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  • 2021-05-14 发布

2018版高考文科数学(北师大版)一轮文档讲义:章专题探究课二三角函数问题

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高考导航 从近几年的高考试题看,全国卷交替考查三角函数、解三角形.该部分解答题是高考得分的基本组成部分,不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有:一考查三角函数的图像变换以及单调性、最值等;二考查解三角形问题;三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题,在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具,要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性,注意题目中隐含的各种限制条件,选择合理的解决方法,灵活地实现问题的转化.‎ 热点一 三角函数的图像和性质(规范解答)‎ 注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图像与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图、图像的平移、由图像求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=Asin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.‎ ‎【例1】 (满分13分)(2015·北京卷)已知函数f(x)=sin x-2sin2.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最小值.‎ 满分解答 (1)因为f(x)=sin x+cos x-.2分 ‎=2sin-.4分 所以f(x)的最小正周期为2π.6分 ‎(2)因为0≤x≤,‎ 所以≤x+≤π.8分 当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.11分 所以f(x)在区间上的最小值为f=-.13分 ‎ ‎ ‎❶将f(x)化为asin x+bcos x+c形式得…………2分;‎ ‎❷将f(x)化为Asin(ωx+φ)+h形式得…………2分;‎ ‎❸求出最小正周期得…………2分.‎ ‎❹写出ωx+φ的取值范围得…………2分.‎ ‎❺利用单调性分析最值得…………3分.‎ ‎❻求出最值得…………2分.‎ ‎ 求函数y=Asin(ωx+φ)+B周期与最值的模板 第一步:三角函数式的化简,一般化成y=Asin(ωx+φ)+h或y=Acos(ωx+φ)+h的形式;‎ 第二步:由T=求最小正周期;‎ 第三步:确定f(x)的单调性;‎ 第四步:确定各单调区间端点处的函数值;‎ 第五步:明确规范地表达结论.‎ ‎【训练1】 设函数f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx(ω>0),且y=f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)f(x)=-sin2ωx-sin ωxcos ωx ‎=-·-sin 2ωx ‎=cos 2ωx-sin 2ωx=-sin.‎ 因为y=f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,故该函数的周期T=4×=π.又ω>0,所以=π,因此ω=1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=-sin.设t=2x-,则函数f(x)可转化为y=-sin t.‎ 当π≤x≤时,≤t=2x-≤ ,‎ 如图所示,作出函数y=sin t在 上的图像,‎ 由图像可知,当t∈时,sin t∈,‎ 故-1≤-sin t≤,因此-1≤f(x)=-sin≤.‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-1.‎ 热点二 解三角形 高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.‎ ‎【例2】 (2017·咸阳模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)(x∈R),函数f(x)的图像关于点对称.‎ ‎(1)当x∈时,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若a=7,且sin B+sin C=,求△ABC的面积.‎ 解 (1)∵f(x)=2sin(x-A)cos x+sin(B+C)‎ ‎=2(sin xcos A-cos xsin A)cos x+sin A ‎=2sin xcos Acos x-2cos2xsin A+sin A ‎=sin 2xcos A-cos 2xsin A=sin(2x-A),‎ 又函数f(x)的图像关于点对称,‎ 则f=0,即sin=0,‎ 又A∈(0,π),则A=,‎ 则f(x)=sin.‎ 由于x∈,‎ 则2x-∈,‎ 即-b=,∴a+c∈(,2].‎ 即a+c的取值范围是(,2].‎ 探究提高 向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.‎ ‎【训练3】 已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图像过点和点.‎ ‎(1)求m,n的值;‎ ‎(2)将y=f(x)的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.‎ 解 (1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.‎ 因为y=f(x)的图像过点和,‎ 所以 即解得 ‎(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.‎ 由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.‎ 设y=g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0,2),‎ 由题意知x+1=1,所以x0=0,‎ 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).‎ 将其代入y=g(x)得sin=1,‎ 因为0<φ<π,所以φ=,‎ 因此g(x)=2sin=2cos 2x.‎ 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z.‎ 所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(建议用时:70分钟)‎ ‎1.(2017·南昌调研)函数f(x)=3sin的部分图像如图所示.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值;‎ ‎(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.‎ 解 (1)由题得,f(x)的最小正周期为π,y0=3.‎ 当y0=3时,sin=1,‎ 由题干图像可得2x0+=2π+,‎ 解得x0=.‎ ‎(2)因为x∈,‎ 所以2x+∈.‎ 于是:当2x+=0,即x=-时,f(x)取得最大值0;‎ 当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-3.‎ ‎2.(2017·郑州模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知asin 2B=bsin A.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若cos A=,求sin C的值.‎ 解 (1)在△ABC中,‎ 由=,‎ 可得asin B=bsin A,‎ 又由asin 2B=bsin A,‎ 得2asin Bcos B=bsin A=asin B,‎ 又B∈(0,π),所以sin B≠0,‎ 所以cos B=,‎ 得B=.‎ ‎(2)由cos A=,A∈(0,π),得sin A=,‎ 则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),‎ 所以sin C=sin ‎=sin A+cos A=.‎ ‎3.(2017·西安调研)设函数f(x)=sin+2sin2(ω>0),已知函数f(x)的图像的相邻两对称轴间的距离为π.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c(其中b<c),且f(A)=,△ABC的面积为S=6,a=2,求b,c的值.‎ 解 (1)f(x)=sin ωx+cos ωx+1-cos ωx ‎=sin ωx-cos ωx+1=sin+1.‎ ‎∵函数f(x)的图像的相邻两对称轴间的距离为π,‎ ‎∴函数f(x)的周期为2π.∴ω=1.‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin+1.‎ ‎(2)由f(A)=,得sin=.‎ 又∵A∈(0,π),∴A=.‎ ‎∵S=bcsin A=6,∴bcsin =6,bc=24,‎ 由余弦定理,得a2=(2)2=b2+c2-2bccos =b2+c2-24.‎ ‎∴b2+c2=52,又∵b<c,解得b=4,c=6.‎ ‎4.(2016·济南名校联考)已知函数f(x)=sin ωx+2cos2+1-(ω>0)的周期为π.‎ ‎(1)求f(x)的解析式并求其单调递增区间;‎ ‎(2)将f(x)的图像先向下平移1个单位长度,再向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数h(x)的图像,若h(x)为奇函数,求φ的最小值.‎ 解 (1)f(x)=sin ωx+2cos2+1-=‎ sin ωx+2×+1- ‎=sin ωx+cos ωx+1=2sin(ωx+)+1.‎ 又函数f(x)的周期为π,因此 =π,∴ω=2.‎ 故f(x)=2sin+1.‎ 令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由题意可知h(x)=2sin,‎ 又h(x)为奇函数,则2φ+=kπ,‎ ‎∴φ=-(k∈Z).∵φ>0,∴当k=1时,φ取最小值.‎ ‎5.已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=‎ ‎(2sin B,-),n=(cos 2B,2cos2-1),且m∥n.‎ ‎(1)求锐角B的大小;‎ ‎(2)如果b=2,求S△ABC的最大值.‎ 解 (1)∵m∥n,‎ ‎∴2sin B=-cos 2B,‎ ‎∴sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.‎ 又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),‎ ‎∴2B=,∴B=.‎ ‎(2)∵B=,b=2,‎ 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,‎ 得a2+c2-ac-4=0.‎ 又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,‎ 当且仅当a=c=2时等号成立.‎ 故S△ABC=acsin B=ac≤,‎ 当且仅当a=c=2时等号成立,‎ 即S△ABC的最大值为.‎ ‎6.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,-sin 2x),b=(cos x,1),x∈R.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=-1,a=,且向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,求边长b和c的值.‎ 解 (1)f(x)=2 cos2x-sin 2x=1+cos 2x-sin 2x=1+2cos,‎ 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),‎ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),‎ ‎∴函数y=f(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ ‎(2)∵f(A)=1+2cos=-1,‎ ‎∴cos=-1,又<2A+<,‎ ‎∴2A+=π,即A=.‎ ‎∵a=,∴由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc=7.①‎ ‎∵向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,‎ ‎∴2sin B=3sin C,由正弦定理得2b=3c,②‎ 由①②得b=3,c=2.‎ 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎

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