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- 2021-05-14 发布
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2016 年上海高考理科试题及答案
1、设 x∈R，则不等式|x-3|<1 的解集为 .
解：由原不等式得-10,b>0，若关于 x,y 的方程组
1
1
byx
yax 无解，则 a+b 的取值范围是 .(2,+ ∞)
解：由方程组无解知 ab=1 且 a≠b，所以 a+b>2√ab=2，即 a+b 的取值范围是(2,+ ∞) .
11、无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为前 n 项和，若对任意 n∈N*，Sn∈{2,3}，则 k
的最大值为 . 4
解：依题目要求，构造无穷数列{an}如下：2,1,-1,0,0,…，它由 4 个不同的数组成.再也不
可能用更多数组成符合要求的数列了，所以 k 的最大值为 4.
12、在平面直角坐标系中，已知 A(1,0)，B(0,-1)，P 是曲线 21 xy 上一个动点，则向量
的数量积 BP·BA 的取值范围是 . [0,1+ 2 ]
解：曲线是圆心在原点、半径为 1 的半圆，半圆的范围是-1≤x≤1,0≤y≤1.设 P(cosθ,sinθ).
则向量的数量积 BP·BA= cosθ+sinθ+1，由-1≤x≤1,0≤y≤1 知 0≤θ≤π，于是
-1≤cosθ+sinθ=√2sin(θ+π/4)≤√2,因此所求取值范围是[0,1+√2]
C
BA
D
D1
A1 B1
C1
13、设 a,b∈R，c∈[0, 2π)，若对任意实数 x 都有 )sin()33sin(2 cbxax ，则满足条件的
有序实数组(a,b,c)的组数为 . 4
14、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，O 为正八边形 A1,A2,…,A8 的中心，A(1,0)，
任取不同的两点 Ai,Aj，点 P 满足向量 0 ji OAOAOP ，则点 P 落在第一象限
的概率是 . 5/28
15、a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( )条件.A
A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要
16、下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ).D
A ρ=6+5cosθ B ρ=6+5sinθ C ρ=6-5cosθ D ρ=6-5sinθ
17 已知无穷等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和为 Sn，且 SSnn
lim ，下列条件中，使得 SSn 2
恒成文的是( ). B
A a 1>0，0.60，0.70；
⑵若关于 x 的方程 f(x)-log2[(a-4)x+2a-5 ]=0 的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围；
⑶设 a>0，若对任意 t∈[ 2
1 ,1]，函数 f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过 1，
求 a 的取值范围.
【解答】⑴当 a=5 时，原不等式
x
1 +5>1，解集为(-∞, 4
1 ) ∪(0,+∞)；
⑵原方程为(a-4)x2+(a-5)x-1=0，即[(a-4)x-1](x+1)=0，且满足
x
1 +a>0，
当 a=4 时，x=-1,符合题意；当 a=3 时，x1= x2=-1,符合题意；
当 a≠4，a≠3 时，x1=1/(a-4)，x2=-1， x1≠ x2，
由于原方程恰好只有一个根，因此有两个情况：
①
1
1
x +a>0 且
2
1
x +a ≤0；
②
2
1
x +a>0 且
1
1
x +a≤0.
情况①下 a∈Φ；
情况②下有：－1+a>0 且(a-4)+a≤0，∴10)的对称轴 t=-(a+1)/2a<0,函数在 g(t)在[1/2,1]
上是递增的，所以当 t=1/2 时，g(t)有最小值(3/4)a-1/2，由(3/4)a-1/2≥0，得 a≥2/3，
故 a 的取值范围[2/3, +∞).
23、若无穷数列{an}满足：只要 ap=aq，必有 ap+1=aq+1，则称{an}具有性质 P.
⑴若{an}具有性质 P，且 a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求 a3；
⑵若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，
b5=c1=81，an＝bn+cn，判断{an}是否具有性质 P，交说明理由；
⑶设{bn}是无穷数列，已知 an+1＝bn+sinan (n∈N*)，求证：“对任意 a1，{an}都具有性质
P”的充要条件为“{bn}是常数列”.
【评讲】本题是近几年压轴题中较为简单的一题。
第⑴小题主要是完成验证工作。∵a2=a5=2, ∴a3=a6，a4=a7=3，∵a6=21- a7-a8=16，∴a3=16.
参见图 1，此数列前 8 项之间的等量关系如图所示。
第⑵小题一开始离开了本题的 P 背景，进行一般的递推数列的换算，最后予以验证。
设{bn}的公差为 d，{cn}的公比为 q(q>0)，
由 b1=1，b5=81，知 d=20，∴bn=20n-19，
由 c1=81，c5=1，知 q=1/3，∴cn=(1/3)^(n-5).
∴an＝bn+cn=20n-19+(1/3)^(n-5).
又∵a1= a5=82，而 a2=21+27=48，a6=101+1/3，
a1= a5，但 a2≠a6，∴{an}不具有性质 P.
第⑶小题有一定难度。难在两个数列{bn}、{an}纠缠在一起，且数列{bn}具有特殊的性质
(P 性质)。
理解两个数列的关系，这是必须的：
{bn}是无穷数列，是另一个数列表达式的一部分，欲证它是常数列；
{an}是递推数列，事先对它没有明显的设定，但它满足递推式 an+1＝bn+sinan (n∈N*)，
且对任意 a1，{an}都具有性质 P。.
证明充要性，当然要从两头证之。
充分性的证明，顺路走。若{bn}是常数列，不妨设 bn=c，那么 an+1＝bn+sinan＝c+sinan .
以下按{an}具有性质 P 的要求完成证明。
必要性的证明，择路走。若对任意 a1，{an}具有性质 P，根据定义“只要 ap=aq，必有
ap+1=aq+1”，首先要找到一对 ap=aq。怎么找？从已知条件入手！
∵an+1＝bn+sinan，
∴an+1-bn＝sinan，
受此启发，构造函数：f(x)=x-bn，g(x)=sinx .
函数 f(x)、g(x)图像如图 2 所示。由图像可知，对任意的 bn，斜率为 1 的直线与正弦曲线
必有一个交点，所以一定能找到一个 an，使得 an- bn=sin an. 这时有 an = bn+sin an= an+1.
上面的“an = an+1”说明它满足性质 P 的条件，于是必有 an+1=an+2，所以{bn}是常数列.(证
毕)
必要性还可以用反证法。假设{bn}不是常数列. 那么必存在 k∈N*，使得 b1=b2=…=bk=b，
而 bk+1≠b，以下证明存在满足性质 P 的{an}是自相矛盾的，，使得，但
a2 a5a3 a6a4 a7 a8
2
3
2=
a1
21
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