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- 2021-05-14 发布
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绝对值不等式
学习目标
(1) 含绝对值的不等式|x|a的解集
(2) (2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解．
②利用零点分段法求解．
③构造函数，利用函数的图象求解．
重点
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
合作探究
考向一 含绝对值不等式的解法
例1解下列不等式：
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)|x＋3|－|2x－1|<＋1.
课堂设计
学生随堂手记
解] (1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得x>，所以原不等式的解集为.
法二：原不等式等价于
或或
解得x>，所以原不等式的解集为.
(2)①当x<－3时，
原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，
解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，
原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，
解得x<－，∴－3≤x<－.
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③当x≥时，
原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<＋1，
解得x>2，∴x>2.
综上可知，原不等式的解集为.
绝对值不等式的常用解法
方法技巧]
(1)基本性质法：
对a∈R＋，|x|a⇔x<－a或x>a.
(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．
(3)零点分区间法：
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
【我会做】 1．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．
解：不等式|x－1|－|x－5|<2等价于
或
或
即或
或故原不等式的解集为{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪∅＝{x|x<4}．
2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.
解：原不等式可化为或
解得x≤－5或x≥－.
所以原不等式的解集是.
★【我能做对】 3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|
＝当20.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式可化为
或即或
结合a>0，解得x≤－，
即不等式f(x)≤0的解集为.
∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，
∴－＝－1，故a＝2.
考点二证明绝对值不等式
★【我能做对】例2 已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，
求证：|x＋5y|≤1.
证明] ∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.
∴由绝对值不等式的性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.
方法技巧]
证明绝对值不等式的三种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
★★【我要挑战】例3 设函数f(x)＝x＋|x－a|.
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(1)当a＝2 017时，求函数f(x)的值域；
(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．
解] (1)由题意得，当a＝2 017时，
f(x)＝
因为f(x)在2 017，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的值域为2 017，＋∞)．
(2)由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，
即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，
所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.
故a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
跟踪训练:
★【我能做】1．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当a＝1时等号成立．所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得31的解集．
解：(1)由题意得f(x)＝
故y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
3．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
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解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，
即＋≥.
又min＝，
所以≥，解得a≥2.
所以a的取值范围是2，＋∞)．
4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，
△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
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