2014年版高考数学理二轮分类练习题目6 5页

备战 2014 数学分类突破赢高考 6 1．已知△ABC 为锐角三角形，向量 m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且 m⊥n. (1)求 A 的大小； (2)当 AB  ＝pm， AC  ＝qn(p>0，q>0)，且满足 p＋q＝6 时，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0. ∴3cos2A－1＋cos2A＝0， ∴cos2A＝1 4 . 又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A＝1 2 ， ∴A＝π 3 . (2)由(1)可得 m＝ 3 4 ， 3 2 ，n＝ 1，－ 3 2 . ∴| AB  |＝ 21 4 p，| AC  |＝ 7 2 q. ∴S△ABC＝1 2 | AB  |·| AC  |·sin A＝21 32 pq. 又∵p＋q＝6，且 p>0，q>0， ∴ p· q≤p＋q 2 ， 即 p· q≤3. ∴p·q≤9. 故△ABC 的面积的最大值为21 32 ×9＝189 32 . 2．某工厂有 120 名工人，且年龄都在 20 岁到 60 岁之间，各年龄段人数按[20,30)， [30,40)，[40,50)，[50,60]分组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引 进了新的生产设备，要求每名工人都要参加 A、B 两项培训，培训结束后进行结业考试．已 知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结 业考试也互不影响． 年龄分组 A 项培训成绩优秀人数 B 项培训成绩优秀人数 [20,30) 30 18 [30,40) 36 24 [40,50) 12 9 [50,60] 4 3 (1)若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为 40 的样本，求各年龄段应分别抽取的 人数； (2)随机从年龄段[20,30)和[30,40)内各抽取 1 人，设这两人中 A、B 两项培训结业考试 成绩都优秀的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 解：(1)由频率分布直方图知，在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内的人 数的频率分别为 0.35,0.4,0.15,0.1. ∵0.35×40＝14,0.4×40＝16,0.15×40＝6,0.1×40＝4， ∴在年龄段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]内应抽取的人数分别为 14,16,6,4. (2)∵在年龄段[20,30)内的人数为 120×0.35＝42(人)，从该年龄段任取 1 人，由表知， 此人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为30 42 ＝5 7 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为18 42 ＝3 7 ， ∴此人 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为5 7 ×3 7 ＝15 49 . ∵在年龄段[30,40)内的人数为 120×0.4＝48(人)，从该年龄段任取 1 人，由表知，此 人 A 项培训结业考试成绩优秀的概率为36 48 ＝3 4 ；B 项培训结业考试成绩优秀的概率为24 48 ＝1 2 ， ∴此人 A、B 两项培训结业考试成绩都优秀的概率为3 4 ×1 2 ＝3 8 . 由题设知，X 的可能取值为 0,1,2， ∴P(X＝0)＝ 1－15 49 1－3 8 ＝ 85 196 ， P(X＝1)＝15 49 × 1－3 8 ＋ 1－15 49 ×3 8 ＝177 392 ， P(X＝2)＝15 49 ×3 8 ＝ 45 392 ， ∴X 的分布列为 X 0 1 2 P 85 196 177 392 45 392 X 的数学期望为 E(X)＝0× 85 196 ＋1×177 392 ＋2× 45 392 ＝267 392 . 3．设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn，若{an}和{ Sn}都是等差数列，且公差相等． (1)求{an}的通项公式； (2)若 a1，a2，a5 恰为等比数列{bn}的前三项，记 cn＝ 1 log34bn＋1·log34bn＋2 ，数列{cn}的 前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)设{an}的公差为 d，则 Sn＝na1＋n n－1 d 2 ， 即 Sn＝ d 2 n2＋ a1－d 2 n， 由 Sn是等差数列，得到 a1－d 2 ＝0， Sn＝ d 2 ·n， 则 d＝ d 2 且 d＝2a1＞0， 所以 d＝1 2 ， a1＝d 2 ＝1 4 ， an＝1 4 ＋(n－1)·1 2 ＝2n－1 4 . (2)由 b1＝a1＝1 4 ，b2＝a2＝3 4 ，b3＝a5＝9 4 ，得等比数列{bn}的公比 q＝3， 所以 bn＝1 4 ×3n－1， 所以 cn＝ 1 log33n·log33n＋1＝ 1 n n＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ， Tn＝1－1 2 ＋1 2 －1 3 ＋…＋1 n － 1 n＋1 ＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 . 4.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，CD  ＝λ 1CC  (λ∈R)． (1)当λ＝1 2 时，求证：AB1⊥平面 A1BD; (2)当二面角 AA1DB 的大小为π 3 时，求实数λ的值． 解：(1)证明：取 BC 的中点 O，连接 AO. 因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 CBB1C1，且△ABC 为正三角形，所以 AO ⊥BC，AO⊥平面 CBB1C1. 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 A(0,0， 3)，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)， B(1,0,0)．所以 1AB  ＝(1,2，－ 3)， 1DA  ＝(1,1， 3)，DB  ＝ (2，－1,0)． 因为 1AB  · 1DA  ＝1＋2－3＝0， 1AB  · DB  ＝2－2＝0， 所以 AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又 DA1∩DB＝D， 所以 AB1⊥平面 A1BD. (2)由(1)得 D(－1,2λ，0)，所以 1DA  ＝(1,2－2λ， 3)，DB  ＝(2，－2λ，0)，DA  ＝(1，－2λ， 3)． 设平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)，平面 AA1D 的一个法向量为 n2＝(s，t，u)， 由 n1·1DA  ＝0， n1· DB  ＝0， 得平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝ λ，1，λ－2 3 . 同理可求得平面 AA1D 的一个法向量为 n2＝( 3，0，－1)， 由|cos〈n1，n2〉|＝ |n1·n2| |n1|·|n2| ＝1 2 ，解得λ＝1 4 ， 故λ的值为1 4 .