2020-2021学年高考数学（理）考点：几何概型 20页

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：几何概型 ‎1．几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎2．几何概型概率的计算公式 P(A)＝.‎ ‎3．几何概型试验的两个基本特点 ‎(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.‎ ‎(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．‎ 概念方法微思考 ‎1．古典概型与几何概型有什么区别？‎ 提示　古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．‎ ‎2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？‎ 提示　几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．‎ ‎1．（2019•全国）在中，，在边上随机取点，则的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】在中，，为等腰直角三角形，令，则：；‎ 在边上随机取点，当时，，‎ 在边上随机取点，则的概率为：，‎ 故选．‎ ‎2．（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】法一：如图：设，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 法二：设，，，‎ 则，‎ ‎，‎ 故大半圆面积等于两个较小半圆面积之和，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎3．（2017•新课标Ⅰ）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积，‎ 则对应概率，‎ 故选．‎ ‎4．（2017•江苏）记函数定义域为．在区间，上随机取一个数，则的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，得，‎ 则，，‎ 则在区间，上随机取一个数，则的概率，‎ 故答案为：．‎ ‎1．（2020•德阳模拟）在正方形中，弧是以为直径的半圆，若在正方形中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由对称性可得，阴影部分的面积等于的面积；‎ 而的面积占整个正方形面积的；‎ 故所求概率为：．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•南岗区校级模拟）已知正方形的边长为，以为顶点在内部作射线，射线与正方形的边交于点，则的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】正方形的边长为，以为顶点在内部作射线，射线与正方形的边交于点，‎ 如图所示：‎ 已知，，‎ 所以．‎ 所以：，‎ 所以．‎ 根据阴影的对称性，‎ 故：‎ 故选．‎ ‎3．（2020•宝鸡三模）在区间，上随机地取一个数，则事件“”发生的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，因为，解可得：，‎ 所以事件“”发生的概率为．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•安徽模拟）如图，点的坐标为，点的坐标为．函数，若在矩形内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知，矩形的面积为，‎ 阴影部分的面积为，‎ 由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；‎ 故选．‎ ‎5．（2020•广东四模）如图，正方形的边长为1，分别以，为圆心，1为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示：‎ 阴影部分可拆分为两个小弓形，‎ 则阴影部分面积：‎ 正方形面积：，‎ 所求概率 故选．‎ ‎6．（2020•榆林四模）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，所以以他的名字命名，其作法如下：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．若在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形外部的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，‎ 设，以 为圆心的扇形面积是：，‎ ‎ 的面积是：，‎ 勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，‎ 即，‎ 在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率是：‎ 故选．‎ ‎7．（2020•三模拟）任取满足的一对实数，，下列选项中，事件“”发生的概率最接近的百分数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，表示边长等于2的正方形区域，‎ 而表示半径等于1的单位圆的内部，两个区域的中心重合，‎ 事件“”发生的概率；‎ 对比四个选项，‎ 故选．‎ ‎8．（2020•河南模拟）黄金三角形有两种，一种是顶角为的等腰三角形，另一种是顶角为的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为的黄金三角形组成，如图所示，在黄金三角形中，．根据这些信息，若在正五边形内任取一点，则该点取自正五边形内的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图示：‎ ‎，‎ 在中，过点作，垂足为，设，‎ 由题意知，，‎ 在△中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 在中，得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 正五边形与正五边形的面积分别记作，，‎ 正五边形与正五边形相似，‎ ‎，‎ 若在正五边形内任取一点，‎ 则该点取自正五边形内的概率是，‎ 故选．‎ ‎9．（2020•东湖区校级模拟）圆柱的底面半径为，侧面积是底面积的4倍．是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点，则使的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，设圆柱的高为，圆柱的底面半径为，其底面面积，侧面积，‎ 若侧面积是底面积的4倍，即，则有，‎ 则圆柱的体积，‎ 若，则在以为球心，半径为的球内，其体积，‎ 若在圆柱内任取一点，则使的概率；‎ 故选．‎ ‎10．（2020•桃城区校级模拟）在边长为3，4，5的三角形内部任取一点，则点到三个顶点距离都大于1的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，在中，，，，‎ 点到三个顶点距离小于1的区域面积为三个扇形面积之和，即，‎ 的面积等于6，‎ 则点到三个顶点距离都大于1的概率；‎ 故选．‎ ‎11．（2020•达州模拟）在矩形中，，，是中点，在矩形内（包括边界）随机取一点，事件发生的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】矩形中，，，是中点，在矩形内（包括边界）随机取一点，事件 即：，如图所示：‎ 所以．‎ 故选．‎ ‎12．（2020•南岗区校级四模）5月25日哈市高三学生再次复课，老师们每天早上需要为学生测温，学校考虑老师的身体健康，每天安排食堂为老师们送早餐．高三学年任主任早晨在之间到达办公室为送餐员开门，送餐员在早晨之间到达办公室，则任主任在送餐员之前到达办公室的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设送餐员到达的时间为，任主任到达的时间为，记任主任在送餐员之前到达办公室为事件；‎ 以横坐标表示送餐员到达的时间，以纵坐标表示任主任到达的时间，建立平面直角坐标系，‎ 构成区域如图示：‎ 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．‎ 根据题意，只要点落到阴影部分，就表示任主任在送餐员之前到达办公室，即事件发生，‎ 所以（A），‎ 故选．‎ ‎13．（2020•河南模拟）如图，边长为的正方形，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，点为线段上的点，且，则在旋转的过程中，与线段有交点的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，‎ 设，射线从出发，绕着点顺时针方向旋转至，则，．‎ 连接，，，，可得，‎ 在旋转的过程中，与线段有交点的概率为．‎ 故选．‎ ‎14．（2020•运城模拟）在区间，上随机取一个数，其满足的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得．‎ 故由几何概型得，所求概率为．‎ 故选．‎ ‎15．（2020•葫芦岛二模）已知曲线，曲线与坐标轴围成封闭图形以及函数的部分图象如图所示，若向内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，由对称性可知，两阴影部分的面积和为四分之一圆的面积，‎ 由测度比为面积比，向内任意投掷一点，则该点落入阴影部分的概率为：‎ 故选．‎ ‎16．（2020•四川模拟）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现．如图，，，为正三角形各边中点，作出正三角形的勒洛三角形（阴影部分），若在中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设三角形边长为2，则正三角形边长为1，‎ 以为圆心的扇形面积是 的面积是，‎ 勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，‎ 即图中勒洛三角形面积为，面积为，‎ 所求概率．‎ 故选．‎ ‎17．（2020•三模拟）任取满足的一对实数，，下列选项中，事件“”发生的概率最接近的百分数是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图1，表示边长等于2的正方形区域，‎ 而表示半径等于1的单位圆的外部，两个区域的中心重合，‎ 事件“”发生的概率；‎ 故选．‎ ‎18．（2020•贵阳模拟）若贵阳某路公交车起点站的发车时间为，，，小明同学在至之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】小明在至之间到达发车站乘坐班车，总时长为25分钟，‎ 设小明到达时间为，‎ 当在至，或至时，‎ 小明等车时间不超过5分钟的时长为10分钟，‎ 由几何概型的公式得到故；‎ 故选．‎ ‎19．（2020•河南模拟）甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．（1）求甲等待的时间不多于10分钟的概率；‎ ‎（2）求甲比乙多等待10分钟以上的概率．‎ ‎【解析】（1）电台每隔1小时报时一次，甲在，之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，‎ 他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件，‎ 设事件为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件恰好是打开收音机的时刻位于，时间段内，‎ 因此，由几何概型的概率公式可得，（A）．‎ 甲等待的时间不多于10分钟的概率为；‎ ‎（2）由于甲，乙两人的起床时间是任意的，‎ 所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型，‎ 设甲需要等待的时间为，乙需要等待的时间为分钟为一个长度单位），‎ 则由已知可得，对应的基本事件空间为，‎ 甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为．‎ 在平面直角坐标系中，作出两不等式组表示的平面区域如图：‎ 正方形面积为36，阴影部分的面积为，‎ 甲比乙多等待10分钟以上的概率为．‎ ‎20．（2019•新疆模拟）游乐场推出了一项趣味活动，参加活动者需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为，，奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个；②若，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶，假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．‎ ‎（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）两次记录的数为：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，共16个，‎ 满足，有，，，，，共5个，‎ 小亮获得玩具的概率为；‎ ‎（Ⅱ）满足，‎ ‎，，，‎ ‎，，共6个，‎ 小亮获得水杯的概率为；‎ 小亮获得饮料的概率为，‎ 小亮获得水杯大于获得饮料的概率．‎