2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章6-1数列的概念及简单表示法 15页

第1讲　数列的概念及简单表示法 最新考纲　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．‎ 知 识 梳 理 ‎1．数列的概念 ‎(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．‎ ‎(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．‎ ‎(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N＋‎ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M，使|an|≤M 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的两种常用的表示方法 ‎(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应的函数解析式．‎ ‎(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)‎ ‎(2)一个数列中的数是不可以重复的．(　　)‎ ‎(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．(　　)‎ ‎(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．(　　)‎ 解析　(1)数列：1,2,3和数列：3,2,1是不同的数列．‎ ‎(2)数列中的数是可以重复的．‎ ‎(3)不是所有的数列都有通项公式．‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2017·西安调研)已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1‎ 解析　对n＝1,2,3,4进行验证，an＝2sin不合题意，故选C.‎ 答案　C ‎3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)‎ A．15 B．16 C．49 D．64‎ 解析　当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.‎ 答案　A ‎4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N＋，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．‎ 解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，‎ 得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)‎ 因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.‎ 答案　(－3，＋∞)‎ ‎5．(必修5P8A1改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.‎ 答案　5n－4‎ 考点一　由数列的前几项求数列的通项　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，….‎ 解　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．‎ ‎(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝.‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．‎ 规律方法　根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：‎ ‎(1)分式中分子、分母的各自特征；‎ ‎(2)相邻项的联系特征；‎ ‎(3)拆项后的各部分特征；‎ ‎(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．‎ ‎【训练1】 (1)数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)‎ A．an＝(n∈N＋) B．an＝(n∈N＋)‎ C．an＝(n∈N＋) D．an＝(n∈N＋)‎ ‎(2)数列－，，－，，…的一个通项公式an＝________.‎ 解析　(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．‎ ‎(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n.‎ 答案　(1)C　(2)(－1)n 考点二　由Sn与an的关系求an(易错警示)‎ ‎【例2】 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎(2)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.‎ 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列的通项公式为an＝ ‎(2)由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，‎ 两式相减，得an＝an－an－1，‎ ‎∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.‎ 又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，‎ ‎∴an＝(－2)n－1.‎ 答案　(1)　(2)(－2)n－1‎ 规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．‎ 易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．‎ ‎【训练2】 (1)(2017·河南八校一联)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.‎ 解析　(1)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.‎ 显然当n＝1时，不满足上式．‎ ‎∴an＝ 答案　(1)－2n－1　(2) 考点三　由数列的递推关系求通项公式 ‎【例3】 在数列{an}中，‎ ‎(1)若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式an＝________.‎ ‎(2)若a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则通项公式an＝________.‎ ‎(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.‎ 解析　(1)由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.又a1＝2＝＋1，符合上式，因此an＝＋1.‎ ‎(2)法一　因为an＝an－1(n≥2)，所以an－1＝·an－2，…，a2＝a1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得an＝a1···…·＝＝.‎ 法二　因为an＝···…···a1＝···…·1＝.‎ ‎(3)设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.‎ 故an＋1＋3＝2(an＋3)．‎ 令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，‎ 且＝＝2.‎ 所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．‎ ‎∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.‎ 答案　(1)＋1　(2)　(3)2n＋1－3‎ 规律方法　(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项．‎ ‎(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项．‎ ‎(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键．‎ ‎【训练3】 (1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝________.‎ ‎(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.‎ 解析　(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，‎ 得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，‎ ‎∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，‎ ‎∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，‎ 将以上各式累加得 an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，‎ ‎∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．‎ ‎(2)原递推公式可化为an＋1＝an＋－，‎ 则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，‎ a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－ ，逐项相加得，an＝a1＋1－，故an＝4－.‎ 答案　(1)3×2n－1－2　(2)4－ ‎[思想方法]‎ ‎1．由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．‎ ‎2．强调an与Sn的关系：an＝ ‎3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：‎ ‎(1)算出前几项，再归纳、猜想；‎ ‎(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列an＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．‎ ‎2．数列的通项公式不一定唯一.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　)‎ A. B．cos C．cos π D．cos π 解析　令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．‎ 答案　D ‎2．数列，－，，－，…的第10项是(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式an＝(－1)n＋1·，故a10＝－.‎ 答案　C ‎3．(2016·上饶调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝(　　)‎ A．2n－1 B．2n－1＋1‎ C．2n－1 D．2(n－1)‎ 解析　法一　由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2n－1.‎ 法二　由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.‎ 答案　A ‎4．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an等于(　　)‎ A．2n－1 B．n2‎ C. D. 解析　设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，‎ 当n≥2时，an＝＝.‎ 答案　D ‎5．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝(　　)‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ 解析　依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝________.‎ 解析　借助递推关系，则a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.‎ 答案　 ‎7．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________.‎ 解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝ 答案　 ‎8．(2017·北京海淀期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0(n∈N＋)，又anan＋1＝‎ Sn，则a3－a1＝________.‎ 解析　因为anan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，即a2＝1，令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.‎ 答案　1‎ 三、解答题 ‎9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ 解　(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．‎ ‎∴从第7项起各项都是正数．‎ ‎10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，‎ 解得a2＝3a1＝3.‎ 由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，‎ 解得a3＝(a1＋a2)＝6.‎ ‎(2)由题设知a1＝1.‎ 当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，‎ 整理得an＝an－1.‎ 于是 a1＝1，‎ a2＝a1，‎ a3＝a2，‎ ‎……‎ an－1＝an－2，‎ an＝an－1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘，‎ 整理得an＝.‎ 显然，当n＝1时也满足上式．‎ 综上可知，{an}的通项公式an＝.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)‎ A. B. C．4 D．0‎ 解析　∵an＝－32＋，由二次函数性质，得当n＝2或3时，an最大，最大为0.‎ 答案　D ‎12．(2017·石家庄质检)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝3，则a2 016的值为________．‎ 解析　由题意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴数列{an}是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336，∴a2 016＝a6＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎13．(2017·太原模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，则an＝________.‎ 解析　由an－an＋1＝nanan＋1得－＝n，则由累加法得－＝1＋2＋…＋(n－1)＝，又因为a1＝1，所以＝＋1＝，所以an＝.‎ 答案　 ‎14．(2016·榆林模拟)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N＋，a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ 解　(1)∵an＝1＋(n∈N＋，a∈R，且a≠0)，‎ 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N＋)．‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N＋)．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，‎ 已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知5<<6，即－10