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- 2021-05-14 发布
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1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
【知识拓展】
等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )
1.(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1=________.
答案
解析 由
得 解得a1=.
2.(教材改编)已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,则这五个数的积为________.
答案 -
解析 设第三个数为a,公差为d,则这五个数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,
由已知条件得
解得
所求5个数分别为-,,1,,或,,1,,-.
故它们的积为-.
3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=________.
答案 98
解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,
∴a100=a10+90d=98.
4.设数列{an}是等差数列,若a3+a4+a5=12,则a1+a2+…+a7=________.
答案 28
解析 ∵a3+a4+a5=3a4=12,∴a4=4,
∴a1+a2+…+a7=7a4=28.
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大.
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2016·北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.
(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则的值为________.
答案 (1)6 (2)
解析 (1)∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0.
又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2.
∴S6=6×6+×(-2)=6.
(2)设等差数列{an}的首项为a1,则由=3得=3,所以d=4a1,所以===.
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2016·江苏)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是______.
答案 20
解析 设等差数列{an}的公差为d,
则由题设可得
解得 从而a9=a1+8d=20.
题型二 等差数列的判定与证明
例2 已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
(1)证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=(n∈N*),
所以bn+1-bn=-
=-=-=1.
又b1==-.
所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知bn=n-,
则an=1+=1+.
设f(x)=1+,
则f(x)在区间(-∞,)和(,+∞)上为减函数.
所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.
引申探究
例2中,若条件变为a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
解 由已知可得=+1,
即-=1,又a1=,
∴是以=为首项,1为公差的等差数列,
∴=+(n-1)·1=n-,
∴an=n2-n.
思维升华 等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
(1)在数列{an}中,若a1=1,a2=,=+(n∈N*),则该数列的通项为________.
(2)已知等差数列{an}中,a4+a6=10,若前5项的和S5=5,则其公差为________.
答案 (1)an= (2)2
解析 (1)由已知式=+可得
-=-,知{}是首项为=1,公差为-=2-1=1的等差数列,所以=n,即an=.
(2)因为a4+a6=10,所以2a5=10,
则a5=5,又S5==5a3=5,
故a3=1,从而2d=a5-a3=4,故d=2.
(3)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.
①设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;
②求{an}的通项公式.
①证明 由an+2=2an+1-an+2,
得an+2-an+1=an+1-an+2,
即bn+1=bn+2.
又b1=a2-a1=1,
所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
②解 由①得bn=1+2(n-1)=2n-1,
即an+1-an=2n-1.
于是(ak+1-ak)=(2k-1),
所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.
又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)(2015·广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=________.
(2)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=________.
答案 (1)10 (2)21
解析 (1)因为{an}是等差数列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10.
(2)因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=________.
(2)在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 018的值为_____.
答案 (1)114 (2)-2 018
解析 (1)因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.
又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),
即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.
(2)由题意知,数列{}为等差数列,其公差为1,
∴=+(2 018-1)×1
=-2 018+2 017=-1.
∴S2 018=-2 018.
思维升华 等差数列的性质
(1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an.
(1)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=________.
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则=________.
答案 (1)88 (2)
解析 (1)S11==
==88.
(2)====
==.
6.等差数列的前n项和及其最值
考点分析 公差不为0的等差数列,求其前n项和与最值在高考中时常出现,题型有小题,也有大题,难度不大.
典例1 (1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前10项的和S10=________。
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
解析 (1)由题意得a3+a8=9,
所以S10====45.
(2)方法一 设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则解得
所以S110=110a1+d=-110.
方法二 因为S100-S10==-90,
所以a11+a100=-2,
所以S110=
==-110.
答案 (1)45 (2)-110
典例2 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
规范解答
解 ∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+d=15×20+d,
∴d=-.
方法一 由an=20+(n-1)×=-n+,
得a13=0.
即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
∴当n=12或n=13时,Sn取得最大值,
且最大值为S12=S13=12×20+×
=130.
方法二 Sn=20n+·
=-n2+n
=-2+.
∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
方法三 由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
1.(教材改编)在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
答案 13
解析 ∵{an}是等差数列,设公差为d,∴3d=a5-a2=6.则a6=a3+3d=7+6=13.
2.(教材改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7=________.
答案 49
解析 由等差数列的性质得S7===49.
3.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8=________.
答案 3
解析 设{bn}的公差为d,
∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2.
∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6.
∴b1+b2+…+b7=7b1+d
=7×(-6)+21×2=0.
又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0,
∴a8=3.
4.在等差数列{an}中,a9=a12+6,则数列{an}的前11项和S11=________.
答案 132
解析 方法一 由a1+8d=(a1+11d)+6,
得a1+5d=12,∴a1=12-5d.
又S11=11a1+d=11a1+55d
=11(12-5d)+55d=132.
方法二 由a9=a12+6,得2a9-a12=12.
由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,S11===132.
5.已知数列{an}满足an+1=an-,且a1=5,设{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的序号n的值为________.
答案 7或8
解析 由题意可知数列{an}是首项为5,公差为-的等差数列,所以an=5-(n-1)=,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以Sn取得最大值时,n=7或n=8.
6.(2016·南通模拟)已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为________.
答案 10
解析 由Sn-Sn-3=51,得an-2+an-1+an=51,
所以an-1=17,又a2=3,
Sn==100,解得n=10.
7.(2015·安徽)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
答案 27
解析 由题意知数列{an}是以1为首项,以为公差的等差数列,∴S9=9×1+×=9+18=27.
8.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10=________.
答案
解析 由已知得=+(10-1)×=1+3=4,
故a10=.
9.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
答案 130
解析 由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴当n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.
10.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为________.
答案
解析 ∵{an},{bn}为等差数列,
∴+=+==.
∵====,
∴+=.
11.(2016·苏州暑假测试) 已知数列{an}满足a1=1,a2=,且an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2),则a2 016=________.
答案
解析 由an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n≥2)得+=(n≥2),又a1=1,a2=,所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.所以=n,即an=,所以a2 016=.
12.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,
又==2,
故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=
=-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故an=
*13.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n=1时,有2a1=a+1-4,
即a-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=a+n-5,
又2Sn=a+n-4,
两式相减得2an=a-a+1,
即a-2an+1=a,也即(an-1)2=a,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1.
而a1=3,
所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1,
因此数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)知a1=3,d=1,
所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,
即an=n+2.
14.(2016·苏北四市摸底)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2+k(n∈N*,k∈R),且a1=2,a3+
a5=-4.
(1)若k=0,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a4=-1,求数列{an}的通项公式.
解 (1) 当k=0时,2an+1=an+an+2,即an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}是等差数列.
设数列{an}的公差为d,
则 解得
所以Sn=na1+d
=2n+×(-)=-n2+n.
(2)由题意得2a4=a3+a5+k,即-2=-4+k,所以k=2.
当n=1时,2a2=a1+a3+2,
当n=2时,2a3=a2+a4+2,
所以a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6=-1,所以a2=3,
由2an+1=an+an+2+2,得(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2,所以数列{an+1-an}是以a2-a1=1为首项,-2为公差的等差数列,所以an+1-an=-2n+3.
当n≥2时,有an-an-1=-2(n-1)+3,
于是an-1-an-2=-2(n-2)+3,
an-2-an-3=-2(n-3)+3,
…
a3-a2=-2×2+3,
a2-a1=-2×1+3,
叠加得,an-a1=-2[1+2+…+(n-1)]+3(n-1)(n≥2),
所以an=-2×+3(n-1)+2=-n2+4n-1(n≥2).
又当n=1时,a1=2也适合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=-n2+4n-1,n∈N*.