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- 2021-05-14 发布
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中档大题规范练——圆锥曲线
1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实半轴长为.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.
解 (1)设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0),
由已知,得a=,c=2,b2=c2-a2=1,
故双曲线方程为-y2=1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),
将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由题意,知解得0)的焦点为F2,设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0,y0),PF1=.
(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程;
(2)直线x=m与椭圆C1在第一象限的交点为Q,若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M,N,使得36AQ2=35AM·AN,求出直线l的方程.
解 (1)∵在椭圆C1中c=m,e=,
∴a=2m,b2=3m2,
设椭圆C1的方程为+=1,
联立+=1与y2=4mx,
得3x2+16mx-12m2=0,
即(x+6m)·(3x-2m)=0,
得x=或-6m(舍去),
代入y2=4mx得y=±,
∴设点P的坐标为(,),
PF2=+m=,
PF1=2a-==,
∴m=1,
此时,椭圆C1的标准方程为+=1,
抛物线C2的标准方程为y2=4x.
(2)由题设知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=k(x-4),
由
消去y整理,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.
由题意知Δ=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0,
解得-b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
+=1,①
+=1,②
①-②,得+=0.
因为=-1,设P(x0,y0),
因为P为AB的中点,且OP的斜率为,
所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2).
所以可以解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2,
又因为右焦点(c,0)在直线x+y-=0上,
解得c=,所以a2=6,
所以M的方程为+=1.
(2)因为CD⊥AB,直线AB方程为x+y-=0,
所以设直线CD方程为y=x+m,
将x+y-=0代入+=1得:
3x2-4x=0,即A(0,),B,
所以可得AB=;
将y=x+m代入+=1得:
3x2+4mx+2m2-6=0,
设C(x3,y3),D(x4,y4),
则CD==,
又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,
即-3b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.
(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;
(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个常数及C的离心率e;如果不存在,请说明理由.
解 (1)由P(-1,)在⊙O:x2+y2=b2上,
得b2=1+3=4.
直线PA的斜率kPA==,而直线PA的斜率kPA=-=,所以=,解得a=4.
所以a2=16,所以椭圆C的方程为+=1.
(2)假设存在椭圆C,使得恒为常数.
设椭圆C的半焦距为c,
当P(-b,0)时,则有=;
当P(b,0)时,则有=.
依假设有=.
①当c-b>0时,有=,
所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b),
化简整理得a=c,这是不可能的.
②当c-b<0时,有=.
所以(a-b)(b+c)=(a+b)(b-c),
化简整理得ac-b2=0.
所以c2-a2+ac=0,两边同除以a2,
得e2+e-1=0.
解得e=,或e=∉(0,1)(舍去).
可见,若存在椭圆C满足题意,
只可能离心率e=.
设P(x,y)为⊙O:x2+y2=b2上任意一点,
则=
===.(*)
由上c2-a2+ac=0,
得a2-c2=ac,
所以·=·
=·c===1,
从而=.
代入(*)式得==,
所以存在满足题意的椭圆C,这个常数为 ,
椭圆C的离心率为e=.
5.已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.
解 (1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有-|x|=1.
化简得y2=2x+2|x|.
当x≥0时,y2=4x;
当x<0时,y=0.
所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x (x≥0)和y=0 (x<0).
(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,
则l1的方程为y=k(x-1).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实根,
于是x1+x2=2+,x1x2=1.
因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.
设D(x3,y3),E(x4,y4),
则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
故·=(+)·(+)
=·+·+·+·
=||·||+||·||
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1++1+1+(2+4k2)+1
=8+4≥8+4×2=16.
当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.
6.在平面直角坐标系xOy中,动点P在椭圆C1:+y2=1上,且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率.动点Q是动圆C2:x2+y2=r2(1