湖北高考理科数学试题解析版 12页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（理科）‎ 一、选择题：本次题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设,,则 A.　　　　B. C. D.‎ 解：，，选C ‎2. 若非空集合满足，且不是的子集，则 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件 解：,但是, 所以B正确。‎ 另外画出韦恩图，也能判断B选项正确 ‎3. 用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 A. B. C. D. ‎ 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，故B为正确答案． ‎ ‎4. 函数的定义域为 A. B. ‎ C. 　　　　　 　　 D. ‎ 解：函数的定义域必须满足条件：‎ ‎5. 将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是 A. B. C. D. ‎ 解： 平移得到图象的解析式为,‎ 对称轴方程，‎ 把带入得，令，‎ ‎6. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. ‎300 C. 180 D. 150‎ 解：将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，‎ 所以共有 种方案，故Ｄ正确．‎ ‎7. 若上是减函数，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：由题意可知，在上恒成立，‎ 即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．‎ ‎8 .已知,，若,则 A． B． C． D．‎ 解：‎ 另外易知由洛必达法则，所以 ‎9. 过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有 A. 16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 解：圆的标准方程是：，圆心，半径 过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）‎ 还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。‎ ‎10. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①; ②; ③; ④＜.‎ 其中正确式子的序号是 A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④‎ 解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎11.设(其中表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是，则z2的虚部为 .‎ 解：设，由复数相等 ‎12．在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为 .‎ 解：由余弦定理，原式 ‎13.已知函数,,其中,为常数，则方程 的解集为 .‎ 解：由题意知所以 ‎，所以解集为。‎ ‎14.已知函数,等差数列的公差为.若,则 ‎ .‎ 解：依题意，所以 ‎15.观察下列等式：‎ ‎……………………………………‎ 可以推测，当≥2（）时， .‎ 解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，‎ 第四项均为零，所以。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；‎ ‎（Ⅱ）求函数的值域.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ 　‎ ‎（Ⅱ）由得 在上为减函数，在上为增函数，‎ 又（当），‎ 即 故g(x)的值域为 ‎17.（本小题满分12分）‎ 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎（Ⅱ）由，得a2×2.75＝11，即又所以 当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中，平面侧面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角 的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.‎ 解：（Ⅰ）证明：如右图，过点在平面内作于，‎ 则由平面侧面,且平面侧面，‎ 得平面. 又平面,所以.‎ 因为三棱柱是直三棱柱,‎ 则底面，所以.‎ 又，从而侧面，又侧面，‎ 故.‎ ‎（Ⅱ）解法1：连接，则由(Ⅰ)知就是直线与平面所成的角，‎ 就是二面角的平面角，即，.‎ 于是在中，, 在，‎ 由，得又所以 解法2：由(Ⅰ)知，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，，‎ 则 ，，‎ 于是 设平面的一个法向量为则 由得 可取于是与的夹角为锐角，则与互为余角.‎ 所以 于是由，得 ‎ 即又所以 ‎19.（本小题满分13分）‎ 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，‎ ‎，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）解法1：以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，‎ 则，，依题意得 ‎∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.‎ 设实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，‎ 则，，∴曲线的方程为.‎ 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得.‎ ‎∴曲线是以原点为中心，为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为＞0，b＞0）.‎ 则由 解得, ∴曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线C的方程并整理得 ‎.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎ ②‎ 设，则由①式得，,于是 而原点O到直线l的距离，‎ ‎∴‎ 若面积不小于2,即，则有 ‎ ③‎ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 ‎ 解法2：依题意，可设直线l的方程为，代入双曲线的方程并整理，得 ‎ ‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点 ‎∴.‎ ‎. ②‎ 设则由①式得 ‎ ③‎ 当E、F在同一支上时（如上左图所示），‎ 当E、F在不同支上时（如上右图所示）.‎ 综上得于是 由及③式，得 若△OEF面积不小于2‎ ‎ 　④‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为 ‎20.(本小题满分12分)‎ 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为 ‎（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？‎ ‎（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.‎ 解：（Ⅰ）①当时，，化简得,‎ 解得，或，又，故.‎ ‎②当时，，化简得,‎ 解得，又,故.‎ 综合得,或；‎ 故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：的最大值只能在（4，10）内达到.‎ 由 ‎ 令，解得(舍去).‎ 当变化时，与的变化情况如下表：‎ ‎(4,8)‎ ‎8‎ ‎(8,10)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 由上表，在t＝8时取得最大值(亿立方米).‎ 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米 ‎21.(本小题满分14分)‎ 已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.‎ ‎（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有,即 ‎ 矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎(Ⅱ) 解：因为 又 所以 当，，此时不是等比数列；‎ 当时，，由上可知，∴(n∈N+).‎ 故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当，，，不满足题目要求；.‎ ‎∴，故知，于是可得 要使对任意正整数n成立， 即 ‎ 得 ①‎ 令，则 当n为正奇数时，，当n为正偶数时；‎ 的最大值为，的最小值为,‎ 于是，由①式得，(必须即)‎ 当时，由，不存在实数满足题目要求；‎ 当存在实数，使得对任意正整数,都有,且的取值范围是