2020年高考物理 备考冲刺之易错点点睛系列 专题04 曲线运动和万有引力定律（教师版） 33页

曲线运动和万有引力定律 ‎ 近几年来，曲线运动已成为高考的热点内容之一，有时为选择题，有时以计算题形式出现，重点考查的内容有：平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角度、线速度、向心加速度，做圆周运动的物体的受力与运动的关系，同时，还可以与带电粒子的电磁场的运动等知识进行综合考查；重点考查的方法有运动的合成与分解，竖直平面内的圆周运动应掌握最高点和最低点的处理方法．万有引力定律是力学中一个重要独立的基本定律，运动的合成与分解是研究复杂运动的基本方法，复习本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解；加深对牛顿第二定律的理解，提高解题实际的能力。‎ ‎【知识导学】‎ 一、曲线运动 ‎1．物体做曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动．‎ ‎2．曲线运动的轨迹：当做曲线运动的物体所受合外力为恒力时，其运动为匀变速曲线运动，运动轨迹为抛物线，如平抛运动、斜抛运动、带电粒子在匀强电场中的曲线运动．曲线运动的轨迹位于速度(轨迹上各点的切线)和合力的夹角之间，且运动轨迹总向合力一侧弯曲．‎ 二、抛体运动 ‎1．平抛运动 ‎(1)平抛运动是匀变速曲线运动(其加速度为重力加速度)，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，运动轨迹为抛物线．‎ ‎(2)物体做平抛运动时，运动时间由竖直高度决定，水平位移由初速度和竖直高度共同决定．‎ ‎(3)物体做平抛运动时，在任意相等时间间隔Δt内速度的改变量Δv大小相等、方向相同(Δv＝Δvy＝gΔt)．‎ ‎(4)平抛运动的两个重要推论 ‎①做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示．‎ 由 ‎②做平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处的瞬时速度与水平方向的夹角θ及位移与水平方向的夹角φ满足：tanθ＝2tanφ.‎ ‎2．类平抛运动 以一定的初速度将物体抛出，如果物体受的合力恒定且与初速度方向垂直，则物体所做的运动为类平抛运动，如以初速度v0垂直电场方向射入匀强电场中的带电粒子的运动．‎ 类平抛运动的性质及解题方法与平抛运动类似，也是用运动的分解法．‎ 三、圆周运动 ‎1．描述圆周运动的物理量 物理量 大小 方向 物理意义 线速度 ‎ ‎ 圆弧上各点的切线方向 描述质点沿圆周运动的快慢 角速度 ‎ ‎ 中学不研究其方向 周期、频率 ‎ ‎ 无方向 向心加速度 ‎ ‎ 时刻指向圆心 描述线速度方向改变的快慢 相互关系 ‎ ‎ 注意：同一转动体上各点的角速度相等，皮带传动轮子边缘各点的线速度大小相等．‎ ‎2．向心力 做圆周运动物体的向心力可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由各力的合力或某力的分力提供．物体做匀速圆周运动时，物体受到的合力全部提供向心力；物体做变速圆周运动时，物体的合力的方向不一定沿半径指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力改变物体速度的大小．‎ ‎3．处理圆周运动的动力学问题的步骤 ‎(1)首先要明确研究对象；‎ ‎(2)对其受力分析，明确向心力的来源；‎ ‎(3)确定其运动轨道所在的平面、圆心的位置以及半径；‎ ‎(4)将牛顿第二定律应用于圆周运动，得到圆周运动中的动力学方程，有以下各种情况：‎ 解题时应根据已知条件合理选择方程形式．‎ 四、万有引力定律 ‎ 内容 宇宙间任意两个有质量的物体间都存在相互吸引力，其大小与两物体的质量乘积 成正比，与它们间距离的二次方成反比，引力的方向在它们的连线上 公式 F＝G　其中引力常量G＝6.67×10－11N·m2/ kg2‎ 适用条件 适用于质点或均匀球体之间，其中r为质点间、球心间或质点与球心间的距离 五、天体运动问题的处理方法 ‎1．在处理天体的运动问题时，通常把天体的运动简化为：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做匀速圆周运动的向心力．‎ ‎2．人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 G＝ma＝m＝mrω2＝mr2，解得：a＝、v＝、ω＝、T＝2π 以上表达式中，M为中心天体的质量，m是绕行天体的质量．由以上关系可以看出， (2)物体在地球表面附近受到的重力近似等于万有引力，mg＝G(R为地球半径)．在地球质量未知的情况下，可应用GM＝gR2转换．‎ 六、宇宙速度 ‎1．第一宇宙速度(环绕速度)：是发射地球卫星的最小速度，也是卫星围绕地球做圆周运动的最大运行速度，大小为7.9 km/s.‎ ‎2．第二宇宙速度(逃逸速度)：是人造卫星挣脱地球束缚而成为一颗太阳的人造小行星的最小发射速度，大小为‎11.2 km/s.‎ ‎3．第三宇宙速度(脱离速度)：是人造卫星挣脱太阳的束缚而成为一颗绕银河系中心运行的小恒星的最小发射速度，大小为‎16.7 km/s.‎ 注意：1.三个宇宙速度的大小都是以地球中心为参考系的．‎ ‎2．以上数据是地球上的宇宙速度，其他星球上都有各自的宇宙速度，计算方法与地球相同．‎ ‎3．人造卫星的理论发射速度在7.9 km/s到11.2 km/s之间．‎ 探究点一　一般曲线运动问题 ‎1．利用运动的合成与分解研究曲线运动的一般思路 ‎(求解)曲线运动的规律(研究)两个直线运动的规律(解得)曲线运动的规律 ‎(1)曲线运动应按照运动的效果进行分解，应深刻挖掘曲线运动的实际效果，明确曲线运动应分解为哪两个方向的直线运动(特殊情况可分解为一个直线运动和一个圆周运动，如斜拉小船等)．‎ ‎(2)运动的合成与分解问题的切入点：等效合成时，要关注两个分运动的时间关系——运动的等时性．‎ ‎2．合运动与分运动的关系 合运动是物体的实际运动，分运动是合运动的两个效果．‎ 等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等 独立性 一个物体同时参与几个分运动，各个运动独立进行而不受其他分运动的影响 等效性 各个分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 例1[2020·四川卷] 某研究性学习小组进行了如下实验：如图1－3－2所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，在R从坐标原点以速度v0＝3‎ ‎ cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R的坐标为(4,6)，此时R的速度大小为________cm/s.R在上升过程中运动轨迹的示意图是图1－3－3中的________．(R视为质点)‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】小圆柱体R水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，位移x＝t＝‎4 cm，竖直方向做匀速直线运动，位移y＝v0t＝‎6 cm，可解得vx＝‎4 cm/s，此时R的合速度v＝＝‎5 cm/s，小圆柱体R所受合力的方向沿x轴方向，根据曲线运动的特点，轨迹应向受力的一侧弯曲，故选项D正确．‎ ‎【点评】 本题中水平方向的分运动为匀加速直线运动，其水平加速度的方向就是圆柱体受到的合力方向，依据曲线运动的轨迹位于速度和合力的夹角之间、且轨迹向合力一侧弯曲即可求解．‎ 探究点二　平抛与类平抛问题 ‎1．平抛运动的处理方法是将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动．‎ ‎(1)水平方向：做匀速直线运动，vx＝v0，x＝v0t.‎ ‎(2)竖直方向：做自由落体运动，vy＝gt，y＝gt2.‎ ‎2．类平抛运动的处理方法也是分解运动，即将其分解为沿初速度v0方向(不一定水平)的匀速运动(vx＝v0，x＝v0t)和沿合力方向(与初速度v0方向垂直)的匀加速运动(vy＝at，y＝ at2)．注意加速度方向不一定竖直向下、大小也不一定等于g.‎ 例2 [2020·广东卷] 如图1－3－5所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是(　　)‎ A．球的速度v等于L B．球从击出到落地所用时间为 C．球从击球点至落地点的位移等于L D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 ‎【答案】AB　【解析】 平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，在竖直方向，由H＝gt2得球的飞行时间为t＝，在水平方向，由L＝vt得v＝＝L，选项A、B正确；球从击出点到落地点的位移应为平抛运动的合位移，即s＝，与质量无关，选项C、D错误．‎ 探究点三　圆周运动及其临界问题 竖直面内圆周运动的两种临界问题的比较 分类 最高点无支撑 最高点有支撑 实例 球与绳连接、水流星、翻滚过山车 球与杆连接、车过拱桥、球过竖直管道、套在圆环上的物体等 图示 ‎ ‎ 在最高点受力 重力、弹力F弹向下或等于零 重力、弹力F弹向下或向上或等于零 恰好过最高点 F弹＝0，v＝‎ ‎(在最高点速度不能为零)‎ F弹＝mg，v＝0‎ ‎(在最高点速度可为零)‎ 例3 如图1－3－7所示，倾角θ＝37°的斜面底端B平滑连接着半径r＝0.40 m的竖直光滑圆轨道．质量m＝0.50 kg的小物块从距地面h＝2.7 m处沿斜面由静止开始下滑，已知物块滑到斜面底端B时的速度大小v＝6.0 m/s，已知小物块通过B点时无能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求：‎ ‎(1)小物块与斜面间的动摩擦因数；‎ ‎(2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小．‎ ‎【答案】(1)0.25　(2)20 N ‎【解析】‎ ‎ (1)物块沿斜面下滑过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑加速度为a，到达斜面底端B时的速度为v，则 mgsinθ－μmgcosθ＝ma v2＝‎2a· 解得μ＝0.25‎ ‎(2)设物块运动到圆轨道的最高点A时的速度为vA，在A点受到圆轨道的压力为FN，由机械能守恒定律得：mv2＝mv＋mg·2r 物块运动到圆轨道的最高点A时，由牛顿第二定律得：‎ FN＋mg＝m 代入数据解得：FN＝20 N 由牛顿第三定律可知，物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小F′N＝FN＝20 N ‎【点评】 处理竖直面内的圆周运动时，首先根据动能定理或机械能守恒定律确定最高点与最低点的速度关系，然后分别在最高点或最低点利用牛顿第二定律建立动力学方程并求解．分析竖直面内的圆周运动要明确在最高点有无支撑，从而确定物体能通过最高点的临界条件．‎ 探究点四　曲线运动的综合问题 曲线运动的综合问题一般以平抛运动、圆周运动情景为载体，综合考查曲线运动的规律、运动的分解与合成、牛顿运动定律、机械能守恒定律和动能定理等物理主干知识．在曲线运动综合问题的解题过程中，应首先进行物体受力分析和运动过程分析，然后确定应用何种规律解题，并且要注意两种不同运动分界点的运动和受力特征．‎ 例4 如图1－3－9所示，用内壁光滑的细管弯成半径为R的圆轨道，固定在竖直平面内，O是圆心，A、B为两个端口，A与圆心O等高，∠AOB＝120°，重力加速度为g.‎ ‎(1)一直径略小于圆管内径的小球从A点正上方h 高处自由下落，并进入圆管运动，小球质量为m，求小球经过圆管最低点时对圆管的压力大小．‎ ‎(2)一直径略小于圆管内径的小球从A点正上方某点向右水平抛出，小球无碰撞地进入圆管运动，求小球水平抛出的初速度．‎ ‎(3)在(2)的情况下，求小球从A点离开后相对于A点上升的最大高度.‎ ‎【答案】(1)mg　(2)　(3)R ‎【解析】 (1)设小球到达最低点时速度大小为v，圆管对小球的支持力为FN，则 mg(h＋R)＝mv2‎ FN－mg＝m 解得FN＝mg 根据牛顿第三定律，小球经过圆管最低点时对圆管的压力F′N＝mg.‎ ‎(2)设小球抛出时距B点的竖直高度为h1，初速度大小为v1，由题意得 R＋Rcos60°＝v1 v1 tan30°＝ 解得h1＝R v1＝ ‎(3)设小球从A点离开后相对于A点上升的最大高度为H，‎ mgH＝mg(h1＋Rsin60°)＋mv 解得H＝R ‎【点评】 本题综合考查了匀变速直线运动、圆周运动、平抛运动等常见物体运动的规律．解答此题的关键是将全过程划分为几段分过程，然后分别对分过程根据相应规律建立方程，最后解方程．‎ 探究点五　同步卫星、近地卫星与极地卫星问题 ‎1．地球轨道同步卫星 ‎(1)同步卫星位于赤道正上方，轨道平面与赤道平面共面；‎ ‎(2)同步卫星的轨道半径一定，距离地球表面的高度一定，约36000 km；‎ ‎(3)同步卫星的运行周期和地球的自转周期相同，T＝24 h，且转动方向相同；‎ ‎(4)所有地球轨道同步卫星的半径、线速度大小、角速度大小及周期都相同．‎ ‎2．近地卫星：当人造地球卫星在近地轨道上运行时，轨道半径近似等于地球的半径R，近地卫星的运行速度即地球的第一宇宙速度．‎ ‎(1)设地球的质量为M，卫星的质量为m，当人造地球卫星在近地轨道上运行时，轨道半径近似等于地球的半径R，万有引力提供近地卫星做圆周运动的向心力，G＝，解得v1＝＝7.9 km/s A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 ‎【答案】BD ‎【解析】 同步卫星绕地球做匀速圆周运动的过程中万有引力提供向心力，设卫星距离地面的高度为h，由G＝m(R＋h)，可以得到h＝－R，故选项A错误；卫星运行受到的向心力由万有引力充当，即F向＝G，选项C错误；第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，由G＝m＝ma，得卫星运行速度v＝、卫星运行的向心加速度a＝，可见当卫星绕行半径r增大时，v与a都要减小，所以B、D选项正确．‎ ‎【点评】解答地球轨道同步卫星问题时，应关注同步卫星的轨道总在地球赤道正上方、运行周期与地球自转周期相同且转动方向相同、轨道半径相同等要点．下面的变式题综合考查地球自转、近地卫星和地球轨道同步卫星的运动问题．‎ 探究点六　天体质量和密度的估算问题 ‎1．已知环绕天体的周期T和半径r，求中心天体的质量、密度 由G＝mr可知：只要知道环绕天体的周期T和半径r，就可求出中心天体的质量M＝.设中心天体的半径为R，则V＝πR3，其密度为ρ＝，联立解得 ρ＝.‎ 若测得中心天体的近表卫星周期T，此时r＝R，则中心天体的平均密度为ρ＝.可见只需要测得中心天体近表卫星的周期，就可以得到中心天体的密度．‎ ‎2．已知星球表面的重力加速度g，求星球质量 在星球表面附近，重力近似等于万有引力，即mg＝G(多用代换)，可求得星球质量M＝，或星球表面的重力加速度g＝.‎ 例6 [2020·福建卷] ‎ ‎“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的(　　)‎ A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 ‎【答案】A　‎ ‎【解析】 由G＝m2R，M＝ρV，V＝πR3，联立解得ρ＝，已知周期T，就可求密度ρ，A正确．‎ ‎【点评】 本题根据月球的近表卫星的周期，可求得月球的密度ρ＝，因月球半径未知，不能确定月球的质量．同理，如果知道中心天体的密度，可求得中心天体的近表卫星周期．‎ 探究点七　航天器的动力学分析与变轨问题 提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力F供＝G，天体做圆周运动需要的向心力是F需＝m.当F供＝F需时，天体在圆轨道上做匀速圆周运动；当F供＞F需时，万有引力充当向心力过余，天体做向心运动；当F供＜F需时，万有引力充当向心力不足，天体做离心运动．运行半径较大的人造卫星的一般发射过程如图1－4－1所示，先将卫星发射到离地面较近的圆轨道Ⅰ上，运行稳定后再启动火箭(或发动机)短暂加速(位置B)，由于速度变大，万有引力充当向心力不足，卫星将沿椭圆轨道Ⅱ做离心运动，当卫星将沿椭圆轨道运动到椭圆轨道的远地点A时，再次启动火箭短暂加速，卫星再次变轨绕圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动．‎ 例7 [2020·江苏卷] 2020‎ 年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图1－4－2所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(　　)‎ A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度 B．在轨道Ⅱ上经过A的动能大于在轨道Ⅰ上经过A的动能 C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 ‎【答案】AC　‎ ‎【解析】卫星在同一轨道上运行时，只有万有引力做功，机械能守恒，势能越大，动能就越小，故卫星离地球越远，速度越小，A正确；由I轨道变到II轨道能量要减小，由于在同一高度，故通过减速(减小动能)达到减小能量的目的，所以B错误；根据开普勒定律，＝c，轨道半长轴越短，周期越小，即R2＜R1，所以T2＜T1，C正确；根据a＝知D错误．‎ 探究点八　双星问题 ‎“双星”是两颗星相距较近，依靠彼此间的万有引力绕着两星之间连线上的某点做圆周运动的天体系统．解答“双星”问题要抓住两个要点，即双星的运动周期相等，向心力大小相等．‎ 例8 两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2，如图1－4－4所示，以下说法正确的是(　　)‎ A．它们的角速度相同 B．线速度与质量成反比 C．向心力与质量成正比 D．轨道半径与质量成正比 ‎【答案】AB　‎ ‎【解析】 双星的角速度相同，向心力为相互的万有引力，大小也相同，即有m1r1ω2＝m2r2ω2，所以r1∶r2＝m2∶m1，所以A对、D错；又v＝ωr，线速度与轨道半径成正比，即与质量成反比，故B对；双星的向心力相等，C错．‎ ‎【点评】 双星共轴转动，角速度相同，分别对两星列出动力学方程，并利用两星轨道半径之和等于两星间的距离，联立方程可求解．本题很容易误认为星球的轨道半径是两星间的距离，或误用轨道半径计算双星间的引力．‎ ‎【易错点点睛】‎ 易错点1 曲线运动的条件与运动的合成 ‎1．如图4—1所示，汽车在一段弯曲水平路面上匀速行驶，关于它受到的水平方向的作用力的示意图，可能正确的是(图中9为地面对其的静摩擦力f为它行驶时所受阻力)．‎ ‎【错误解答】D ‎【错解分析】 对摩擦力的方向和阻力的方向不清楚，对曲线运动的条件不清楚．‎ ‎【正确解答】C 汽车行驶时所受阻力f总与该时刻它的速度方向相反，故D图肯定不对．做曲线运动物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一角度，而且总是指向曲线的“内侧”，A、B两图中F与f的合力方向都不满足这一条件，只有C图中F与f的合力方向指向曲线的：内侧”，所以正确的是C选项．‎ ‎2．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人．假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 ( )‎ ‎【错误解答】B ‎【错解分析】 混淆了渡河问题中时间最短与路程最短的问题．‎ ‎【正确解答】C依据运动的独立原理，合运动与分运动的等时性由船头垂直河岸航行时，渡河历时最短，t =则登陆处距O点的距离为S=v1t= 艇在河中的运动为合运动，用分运动求解．‎ 易错点2 利用万有引力定律分斩卫星或天怖的运动 ‎1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得 ( )‎ A.火星和地球的质量之比 D．火星和太阳的质量之比 C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比 ‎【错误解答】A ‎【错解分析】 对天体的运动情况不清楚，主观臆断．‎ ‎【正确解答】设火星和地球的周期分别为Tl，T2，质量分别为m1，m2，速度分别为v1，v2，则由万有引力定律 对火星有 对地球有 由以上两式可得CD正确.‎ ‎2.某人造卫星运动的轨道可近似看作是以地心为中心的圆，由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从r1慢慢变到r2，用Ek1，Ek2分别表示卫星在这两个轨道上的动能，则 A.r1Ek1>Ek2‎ ‎【错误解答】D ‎【错解分析】 B认为卫星由于阻力作用，能量减小，从而动能减小。‎ ‎【正确解答】B由于阻力作用，卫星的轨道半径减小，由地球对卫星的万有引力提供向心力可得当卫星半径减小后，其速率增大，故动能增大，所以B选项正确。‎ ‎3．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1μm到‎10m的岩 易错点3 平抛运动和圆周运动的应用 ‎1．水平放置的水管，距地面高h=1．8m，管内横截面积S=2．00m2．有水从管口处以不变的速度v=2．0m/s源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不散开．取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力．求水流稳定后在空中有多少立方米的水．‎ ‎【错误解答】从抛物线的角度而出错．‎ ‎【错解分析】 对题中所描述的过程不能灵活应用变通．‎ ‎【正确解答】以t表示水由喷口处到落地所用时间，有h 单位时间内喷出的水量为Q=Sv 空中水的总量应为V=Qt 由以上各式得V=S·v·‎ 代入数值得V=2．4×10-4m3‎ ‎2．如图4—2所示，半径R=0．40m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A．一质量m=0．10kg的小球，以初速度v0=7．0m/s在水平地面上向左做加速度a=3．0m/s2的匀减速直线运动，运动4．0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点．求A、C间的距离． (取重力加速度g=10m/s2)‎ ‎【错误解答】不能求出小球到达圆环最高点B的速度而错。‎ ‎【错解分析】 不能分析小球恰好做圆周运动的条件。‎ ‎【正确解答】匀速速运动过程中，有：‎ ‎ ①‎ 恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：‎ ‎ ②‎ 假设物体能达到圆环的最高点g，由机械能守恒：‎ ‎ ③‎ 联立①③可得 vb=3 m/s 因为vB>vB1，所以小球能通过最高点B.‎ 小球从及点做平抛运动，有：‎ ‎ ④‎ SAC=vB·t ⑤‎ 由④⑤得SAC=1．2m 易错点4 万有引力定律的综合应用 ‎1．在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时 速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体．‎ ‎【错误解答】不清楚着陆器运动过程而出错．‎ ‎【错解分析】 不能将地球上的运动过程类比到火星上．‎ ‎【正确解答】 以g′，表示火星表面附近的重力加速度， M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′，表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有 设V表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有=2g′h，v=由以上各式解得 ‎ ‎2．已知万有引力常量C，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期Tl，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量"的方法：‎ 同步卫星绕地心做圆周运动，由 得 ‎(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．‎ ‎(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果 ‎【错误解答】认为计算方法正确。‎ ‎【错解分析】 忽略了地球半径。‎ ‎【正确解答】 (1)上面结果是错误的，地球的半径只在计算过程中不能忽略．‎ ‎【典型习题导练】‎ 一、选择题 ‎1．船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为 （ ）‎ ‎2． 老山自行车赛场采用的是250米赛道，赛道宽度为7.5米。赛道形如马鞍形，由直线段、过渡曲线段以及圆弧段组成，按2020年国际自盟UCI赛道标准的要求，其直线段倾角为13°，圆弧段倾角为45°，过渡曲线段由13°向45°过渡。假设运动员在赛道上的速率不变，则下列说法中可能正确的是（ ）‎ A．在直线段赛道上自行车运动员处于平衡状态 B．在圆弧段赛道上自行车运动员的加速度不变 C．在直线段赛道上自行车受到沿赛道平面斜向上的摩擦力 D．在圆弧段赛道上的自行车可能不受摩擦力作用 ‎3．‎ ‎ “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ ）‎ A．r、v都将略为减小 B．r、v都将保持不变 C．r将略为减小，v将略为增大 D． r将略为增大，v将略为减小 ‎4.‎1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约‎600 km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×‎106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×‎107 m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是(　　)‎ A.0.6‎小时 B.1.6小时 C.4.0小时 D.24小时 ‎5.如图4-3所示，在一次救灾工作中，一架水平直线飞行的直升机A，用悬索救护困在水中的伤员B，在直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动的同时，悬索将伤员吊起，在某一段时间内，A、B之间的距离以l=H－t2(式中H为直升机A离水面的高度)规律变化，则在这段时间内(　　)‎ A.悬索的拉力等于伤员的重力 B.悬索是竖直的 C.伤员做匀减速直线运动 D.伤员做速度大小增加的曲线运动 ‎6．“神舟”六号、七号飞船相继飞向太空，已知载人飞船在起飞阶段，宇航员的血液处于超重状态，严重时会产生“黑视”（眼前一片漆黑，什么也看不见），为使宇航员适应这种情况，要进行训练。训练时，宇航员的座舱在竖直面内做匀速运动，若半径，座舱的向心加速度，那么此座舱每分钟转过的圈数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．自1957年前苏联第一颗人造卫星上天后，迄今人类向太空发射的航天器已经超过4000枚．它们进入轨道后，有的因失去时效而报废，有的因出现故障而失灵，但都仍旧在太空漫游，形成了大量的太空垃圾．在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张而使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始向地面下落。大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾则会落到地面上，对人类造成危害。太空垃圾下落的原因是 （ ）‎ A．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落 B．太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二运动定律，向心加速度不断增大，由此导致下落 C．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，做圆运动所需的向心力将小于实际的万有引力，过大的万有引力将垃圾拉向了地面 D．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向地面 ‎8.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为(　　)‎ A.0.2 ‎B‎.2　‎　　 C.20　　　 D.200‎ ‎9. “神舟八号”载人飞船发射升空，进人预定轨道绕地球自西向东作匀速圆周运动，运行轨道距地面343Km．绕行过程中，宇航员进行了一系列科学实验，实现了我国宇宙航行的首次太空行走．下列说法正确的是 （ ）‎ A．飞船做圆周运动的圆心与地心重合 B．载人飞船轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度 C．载人飞船绕地球作匀速圆周运动的速度略大于第一宇宙速度7.9km／s D．在返回舱降落伞打开后至着地前宇航员处于失重状态 ‎10．在水平面上有A、B两物体，通过一根跨过滑轮的不可伸长的轻绳相连，现A物体以vA的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时（如图3所示），B物体的运动速度vB为（绳始终有拉力） （ ）‎ A．vAsinα/sinβ B．vAcosα/sinβ C．vAsinα/cosβ D．vAcosα/cosβ 二、非选择题 ‎11．中国计划在2020年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，届时发射一颗运动半径为r的绕月卫星，登月着陆器从绕月卫星出发，沿椭圆轨道降落到月球的表面上，与月球表面经多次碰撞和弹跳才停下来.假设着陆器第一次弹起的最大高度为h，水平速度为v1,第二次着陆时速度为v2.已知月球半径为R，求在月球表面发射人造月球卫星的最小发射速度.‎ ‎12．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率.下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之相对应的轨道的高度差h.‎ 弯道半径r/m ‎660‎ ‎330‎ ‎220‎ ‎165‎ ‎132‎ ‎110‎ 内外轨高度差h/mm ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ ‎(1)根据表中数据，试导出h与r关系的表达式,并求出当r=‎440 m时，h的设计值.‎ ‎(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L=‎‎1.500 m ‎，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率(路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理).‎ ‎(3)随着人们生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需要提高，请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施.‎ ‎13．某同学在物理学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如下：‎ 地球质量，‎ 地球半径R=6400km，月球半径r=1740km，‎ 地球表面重力加速度g0=9.80m/s2，‎ 月球表面重力加速度g′=1.56m/s2，‎ 月球绕地球转动的线速度v=1000m/s，‎ 月球绕地球转动一周时间为T=27.3天，‎ 光速C=2.998×105km/s，‎ ‎1969年8月1日第一次用激光器向位于天顶的月球表面发射出激光光束，经过约t=2.565s接收到从月球表面反射回来的激光信号。‎ 该同学想利用上述数据估算出地球表面与月球表面之间的距离s，请你利用上述条件，帮该同学设计估算方法。不要求算出具体数据，只需要将最终答案用上述条件中的字母表示出来即可，至少提出两种方法。‎ ‎14．一人用一根长‎1m，只能承受46N的绳子，拴着一个质量为‎1kg的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知转轴O离地‎6m，如图6所示，要使小球到达最低点时绳断，求小球到达最低点的最小速率及此条件下小球落地点到O点的水平距离。‎ ‎15．北京时间‎9月27日16时34分，在发射升空43个小时后，神舟七号接到开舱指令，中国航天员开始了中国人第一次舱外活动。中国人的第一次太空行走共进行了19分35秒。期间，翟志刚与飞船一起飞过了9165公里。这意味着，翟志刚成为中国“飞得最高、走得最快”的人。地球半径R取‎6400Km。地球表面重力加速度（g取‎10m/s2）‎ ‎（1）试估算飞船离地面的高度。（结果保留两位有效数字）‎ ‎（2）试估算飞船在轨道上运行时间的向心加速度。（结果保留两位有效数字）‎ ‎16．如图7所示，一光滑斜面与竖直方向成α角，一小球有两种方式释放；第一种方式在A点以速度平抛落至B点；第二种方式是在A点松手后沿斜面自由下滑，求：（1）AB的长度多大？（2）两种方式到B点，平抛的运动时间为 ‎，下滑的时间为，等于多少？（3）两种方式到B点的水平分速度之比和竖直分速度各是多少？‎ 答案及其解析 ‎1．C解析：根据运动的合成与分解的知识，可知要使船垂直达到对岸即要船的合速度指向对岸.根据平行四边行定则，C能.‎ ‎4．B解析:由开普勒行星运动定律可知:=恒量，所以对哈勃望远镜和地球同步卫星有其中r为地球的半径，h1、T1、h2、T2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24 h)，代入数据解得t1=1.6 h，所以本题正确选项为B ‎5．BD解析:直升机A和伤员B以相同的水平速度匀速运动，所以悬索是竖直的，B正确；根据A、B之间的距离的变化规律(l=H－t2)可知伤员在竖直方向向上匀加速运动，所以悬索的拉力应大于伤员的重力，A、C错误；伤员的合运动为类平抛运动，D项正确.‎ ‎6．A解析：座舱的向心加速度，由可得：，则转动周期为，则每分钟转过的圈数为。‎ ‎7．C 解析：在轨道上稳定运行时必须有万有引力恰好提供向心力。当太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小时，它做圆运动所需的向心力就小于实际的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面。‎ ‎8．‎ B解析:本题考查天体运动及万有引力的相关运算.我们知道:月球随地球一起绕太阳公转周期为T1=365天，太阳对月球的万有引力F1提供月球绕太阳公转的向心力，设月球质量为m0，根据牛顿第二定律有F1=m0(2πT1)2R1(①式)；同理，地球对月球的万有引力F2提供10. D 解析：将A和B的速度分别分解为沿着绳的速度vA1和vB1和垂直于绳的速度vA2和vB2，则vA1=vAcosα，vB1=vBcosβ，因为细绳不可伸长，所以沿着绳方向速度大小相等，即vA1=vB1，∴ vB=vAcosα/cosβ．‎ ‎11．解析:以着陆器为研究对象，在其由第一次弹起的最大高度至第二次着陆过程中，据机械能守恒定律有(3分)‎ 以最小发射速度发射的卫星为近月卫星，则由牛顿第二定律有(3分)‎ ‎(2分)‎ 答案:‎ ‎12．解析:(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数C=660×50×10－‎3 m2‎=‎33 m2‎，即因此 h·r=‎‎33 m2‎ 当r=‎440 m时，有 ‎①‎ 根据题意，因为θ很小，所以有 ‎②‎ ‎①②联立代入数据得 v=‎15 m/s=‎54 km/h.‎ ‎(3)有效措施有:①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r.‎ 答案:(1)h·r=33　‎75 mm　‎ ‎(2)‎54 km/h　(3)增大h、r ‎13．解析： 方法1：由运动学公式可知；‎ 方法2：利用月球运动的线速度，周期之间的关系，即来算，可知；‎ 方法三：利用月球的向心力由地球的万有引力提供，‎ 即，‎ 可知。‎ ‎14．在最低点，小球做圆周运动的向心力是拉力和重力的合力，T-mg=mv2/r，‎ 绳子要断开，拉力达到最大值46N，带入数据得v=6m/s。‎ 因为在最低点的速度是水平的，所以断开后，小球做平抛运动，抛出点离地面的高度为，‎ 他做圆周运动的向心力由万有引力提供，‎ 即：‎ 由地球表面物体所受万有引力与重力近似相等，‎ 即：‎ 解两式得：‎ ‎（2）飞船所受万有引力提供飞船做圆周运动的向心加速度，所以有：‎ ‎16．解析：两种方式释放从A到B只有位移相同，设AB长为L ‎（1）水平方向位移 ①‎ 竖直方向位移　　②‎ 由①，代入②得 ‎（2）将L值代入， 1分 下滑物体加速度，，‎ 所以，‎ 则，‎