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  • 2021-05-14 发布

2018版高考数学(理)(苏教版,江苏专用)大一轮教师文档讲义:第十四章14-4第1课时绝对值不等式

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第1课时 绝对值不等式 ‎1.绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集:‎ 不等式 a>0‎ a=0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(-∞,-a)∪‎ ‎(a,+∞)‎ ‎(-∞,0)∪‎ ‎(0,+∞)‎ R ‎(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;‎ ‎②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c;‎ ‎(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;‎ ‎②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;‎ ‎③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.‎ ‎2.含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a,b是实数,则|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.‎ ‎(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.‎ ‎1.(2015·山东改编)解不等式|x-1|-|x-5|<2的解集.‎ 解 ①当x≤1时,原不等式可化为1-x-(5-x)<2,‎ ‎∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1.‎ ‎②当15;‎ 当-2≤x<时,5≥y=-x+3>;‎ 当x≥时,y=3x+1≥,故函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值为.因为不等式|2x-1|+|x+2|≥‎ a2+a+2对任意实数x恒成立,所以≥a2+a+2.‎ 解不等式≥a2+a+2,得-1≤a≤,故a的取值范围为[-1,].‎ 题型一 绝对值不等式的解法 例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,‎ f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ 思维升华 解绝对值不等式的基本方法有 ‎(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ ‎(2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式;‎ ‎(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.‎ ‎ (1)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.‎ ‎(1)在图中画出y=f(x)的图象;‎ ‎(2)求不等式|f(x)|>1的解集.‎ 解 (1)f(x)= y=f(x)的图象如图所示.‎ ‎(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;‎ 当f(x)=-1时,可得x=或x=5,‎ 故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ 题型二 利用绝对值不等式求最值 例2 (1)对任意x,y∈R,求|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值.‎ ‎(2)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.‎ 解 (1)∵x,y∈R,‎ ‎∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,‎ ‎|y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3.‎ ‎∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.‎ ‎(2)|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.‎ 思维升华 求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种 ‎(1)利用绝对值的几何意义.‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式,即|a|+|b|≥|a±b|≥|a|-|b|.‎ ‎(3)利用零点分区间法.‎ ‎ (1)若关于x的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d有解,求d的取值范围.‎ ‎(2)(2016·苏州二模)不等式|x+|≥|a-2|+sin y对一切非零实数x,y均成立,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)∵|2 014-x|+|2 015-x|≥|2 014-x-2 015+x|=1,‎ ‎∴关于x的不等式|2 014-x|+|2 015-x|≤d有解时,d≥1.‎ ‎(2)∵x+∈(-∞,-2]∪[2,+∞),‎ ‎∴|x+|∈[2,+∞),其最小值为2.‎ 又∵sin y的最大值为1,‎ 故不等式|x+|≥|a-2|+sin y恒成立时,‎ 有|a-2|≤1,解得a∈[1,3].‎ 题型三 绝对值不等式的综合应用 例3 (2016·全国甲卷)已知函数f(x)=+,‎ M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,‎ 解得x>-1,所以-1a对于一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围.‎ 解 由绝对值的几何意义知:|x-4|+|x+5|≥9,则log3(|x-4|+|x+5|)≥2,所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)>a对于一切x∈R恒成立,则需a<2.‎ ‎3.(2016·无锡模拟)对于任意实数a,b,已知|a-b|≤1,|2a-1|≤1,且恒有|4a-3b+2|≤m,求实数m的取值范围.‎ 解 因为|a-b|≤1,|2a-1|≤1,‎ 所以|3a-3b|≤3,|a-|≤,‎ 所以|4a-3b+2|=|(3a-3b)+(a-)+|‎ ‎≤|3a-3b|+|a-|+≤3++=6,‎ 即|4a-3b+2|的最大值为6,‎ 所以m≥|4a-3b+2|max=6.‎ ‎4.已知f(x)=|x-3|,g(x)=-|x-7|+m,若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.‎ 解 由题意,可得不等式|x-3|+|x-7|-m>0恒成立,即(|x-3|+|x-7|)min>m,由于x轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4,所以要使不等式恒成立,则m<4.‎ ‎5.(2016·常州模拟)求不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集.‎ 解 ①当x<-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<10,∴x<-3.‎ ‎②当-3≤x<时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,解得x<-,∴-3≤x<-.‎ ‎③当x≥时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<+1,‎ 解得x>2,∴x>2.‎ 综上可知,原不等式的解集为.‎ ‎6.(2016·盐城模拟)已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为2,求关于x的不等式|x-1|+|x-3|≥m的解集.‎ 解 由不等式|2x-m|≤1,可得≤x≤,‎ ‎∵不等式的整数解为2,‎ ‎∴≤2≤,解得3≤m≤5.‎ 再由不等式仅有一个整数解2,∴m=4.‎ 本题即解不等式|x-1|+|x-3|≥4,‎ 当x<1时,不等式等价于1-x+3-x≥4,‎ 解得x≤0,不等式解集为{x|x≤0}.‎ 当1≤x≤3时,不等式等价于x-1+3-x≥4,‎ 解得x∈∅,不等式解集为∅.‎ 当x>3时,不等式等价于x-1+x-3≥4,‎ 解得x≥4,不等式解集为{x|x≥4}.‎ 综上,原不等式解集为(-∞,0]∪[4,+∞).‎ ‎7.设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>2;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的最小值.‎ 解 (1)方法一 令2x+1=0,x-4=0分别得x=-,x=4.原不等式可化为:‎ 或或 ‎∴原不等式的解集为.‎ 方法二 f(x)=|2x+1|-|x-4|‎ ‎= 画出f(x)的图象,如图所示.‎ 求得y=2与f(x)图象的交点为(-7,2),.‎ 由图象知f(x)>2的解集为.‎ ‎(2)由(1)的方法二知:f(x)min=-.‎ ‎8.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)=|x+3|-|x-2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥3的解集;‎ ‎(2)若f(x)≥|a-4|有解,求a的取值范围.‎ 解 (1)f(x)=|x+3|-|x-2|≥3,‎ 当x≥2时,有x+3-(x-2)≥3,解得x≥2;‎ 当x≤-3时,-x-3+(x-2)≥3,解得x∈∅;‎ 当-3-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=-2时,不等式f(x)-1,则-<,‎ ‎∴f(x)=|2x-1|+|2x+a|‎ ‎= 当x∈时,f(x)=a+1,‎ 即a+1≤x+3在x∈上恒成立.‎ ‎∴a+1≤-+3,即a≤,‎ ‎∴a的取值范围为.‎

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