上的两动点,且.过A、B两点分别作轨迹的切线,设其交点为,证明为定值.
解:(Ⅰ)设.由已知,,,
.
,……………………………………………3分
∵,∴ 整理,得 .
即动点的轨迹为抛物线,其方程为.
6.已知O为坐标原点,点、,动点、、满足(),,,.求点M的轨迹W的方程.
解:∵,,
∴ MN垂直平分AF.
又,∴ 点M在AE上,
∴ ,,
∴ ,
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆,且半长轴,半焦距,
∴ .
∴ 点M的轨迹W的方程为().
7.设,为直角坐标系内轴正方向上的单位向量,若向量,, 且.
(1)求点的轨迹的方程;(定义法)
(2)过点作直线与曲线交于、两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程,若不存在,试说明理由.
解:(1);
(2)因为过轴上的点.若直线是轴,则两点是椭圆的顶点.
,所以与 重合,与四边形是矩形矛盾.
故直线的斜率存在,设方程为,.
由 消得此时>恒成立,且,,
,所以四边形是平行四边形.
若存在直线,使得四边形是矩形,则,即.
,
∴ .
即.
.,得.
故存在直线:,使得四边形是矩形.
8.如图,平面内的定点F到定直线l的距离为2,定点E满足:=2,且于G,点Q是直线上一动点,点M满足:,点P满足:,.
(I)建立适当的直角坐标系,求动点P的轨迹方程;
(II)若经过点E的直线与点P的轨迹交于相异两点A、B,令,
当时,求直线的斜率的取值范围.
解:(1)以的中点为原点,以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设点,
则,,.
∵ ,,∴,.
∵,∴ ,
即所求点的轨迹方程为.
(2)设点
设AF的斜率为,BF的斜率为,直线的方程为
由…………6分
…………7分
…………8分
…………10分
由于 …………11分
解得…………13分
∴直线斜率k的取值范围是
9.如图所示,已知定点,动点在轴上运动,过点作交轴于点,并延长到点,且,.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)直线与动点的轨迹交于、两点,若,且,求直线的斜率的取值范围.
解:(1)设,由得,
,,,
又,∴,即动点的轨迹方程为.
10.已知点,点在轴上,点在轴上,为动点,满足,
.
(1)求点轨迹的方程;
(2)将(1)中轨迹按向量平移后得曲线,设是上任一点,过作圆的两条切线,分别交轴与、两点,求的取值范围.
解:(1)设、、,则、、
.
由题意得 ∴ ∴ ,
故动点的轨迹方程为.
11.如图和两点分别在射线、上移动,且,
为坐标原点,动点满足.
(1)求的值; (2)求点的轨迹的方程,并说明它表示怎样的曲线?
(3)若直线l过点交(2)中曲线于、两点,且,求的方程.
解:(1)由已知得, ∴ .
(2)设P点坐标为(),由得
,
∴ 消去,可得,
又因,∴ P点的轨迹方程为.
它表示以坐标原点为中心,焦点在轴上,且实轴长为2,焦距为4的双曲线的右支.
(3) 设直线l的方程为,将其代入C的方程得
即 ,
易知(否则,直线l的斜率为,它与渐近线平行,不符合题意)
又,
设,则
∵ l与C的两个交点在轴的右侧
,
∴ ,即,又由同理可得 ,
由得 , ∴
由得,
由得,
消去得 解之得: ,满足.
故所求直线l存在,其方程为:或.
12.设A,B分别是直线和上的两个动点,并且,动点P满足.记动点P的轨迹为C.
(I) 求轨迹C的方程;
(II)若点D的坐标为(0,16),M、N是曲线C上的两个动点,且,求实数的取值范围.
解:(I)设,因为A、B分别为直线和上的点,故可设
,.
∵, ∴ ∴
又, ∴.
∴. 即曲线C的方程为.
(II) 设N(s,t),M(x,y),则由,可得(x,y-16)= (s,t-16).
故,.
∵ M、N在曲线C上, ∴
消去s得 .
由题意知,且,解得 .
又 , ∴. 解得 ().
故实数的取值范围是().
13.设双曲线的两个焦点分别为、,离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线、的方程;()
(2)若A、B分别为、上的动点,且,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明是什么曲线.()
提示:,又,,
则,.
又 ,代入距离公式即可.
(3)过点是否存在直线,使与双曲线交于、两点,且,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.(不存在)
14.已知点,直线,设动点P到直线的距离为,已知,且. (1)求动点P的轨迹方程;
15.如图,直线与椭圆()交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB(O为坐标原点).
(1)若,且四边形OAPB为矩形,求的值;()
(2)若,当变化时(),求点P的轨迹方程.(())
16.双曲线C:(,)的离心率为2,其中,,且.(1)求双曲线C的方程;
(2)若双曲线C上存在关于直线:对称的点,求实数的取值范围.
解:(I)依题意有: 解得:
所求双曲线的方程为………………………………………6分
(Ⅱ)当k=0时,显然不存在.………………………………………7分
当k≠0时,设双曲线上两点M、N关于直线l对称.由l⊥MN,直线MN的方程为.则M、N两点的坐标满足方程组
由 消去y得.…………………9分
显然,∴.即. ①
设线段MN中点D()
则∵D()在直线l上,∴.即 ②
把②带入①中得 ,解得或.
∴或.即或,且k≠0.
∴k的取值范围是.…………………14分
17.已知向量=(2,0),==(0,1),动点M到定直线y =1的距离等于d,并且满足·=K(·-d2),其中O为坐标原点,K为参数.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程,并判断曲线类型;
(Ⅱ)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率e满足≤e≤,求实数K的取值范围.
18.过抛物线的焦点作两条弦、,若,,.
(1)求证:直线过定点;(2)记(1)中的定点为,求证为钝角;
(3)分别以、为直径作圆,两圆公共弦的中点为,求的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线.
19.(05年江西)如图,是抛物线上上的一点,动弦、分别交轴于、两点,且.(1)若为定点,证明:直线的斜率为定值;
(2)若为动点,且,求△的重心的轨迹.
思路分析:(1)由直线(或)方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点的坐标,利用斜率公式来证明;(2)用点的坐标将、点的坐标表示出来,进而表示出点坐标,消去即得到
的轨迹方程(参数法).
解:(1)法一:设,直线的斜率为(),
则直线的斜率为,方程为.
∴由,消得,
解得,∴ ,
∴(定值).所以直线的斜率为定值.
法二:设定点,、,
由 得 ,即;同理 .
∵ ,∴ ,即,∴ .
所以,(定值).
第一问的变式:过点作倾斜角互补的直线ME、MF,则直线EF的斜率为定值;根据不同的倾斜角,可得出一组平行弦.
(2)直线ME的方程为
由得同理可得
设重心G(x, y),则有
消去参数得.
20.如图,是边长为2的正方形纸片,沿某动直线为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点都落在边上,记为,折痕与交于点,点满足关系式
.
(1)建立适当的直角坐标系,求点的轨迹方程;
(2)若曲线是由点的轨迹及其关于边对称的曲线组成的,是边上的一点,,过点的直线交曲线于、两点,且,求实数的取值范围.