2019高考数学一轮复习计数原理和概率时正态分布练习理 10页

第10课时 正态分布 ‎1．下列函数是正态密度函数的是(μ、σ(σ＞0)都是实数)(　　)‎ A．f(x)＝e　　 B．f(x)＝e－ C．f(x)＝e－ D．f(x)＝－e 答案　B 解析　A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在x轴下方，所以选B.‎ ‎2．(2018·甘肃河西五市联考)设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>2)＝p，即P(－2<ξ<0)＝(　　)‎ A.＋p B．1－p C.－p D．1－2p 答案　C 解析　由对称性知P(ξ≤－2)＝p，所以P(－2<ξ<0)＝＝－p.‎ ‎3．(2017·广东佛山一模)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝(　　)‎ A．0.158 8 B．0.158 7‎ C．0.158 6 D．0.158 5‎ 答案　B 解析　由正态曲线性质知，其图像关于直线x＝3对称，‎ ‎∴P(ξ>4)＝＝0.5－×0.682 6＝0.158 7，故选B.‎ ‎4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(　　)‎ A．0.954 B．0.977‎ C．0.488 D．0.477‎ 答案　A 解析　P(－2≤ξ≤2)＝1－2P(ξ>2)＝0.954.‎ ‎5．(2017·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是(　　)‎ A．683 B．841‎ C．341 D．667‎ 答案　A 解析　∵P(58.50)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则落在(0，80)内的概率为(　　)‎ A．0.05 B．0.1‎ C．0.15 D．0.2‎ 答案　B 解析　∵ξ服从正态分布N(100，σ2)，∴曲线的对称轴是直线μ＝100，∵ξ在(80，120)内取值的概率为0.8，ξ在(0，100)内取值的概率为0.5，‎ ‎∴ξ在(0，80)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.故选B.‎ ‎7．(2017·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为(　　)‎ A．0.3% B．0.23%‎ C．1.5% D．0.15%‎ 答案　D 解析　依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92，140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为＝0.15%.故选D.‎ ‎8．(2018·云南大理统测)2016年1月某高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N(100，σ2)(试卷满分150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为(　　)‎ A．80 B．100‎ C．120 D．200‎ 答案　D 解析　正态曲线的对称轴为X＝100，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为1 600×(1－)×＝200.‎ ‎9．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，则P(04)＝(　　)‎ A．0.4 B．0.2‎ C．0.1 D．0.05‎ 答案　C 解析　由于直线x＝2是正态分布密度曲线的对称轴，因此P(X<0)＝P(X>4)＝(1－0.8)＝0.1，故选C.‎ ‎3．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N(75，121)(单位：分)，考生共有1 000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为(参考数据P(μ－σ4)＝0.3.‎ 方法一：所以P(3<ξ<4)＝P(2<ξ<4)＝(1－2×0.3)＝0.2.故选A.‎ 方法二：所以P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ>4)＝0.5－0.3＝0.2.故选A.‎ ‎8．(2018·云南高三统考)某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，σ2)．若分数在(70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为________．‎ 答案　150‎ 解析　记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称．因为P(70<ξ≤110)＝0.7，所以P(ξ≤70)＝P(ξ>110)＝×(1－0.7)＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝150.‎ ‎9．(2017·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．‎ 答案　180‎ 思路　首先根据题意确定正态分布的对称轴，利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率，利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量．‎ 解析　由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴．又因为P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35.而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ>9)＝0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．‎ ‎10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为.‎ ‎(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；‎ ‎(2)求正态总体在(－4，4]内的概率．‎ 答案　(1)φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)‎ ‎(2)0.682 6‎ 解析　(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图像关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．‎ ‎(2)P(－4＜ξ≤4)＝P(0－4＜ξ≤0＋4)＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6.‎ ‎11．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.‎ ‎(1)求概率密度函数；‎ ‎(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？‎ 答案　(1)φμ，σ(x)＝e－ ‎(2)68.26%‎ 解析　(1)由于正态曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．‎ 因此得μ＝80，＝，所以σ＝8.‎ 故密度函数解析式是φμ，σ(x)＝e－.‎ ‎(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.‎ 所以零件尺寸ξ位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.‎ 因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.‎ ‎12．某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．‎ ‎(1)经统计，消费额X服从正态分布N(150，625)，某天有1 000位顾客，请估计消费额X(单位：元)在区间(100，150]内并中奖的人数；‎ ‎(2)某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；‎ ‎(3)某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．‎ 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ