高考数学模拟试题(含答案) 10页

高考数学模拟试题（十九）‎ 北京市西城区2000年抽样测试（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ 正棱台、圆台的侧面积公式 其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式 其中s’、s分别表示上、下底面积，h表示高 参考公式：‎ 三角函数和差化积公式 ‎ 第Ⅰ卷（选择题60分）‎ 一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔在下表中将对应答案标号涂黑.‎ 题号 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ ‎(6)‎ ‎(7)‎ ‎(8)‎ ‎(9)‎ ‎(10)‎ ‎(11)‎ ‎(12)‎ ‎(13)‎ ‎(14)‎ 答 案 A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D ‎（1）若圆台的高为4，母线长为5，侧面积是45π，则圆台的体积是（ ）.‎ ‎ （A）252π （B）84π （C）72π （D）63π ‎（2）若曲线x2+y2+a2x+ (1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）设，.tgα，tgβ是方程的两个不等实 根.则α+β的值为（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）等边ΔABC的顶点A、B、C按顺时针方向排列，若在复平面内，A、B两点分别对应 ‎ 的复数为和1，则点C对应的复数为（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）–3‎ ‎（5）对于每一个实数x，f(x)是y=2–x2和y=x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是（ ）.‎ ‎（A）1 （B）2 （C）0 （D）–2‎ ‎（6）已知集合A={(x,y)|y=sin(arccosx)}.B={(x,y)|x=sin(arccosy)}，则A∩B=（ ）.‎ ‎（A）{（x，y）|x2+y2=1，x>0，y>0}（B）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0}‎ ‎（C）{（x，y)|x2+y2=1，y≥0} （D）{（x,y）|x2+y2=1，x≥0，y≥0}‎ ‎（7）抛物线y2=2px与y2=2q（x+h）有共同的焦点，则p、q、h之间的关系是（ ）.‎ ‎（A）2h=q–p （B）p=q+2h （C）q>p>h （D）p>q>h ‎（8）已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结 论正确的是（ ）.‎ ‎（A）a100=–a，S100=2b–a （B）a100=–b，S100=2b–a ‎（C）a100=–b，S100=b–a （D）a100=–a，S100=b–a ‎（9）已知ΔABC的三内角A，B，C依次成等差数列，则sin2A+sin2C的取值范围是（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（10）如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，‎ Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两 部分，则其体积之比为（ ）.‎ ‎（A）3:1 （B）2:1 （C）4:1 （D）:1 ‎ ‎（11）中心在原点，焦点坐标为（0，）的椭圆被直线3x–y–2=0截得的弦的中点的 横坐标为，则椭圆方程为（ ）.‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（12）已知定义域为R 的偶函数f(x)在[0，+∞）上是增函数，且，则不等式 ‎ f(log4x)>0的解集为（ ）.‎ ‎（A）{x | x>2}（B）{x | 02}（D）{x | 2}‎ ‎（13）如图，将边长为5+的正方形，剪去阴影部分后，‎ ‎ 得到圆锥的侧面和底面的展 ‎ 开图，则圆锥的体积是（ ）.‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（14）一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长为400‎ ‎ 千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批物质全部运到B 市，最快需要（ ）‎ ‎（A）6小时 （B）8小时 （C）10小时 （D）12小时 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上.‎ ‎ x=3+2cosθ ‎ y=cos2θ ‎（15）函数的最小正周期是__________.‎ ‎（16）参数方程（θ是参数）所表示的曲线的焦点坐标是__________.‎ ‎（17）（1+x）6（1–x）4展开式中x3的系数是__________.‎ ‎（18）已知m，n是直线，α.β.γ是平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β；‎ ‎②若n⊥α,n⊥β,则α∥β；‎ ‎③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；‎ ‎④若nα，mα且n∥β,m∥β，则α∥β ‎⑤若m，n为异面直线，且nα，n∥β，mβ，m∥α，则α∥β ‎ 则其中正确的命题是_________.（把你认为正确的命题序号都填上）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 在ΔABC中，求的最小值.并指出取最小值时ΔABC的形状，并说明理由.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=，PD=.‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若PD与底面ABCD成60°的角，‎ ‎ 试求二面角P—BC—A的大小.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知F(x)=f(x)–g(x)，其中f(x)=loga(x–1)，并且当且仅当点（x0，y0）在f(x)的图像上时，点（2x0，2y0）在y=g (x)的图像上.‎ ‎（Ⅰ）求y=g(x)的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）当 x在什么范围时，F(x)≥0？‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 某公司欲将一批不易存放的蔬菜，急需从A地运到B地，有汽车、火车、直升飞机三种运输工具可供选择，三种运输工具的主要参考数据如下：‎ 运输工具 途中速度 途中费用 装卸时间 装卸费用 ‎ （千米/小时） （元/千米） （小时） （元）‎ ‎ 汽车 50 8 2 1000‎ ‎ 火车 100 4 4 2000‎ ‎ 飞机 200 16 2 1000‎ 若这批蔬菜在运输过程（含装卸时间）中的损耗为300元/小时，问采用哪 种运输工具比较好，即运输过程中的费用与损耗之和最小.‎ ‎（23）（本小题满分13分）‎ ‎ 已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段为原抛物线C在x轴上截得的线段的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.‎ ‎（24）（本小题满分13分）‎ 已知a>0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（n∈N）‎ ‎（Ⅰ）求数列{bn}的前n项和Sn；‎ ‎（Ⅱ）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.‎ 高三数学试题（理科）评分参考标准 ‎ 2000．6‎ 一、选择题 ‎（1）B； （2）B； （3）C； （4）D； （5）A； （6）D； （7）A； （8）A； ‎ ‎（9）D； （10）B； （11）C； （12）C； （13）A； （14）B.‎ 二、填空题 ‎（15）π； （16）； （17）–8； （18）②，⑤.‎ 三、解答题 ‎（19）解：令 ‎……………………………………1分 ‎………………………3分 ‎∵在ΔABC中，，∴…………………4分 ‎ 又.‎ ‎∴…………………………………………6分 ‎…………………………………………………………8分 ‎，‎ ‎ 当 时，y取得最小值.…………………………………9分 ‎ 由知A=C，………………………………………………………10分 ‎ 由知，B=60°.……………………………………………11分 ‎ 故A=B=C=60°，‎ ‎ 即y取最小值时，ΔABC的形状为等边三角形.…………………………12分 ‎（20）（1）证：由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，‎ ‎ 故BD2=AD2+AB2–2AD • ABcos60°‎ ‎ =4+16–2×2×4×=12.……‎ ‎…………………………………1 分 ‎ 又AB2=AD2+BD2，‎ ‎∴ΔABD是直角三解形，∠ADB=90°，‎ ‎ 即AD⊥BD.……………………………3分 ‎ 在ΔPDB中，PD=，PB=，BD=，‎ ‎∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD.……………………………………………5分 ‎ 又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD.…………………………………………6分 ‎ （2）由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.‎ ‎∴平面PAD⊥平面ABCD.……………………………………………………7分 ‎ 作PE⊥AD于E，又PE平面PAD.∴PE⊥平面ABCD.‎ ‎∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDE=60°………………8分 ‎∴PE=PDsin60°=.‎ ‎ 作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC.‎ ‎∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.……………………………………10分 ‎ 又EF=BD=，在ΔRtΔPEF中，‎ ‎.‎ ‎ 故二面角P—BC—A的大小为.…………………………………12分 ‎（21）解：（1）由点（x0，y0）在y=loga（x–1）的图像上，y0=loga（x0–1），…………1分 ‎ 令2x0=u，2y0=v，则，‎ ‎∴，即.…………………………3分 ‎ 由（2x0，2y0）在y=g（x）的图像上，即（u，v）在y=g（x）的图像上.‎ ‎∴.……………………………………………4分 ‎ （2）.‎ ‎ 由F(x)≥0，即①…………………5分 ‎ 当a>1时，不等式①等价于不等式组 x–1>0‎ ‎……………………………………………………………6分 x2–8x+8≤0 ‎ x>2 x>2‎ ‎.………………………………………………………8分 ‎ 当01‎ ‎………………………………………………………………………9分 x2–8x+8≥0x≤4–或x≥4+‎ x>2 x>2‎ ‎.…………………………………………………………11分 ‎ 故当a>1，20，∴F1F2，并满足F3>F2，此时采用火车较好；‎ ‎……………………………………………………………………………12分 ‎（23）解：设所求抛物线方程为(x–h)2=a(y–k) (a∈R，a≠0) ①…………………………1分 ‎ 由①的顶点到原点的距离为5，则②…………………………2分 ‎ 在①中，令y=0，得x2–2hx+h2+ak=0.设方程二根为x1，x2，则 ‎ ‎ | x1–x2| =.……………………………………………………3分 ‎ 将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为 ‎ （x–h）2=a（y–k–3），……………………………………………………4分 ‎ 令y=0，得x2–2hx+h2+ak+3a=0.设方程二根为x3，x4，则 ‎ | x3–x4| =.…………………………………………………5分 ‎ 依题意得=，‎ ‎ 即 4（ak+3a）=ak③…………………6分 ‎ 将抛物线①向左平移1个单位，得（x–h+1）2=a（y–k）， …………………7分 ‎ 由过原点，得(1–h)2=–ak④…………………8分 ‎ 由②③④解得a=1，h=3，k=–4或a=4，h=–3，k=–4…………………11分 ‎ 所求抛物线方程为（x–3）2=y+4，‎ ‎ 或（x+3）2=4（y+4）. ………………………………………………13分 ‎（24）解：（Ⅰ）由题意知an=an，bn=nanlga. ………………………………………………2分 ‎∴Sn=（1 • a+2 • a2+3 • a3+……+n • an）lga.‎ a Sn=（1 • a2+2 • a3+3 • a4+……+n • an+1）lga.‎ 以上两式相减得 ‎ （1–a）Sn=（a+a2+a3+……+an–n • an+1）lga……………………………4分 ‎.‎ ‎∵a≠1，∴. ………………………6分 ‎ （Ⅱ）由bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga ‎ =aklga[k(a–1)+a]. ………………………………………………7分 ‎ 由题意知bk+1–bk>0，而ak>0，‎ ‎∴lga[k(a–1)+a]>0. ①……………………………………………8分 ‎ （1）若a>1，则lga>0，k(a–1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；‎ ‎……………………………………………………………………10分 ‎ （2）若0