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  • 2021-05-14 发布

江苏高考数学压轴大题突破练圆锥曲线

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中档大题规范练——圆锥曲线 ‎1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实半轴长为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.‎ 解 (1)设双曲线方程为-=1 (a>0,b>0),‎ 由已知,得a=,c=2,b2=c2-a2=1,‎ 故双曲线方程为-y2=1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 将y=kx+代入-y2=1,‎ 得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由题意,知解得0)的焦点为F2,设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0,y0),PF1=.‎ ‎(1)求椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程;‎ ‎(2)直线x=m与椭圆C1在第一象限的交点为Q,若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M,N,使得36AQ2=35AM·AN,求出直线l的方程.‎ 解 (1)∵在椭圆C1中c=m,e=,‎ ‎∴a=‎2m,b2=‎3m2‎,‎ 设椭圆C1的方程为+=1,‎ 联立+=1与y2=4mx,‎ 得3x2+16mx-‎12m2‎=0,‎ 即(x+‎6m)·(3x-‎2m)=0,‎ 得x=或-‎6m(舍去),‎ 代入y2=4mx得y=±,‎ ‎∴设点P的坐标为(,),‎ PF2=+m=,‎ PF1=‎2a-==,‎ ‎∴m=1,‎ 此时,椭圆C1的标准方程为+=1,‎ 抛物线C2的标准方程为y2=4x.‎ ‎(2)由题设知直线l的斜率存在,‎ 设直线l的方程为y=k(x-4),‎ 由 消去y整理,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.‎ 由题意知Δ=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0,‎ 解得-b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程;‎ ‎(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.‎ 解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则 +=1,①‎ +=1,②‎ ‎①-②,得+=0.‎ 因为=-1,设P(x0,y0),‎ 因为P为AB的中点,且OP的斜率为,‎ 所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2).‎ 所以可以解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=‎2c2,‎ 又因为右焦点(c,0)在直线x+y-=0上,‎ 解得c=,所以a2=6,‎ 所以M的方程为+=1.‎ ‎(2)因为CD⊥AB,直线AB方程为x+y-=0,‎ 所以设直线CD方程为y=x+m,‎ 将x+y-=0代入+=1得:‎ ‎3x2-4x=0,即A(0,),B,‎ 所以可得AB=;‎ 将y=x+m代入+=1得:‎ ‎3x2+4mx+‎2m2‎-6=0,‎ 设C(x3,y3),D(x4,y4),‎ 则CD==,‎ 又因为Δ=‎16m2‎-12(‎2m2‎-6)>0,‎ 即-3b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.‎ ‎(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个常数及C的离心率e;如果不存在,请说明理由.‎ 解 (1)由P(-1,)在⊙O:x2+y2=b2上,‎ 得b2=1+3=4.‎ 直线PA的斜率kPA==,而直线PA的斜率kPA=-=,所以=,解得a=4.‎ 所以a2=16,所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)假设存在椭圆C,使得恒为常数.‎ 设椭圆C的半焦距为c,‎ 当P(-b,0)时,则有=;‎ 当P(b,0)时,则有=.‎ 依假设有=.‎ ‎①当c-b>0时,有=,‎ 所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b),‎ 化简整理得a=c,这是不可能的.‎ ‎②当c-b<0时,有=.‎ 所以(a-b)(b+c)=(a+b)(b-c),‎ 化简整理得ac-b2=0.‎ 所以c2-a2+ac=0,两边同除以a2,‎ 得e2+e-1=0.‎ 解得e=,或e=∉(0,1)(舍去).‎ 可见,若存在椭圆C满足题意,‎ 只可能离心率e=.‎ 设P(x,y)为⊙O:x2+y2=b2上任意一点,‎ 则= ===.(*)‎ 由上c2-a2+ac=0,‎ 得a2-c2=ac,‎ 所以·=· ‎=·c===1,‎ 从而=.‎ 代入(*)式得==,‎ 所以存在满足题意的椭圆C,这个常数为 ,‎ 椭圆C的离心率为e=.‎ ‎5.已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求·的最小值.‎ 解 (1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有-|x|=1.‎ 化简得y2=2x+2|x|.‎ 当x≥0时,y2=4x;‎ 当x<0时,y=0.‎ 所以,动点P的轨迹C的方程为y2=4x (x≥0)和y=0 (x<0).‎ ‎(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,‎ 则l1的方程为y=k(x-1).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1,x2是上述方程的两个实根,‎ 于是x1+x2=2+,x1x2=1.‎ 因为l1⊥l2,所以l2的斜率为-.‎ 设D(x3,y3),E(x4,y4),‎ 则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.‎ 故·=(+)·(+)‎ ‎=·+·+·+· ‎=||·||+||·||‎ ‎=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)‎ ‎=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1‎ ‎=1++1+1+(2+4k2)+1‎ ‎=8+4≥8+4×2=16.‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,·取最小值16.‎ ‎6.在平面直角坐标系xOy中,动点P在椭圆C1:+y2=1上,且到椭圆C1的右焦点的距离与到直线x=2的距离之比等于椭圆的离心率.动点Q是动圆C2:x2+y2=r2(1