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- 2021-05-14 发布
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基础回扣练——推理证明、算法、复数
(建议用时:60分钟)
一、填空题
1.(2013·北京卷改编)在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于第________象限.
解析 因为i(2-i)=1+2i,所以对应的点的坐标为(1,2),该点在第一象限.
答案 一
2.(2013·辽宁卷改编)复数z=的模为________.
解析 z===--i,
∴|z|==.
答案
3.(2014·韶关调研)若a,b∈R,i为虚数单位,且(a+i)i=b+,则a+b=________.
解析 由已知得ai+i2=b+(2+i),
即-1+ai=(b+2)+i,∴∴
∴a+b=1-3=-2.
答案 -2
4.(2014·佛山二模)已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是________.
解析 设z=a+bi(a,b∈R),由题意知a=1,
∴1+b2=4,∴b2=3,∴b=±.
答案 ±
5.(2014·青岛一模)某流程图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x值为________.
解析 第一次循环:x=2×3+1=7,n=2;
第二次循环:x=2×7+1=15,n=3;
第三次循环:x=2×15+1=31,n=4.
此时不满足条件,输出x=31.
答案 31
6.(2014·徐州一模)执行如图所示的流程图,则输出n的值为________.
解析 第一次循环,n=1,S=1+2=3;第二次循环,n=2,S=2×3+2=8;第三次循环,n=3,S=3×8+2=26;第四次循环,n=4,S=4×26+2=106,此时满足条件,输出n=4.
答案 4
7. (2014·绍兴模拟)已知某流程图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________.
①y=x3;②y=x;③y=3x;④y=3-x.
解析 由流程图可知,当输入的x的值为5时,
第一次运行,x=5-2=3;
第二次运行,x=3-2=1;
第三次运行,x=1-2=-1,
此时x≤0,退出循环,要使输出的y的值为,只有③中的函数y=3x符合要求.
答案 ③
8. (2014·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示,如果输出的结果为5,57,则判断框内应为________.
①k≤6;②k>4;③k>5;④k≤5.
解析 当k=1时,S=2×0+1=1;当k=2时,S=2×1+2=4;当k=3时,S=2×4+3=11;当k=4时,S=2×11+4=26;当k=5时,S=2×26+5=57,由题意知此时退出循环.
答案 ②
9.(2014·福州质检)将正奇数1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列规律,89所在的位置是第________列.
解析 正奇数从小到大排,则89位居第45位,而45=4×11+1,故89位于第四列.
答案 四
10.(2013·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中c为斜边,则a2+b2=c2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S为顶点O所对面的面积,S1,S2,S3分别为侧面△OAB,△OAC,△OBC的面积,则S,S1,S2,S3满足的关系式为________.
①S2=S+S+S;②S2=++;③S=S1+S2+S3;④S=++.
解析 如图,作OD⊥BC于点D,连接AD,由立体几何知识知,AD⊥BC,从而S2=2=BC2·AD2=BC2·(OA2+OD2)=(OB2+OC2)·OA2+BC2·OD2=2+2+2=S+S+S.
答案 ①
11.(2014·湛江二模)已知i是虚数单位,则=________.
解析 =1-i.
答案 1-i
12.(2014·无锡一模)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a=________.
解析 ==+i,
由题意知:=0,∴a=2.
答案 2
13.(2013·浙江卷)若某流程图如图所示,则该程序运行后输出的值等于________.
解析 第一步:S=1+=,k=2;
第二步:S=+=,k=3;
第三步:S=+=,k=4;
第四步:S=+=,k=5,
结束循环.输出S=.
答案
14.(2014·泰安一模)若流程图如图所示,则该程序运行后输出k的值为________.
解析 第一次:n=3×5+1=16,k=1;
第二次:n==8,k=2;
第三次:n==4,k=3;
第四次:n==2,k=4;
第五次:n==1,k=5,
此时满足条件,输出k=5.
答案 5
15.(2013·陕西卷)观察下列等式
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为________.
解析 观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
答案 12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1
16.(2014·兰州质检)在平面几何中有如下结论:若正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则=.推广到空间几何可以得到类似结论:若正四面体A-BCD的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则=________.
解析 平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与球的半径的立方成正比,所以=.
答案
二、解答题
17.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立.
(1)求a2的取值范围;
(2)判断数列{an}能否为等比数列,并说明理由.
解 (1)因为{an}是单调递增数列,所以a2>a1,即a2>2.
又(n+1)an≥na2n,令n=1,则有2a1≥a2,即a2≤4,所以a2∈(2,4].
(2)数列{an}不能为等比数列.
用反证法证明:
假设数列{an}是公比为q的等比数列,由a1=2>0,得an=2qn-1.
因为数列{an}单调递增,所以q>1.
因为(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立,
所以对任意n∈N*,都有1+≥qn.①
因为q>1,所以存在n0∈N*,
使得当n≥n0时,qn>2.
因为1+≤2(n∈N*).
所以存在n0∈N*,使得当n≥n0时,qn>1+,与①矛盾,故假设不成立.
18.(2013·常德模拟)设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明你的结论.
解 (1)∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.
猜想an=(n∈N*).
(2)证明:①易知,n=1时,猜想正确.
②假设n=k时猜想正确,
即ak=,
则ak+1=f(ak)====.
这说明,n=k+1时猜想正确.
由①②知,对于任何n∈N*,都有an=.