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- 2021-05-14 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至2页,第卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题
(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
(2)已知=2+i,则复数z=()
(A)-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
(3) 不等式<1的解集为( )
(A){x (B)
(C) (D)
(4)设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2 +1相切,则该双曲线的离心率等于()
(A) (B)2 (C) (D)
(5) 甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
(A)150种 (B)180种 (C)300种 (D)345种
(6)设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
(7)已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
(8)如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为(A) (B) (C) (D)
(9) 已知直线y=x+1与曲线相切,则α的值为( )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
(10)已知二面角为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )
(A) (B)2 (C) (D)4
(11)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数
12.已知椭圆的右焦点为,右准线为,点,线段交于点
,若,则=( )
(A). (B). 2 (C). (D). 3
第II卷
二、填空题:
13. 的展开式中,的系数与的系数之和等于 。
14. 设等差数列的前项和为,若,则= 。
15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若, ,则此球的表面积等于 。
16. 若,则函数的最大值为 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)
在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b
18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点M在侧棱上,=60°
(I)证明:M在侧棱的中点
(II)求二面角的大小。
19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲、乙各胜1局。
(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(II)设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求得分布列及数学期望。
20.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
在数列中,
(I)设,求数列的通项公式
(II)求数列的前项和
21(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,已知抛物线与圆相交于、、、四个点。
(I)求得取值范围;
(II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标
22. 本小题满分12分。(注意:在试题卷上作答无效)
设函数在两个极值点,且
(I)求满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点的区域;
(II)证明:
答案详解
一、选择题
1:A解:,故选A。也可用摩根律:
2:B解: 故选B。
3:D解:验x=-1即可。
4:C解:设切点,则切线的斜率为.由题意有又
解得: .
5:D解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法
(2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D
6:D解: 是单位向量
故选D.
7:D解:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理,易知.故选D
8:A解: 函数的图像关于点中心对称
由此易得.故选A
9:B解:设切点,则,又
.故答案选B
10:C解:如图分别作
,连
,
又
当且仅当,即重合时取最小值。故答案选C。
11:D解: 与都是奇函数,
,
函数关于点,及点对称,函数是周期的周期函数.,,即是奇函数。故选D
12:A解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N,易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A
二、填空题:
13:解:
14:解: 是等差数列,由,得
.
15:解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,故此球的表面积为.
16:解:令,
三、解答题:
17:
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1),左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得.
解法二:
由余弦定理得:
.
又 ,。
所以 …………………………………①
又 ,
,
即
由正弦定理得,
故 ………………………②
由①,②解得。
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。www.ks5u.com
18:解法一:
(I)
作∥交于点E,则∥,平面SAD
连接AE,则四边形ABME为直角梯形
作,垂足为F,则AFME为矩形
设,则,
由
解得
即,从而
所以为侧棱的中点
(Ⅱ),又,所以为等边三角形,
又由(Ⅰ)知M为SC中点
,故
取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则,由此知为二面角的平面角
连接,在中,
所以
二面角的大小为
解法二:
以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D-xyz
设,则
(Ⅰ)设,则
又
故
即
解得,即
所以M为侧棱SC的中点
(II)
由,得AM的中点
又
所以
因此等于二面角的平面角
所以二面角的大小为
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。
19:分析:本题较常规,比08年的概率统计题要容易。
需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很可惜的,主要原因在于没读懂题。
另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。
解:记表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5
表示事件:第j局乙获胜,j=3,4
(Ⅰ)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而
由于各局比赛结果相互独立,故
=
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648
(II)的可能取值为2,3
由于各局比赛结果相互独立,所以
=
=
=0.6×0.6+0.4×0.4
=0.52
=1.0.52=0.48
的分布列为
2
3
P
0.52
0.48
=2×0.52+3×0.48
=2.48
20:解:(I)由已知得,且
即
从而
……
于是
=
又
故所求的通项公式
(II)由(I)知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型,
易得 =
评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
21:分析:(I)这一问学生易下手。
将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得
.............(*)
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.
由此得
解得
又
所以
考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以.
(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。
设与的四个交点的坐标分别为:
、、、。
则直线的方程分别为
解得点P的坐标为
设,由及(I)知
由于四边形为等腰梯形,因而其面积
则
将代入上式,并令,得
求导数
令,解得(舍去)
当时,;时,;时,
故当且仅当时,有最大值,即四边形的面积最大,故所求的点P的坐标为
22:解
(I)
依题意知,方程有两个根,等价于
由此得b、c满足的约束条件为
满足这些条件的点的区域为图中阴影部分,
(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标中的,(如果消会较繁琐)再利用的范围,并借助(I)中的约束条件得进而求解,有较强的技巧性。
解:由题设知,故
于是
由于,而由(Ⅰ)知,故
又由(Ⅰ)知
所以