全国高考数学卷安徽理含答案 11页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数 学（理科）‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（ ） ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若为实数，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．若，则的元素个数为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎6．函数的图象为，‎ ‎①图象关于直线对称；‎ ‎②函数在区间内是增函数；‎ ‎③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．‎ 以上三个论断中，正确论断的个数是（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎7．如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（ ）‎ A y B O x A． B． C． D．‎ ‎9．如图，和分别是双曲线 的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）‎ 第9题图 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎10．以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C．3 D．5‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数 学（理科）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共95分）‎ 注意事项：‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎12．若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．‎ y x O ‎13．在四面体中，为的中点，为的中点，则 （用表示）．‎ ‎14．如图，抛物线与轴的正半轴交于点，‎ 将线段的等分点从左至右依次记为，‎ 过这些分点分别作轴的垂线，与抛物线的交点依次为 ‎，从而得到个直角三角形 ‎．当时，这些三角形 第14题图 的面积之和的极限为 ．‎ ‎15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）．‎ ‎①矩形；‎ ‎②不是矩形的平行四边形；‎ ‎③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；‎ ‎④每个面都是等边三角形的四面体；‎ ‎⑤每个面都是直角三角形的四面体．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知为的最小正周期，，且．求的值．‎ A B C D ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在六面体中，四边形是边长为 ‎2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面 ‎，平面，．‎ ‎（Ⅰ）求证：与共面，与共面．‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 设，．‎ ‎（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，恒有．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ x y B A O a Ｃ D 如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．‎ ‎（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标 的关系式 ‎（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，‎ 求证：直线的斜率为定值．‎ 第19题图 ‎20．（本小题满分13分）‎ 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2‎ 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．‎ ‎（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求数学期望；‎ ‎（Ⅲ）求概率．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．‎ ‎（Ⅰ）写出与的递推关系式；‎ ‎（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分．‎ ‎1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｂ 5．Ｃ ‎ ‎6．Ｃ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｄ 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．‎ ‎12．7 13．‎ ‎14． 15．①③④⑤ ‎ 三、解答题 ‎16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分．‎ 解：因为为的最小正周期，故．‎ 因，又．‎ 故．‎ 由于，所以 ‎．‎ ‎17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．‎ 解法1（向量法）：‎ 以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，‎ 则有．‎ A B C D ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎．‎ ‎．‎ 与平行，与平行，‎ 于是与共面，与共面．‎ ‎（Ⅱ）证明：，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 与是平面内的两条相交直线．‎ 平面．‎ 又平面过．‎ 平面平面．‎ ‎（Ⅲ）解：．‎ 设为平面的法向量，‎ ‎，．‎ 于是，取，则，．‎ 设为平面的法向量，‎ ‎，．‎ 于是，取，则，．‎ ‎．‎ 二面角的大小为．‎ 解法2（综合法）：‎ ‎（Ⅰ）证明：平面，平面．‎ ‎，，平面平面．‎ A B C D 于是，．‎ 设分别为的中点，连结，‎ 有．‎ ‎，‎ 于是．‎ 由，得，‎ 故，与共面．‎ 过点作平面于点，‎ 则，连结，‎ 于是，，．‎ ‎，．‎ ‎，．‎ 所以点在上，故与共面．‎ ‎（Ⅱ）证明：平面，，‎ 又（正方形的对角线互相垂直），‎ 与是平面内的两条相交直线，‎ 平面．‎ 又平面过，平面平面．‎ ‎（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，‎ 根据三垂线定理，有．‎ 过点在平面内作于，连结，‎ 则平面，‎ 于是，‎ 所以，是二面角的一个平面角．‎ 根据勾股定理，有．‎ ‎，有，，，．‎ ‎，，‎ 二面角的大小为．‎ ‎18．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．‎ ‎（Ⅰ）解：根据求导法则有，‎ 故，‎ 于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由知，的极小值．‎ 于是由上表知，对一切，恒有．‎ 从而当时，恒有，故在内单调增加．‎ 所以当时，，即．‎ 故当时，恒有．‎ ‎19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．‎ x y B A O a Ｃ D 解：（Ⅰ）由题意知，．‎ 因为，所以．‎ 由于，故有．　（1）‎ 由点的坐标知，‎ 直线的方程为．‎ 又因点在直线上，故有，‎ 将（1）代入上式，得，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ‎．‎ 所以直线的斜率为定值．‎ ‎20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分．‎ 解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）数学期望为．‎ ‎（Ⅲ）所求的概率为．‎ ‎21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．‎ 解：（Ⅰ）我们有．‎ ‎（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得 ‎ ， ①‎ 在①式两端同乘，得 ‎ ②‎ ‎②①，得 ‎ ．‎ 即．‎ 如果记，，‎ 则．‎ 其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．‎