高考数学试卷山东卷理含详解 20页

绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理科数学（必修+选修II）‎ ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至10页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（共60分）‎ 注意事项：‎ 1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。‎ 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)‎ 如果事件A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.‎ ‎（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为 ‎（A）0 （B）6 （C）12 （D）18‎ ‎（2）函数y=1+ax(02的解集为 ‎(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）‎ ‎(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）‎ ‎（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=‎ (A) ‎1 （B）2 （C）—1 （D）‎ ‎（5）设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为 ‎(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)‎ ‎(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ‎(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2‎ ‎ ‎ ‎（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎ （8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ‎(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36‎ ‎（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是 ‎(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45‎ ‎（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是 ‎(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95‎ ‎（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ （12题图）‎ 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理科数学（必修+选修II）‎ 注意事项：‎ ‎1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.‎ ‎（13）若 .‎ ‎（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .‎ ‎（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都相等，D是A‎1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .‎ ‎ （15题图）‎ ‎（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.‎ ‎①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=‎ ‎②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2‎ ‎③若sin(+)= ,则sin(+)=,则tancot=5‎ ‎④如图，已知正方体ABCD- A1B‎1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.‎ ‎（16题图）‎ 得分 评卷人 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).‎ 得分 评卷人 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。‎ 得分 评卷人 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图ABC-A1B‎1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B‎1C1的底面ABC，等边∆ AB‎1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=‎2a,BC=a.‎ ‎（1）求证直线B‎1C1是异面直线与A‎1C1的公垂线；‎ ‎（2）求点A到平面VBC的距离；‎ ‎（3）求二面角A-VB-C的大小.‎ ‎（19题图）‎ 得分 评卷人 ‎(20) （本小题满分12分）‎ 袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎(2)随机变量的概率分布和数学期望；‎ ‎(3)计分介于20分到40分之间的概率.‎ 得分 评卷人 ‎（21）（本小题满分12分）‎ 双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.‎ （1） 求双曲线C的方程；‎ （2） 过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标.‎ 得分 评卷人 ‎（22）（本小题满分14分）‎ 已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…‎ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；‎ （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；‎ （3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.‎ 参考答案 ‎（1）—（12）DACBD BBAAD CC ‎(13) 2 (14) 32 (15) (16) ‎ ‎（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）‎ ‎（A）0 （B）6 （C）12 （D）18‎ 解：当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D ‎（2）函数y=1+ax(02的解集为（ C ）‎ ‎(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）‎ ‎(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）‎ 解：令>2（x<2），解得12（x³2）解得xÎ（，+∞）‎ 选C ‎（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=（ B ）‎ (A) ‎1 （B）2 （C）—1 （D）‎ 解：由正弦定理可得sinB＝，又a>b，所以A>B，故B＝30°，所以C＝90°，故c＝2，选B ‎（5）设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（ D ）‎ ‎(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)‎ 解：设d＝（x，y），因为‎4a＝（4，－12），4b－‎2c＝（－6，20），2(a－c)＝（4，－2），依题意，有‎4a＋（4b－‎2c）＋2(a－c)＋d＝0，解得x＝－2，y＝－6，选D ‎(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为（ B ）‎ ‎(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2‎ 解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数 f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选C ‎ ‎ ‎（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ B ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B ‎ （8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的（ A ）‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解：p：x－x－20>0Ûx>5或x<－4，q：<0Ûx<－2或－12，借助图形知选A ‎（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ A ）‎ ‎(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36‎ 解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为＝36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36－3＝33个，选A ‎（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则展开式中常数项是（ A ）‎ ‎(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45‎ 解：第三项的系数为－，第五项的系数为，由第三项与第五项的系数之比为－可得n＝10，‎ 则＝，令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为＝45，选A ‎（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是（C ）‎ ‎(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95‎ 解：画出可行域：‎ 易得A（5.5，4.5）且当直线z＝10x＋10y过A点时，‎ z取得最大值，此时z＝90，选C ‎（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为（ C ）‎ ‎(A) (B) (C) ‎ ‎ (D) ‎ ‎ ‎ ‎ （12题图）‎ ‎ ‎ 解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C 绝密★启用前 ‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）‎ 理科数学（必修+选修II）‎ 注意事项：‎ ‎1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 得分 评卷人 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.‎ ‎（13）若 2 .‎ 解： ‎ ‎（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则的最小值是 32 .‎ 解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当 时取等号，所以所求的值为32。‎ ‎（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1的所有棱长都相等，D是A‎1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .‎ ‎ （15题图）‎ 解：易证B1^平面AC1，过A点作AG^CD，则 AG^平面B1DC，于是ÐADG即ÐADC为直线AD 与平面B1DC所成角，由平面几何知识可求得它的正弦值为。‎ ‎（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.‎ ‎①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=‎ ‎②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2‎ ‎③若sin(+)=，sin(－)=,则tancot=5‎ ‎④如图，已知正方体ABCD- A1B‎1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.‎ 解：①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x－2|‎ ‎②错误，圆心坐标为（－2，1），到直线y=的距离为 >半径2，故圆与直线相离， ‎ ‎ ‎ ‎③正确，sin(+)=＝sincos＋cossin sin(－)＝sincos－cossin＝‎ 两式相加，得2 sincos＝，‎ 两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得tancot=5‎ ‎④正确，点P到平面AD1的距离就是点P到直线AD的距离，‎ ‎ ‎ 点P到直线CC1就是点P到点C的距离，由抛物线的定义 可知点P的轨迹是抛物线。‎ ‎ （16题图）‎ ‎ ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.‎ ‎（I）求 ‎（II）计算.‎ 解：（I）‎ 的最大值为2，.‎ 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，‎ ‎.‎ 过点，‎ 又 ‎.‎ ‎（II）解法一：，‎ ‎.‎ 又的周期为4，，‎ 解法二：‎ 又的周期为4，，‎ ‎18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.‎ 解：由已知得函数的定义域为，且 ‎（1）当时，函数在上单调递减，‎ ‎（2）当时，由解得 ‎、随的变化情况如下表 ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 从上表可知 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递增.‎ 综上所述：‎ 当时，函数在上单调递减.‎ 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ A B C A1‎ V B1‎ C1‎ 如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设 ‎（1）求证直线是异面直线与的公垂线；‎ ‎（2）求点A到平面VBC的距离；‎ ‎（3）求二面角的大小。‎ 解法1：‎ ‎（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，‎ 又∵平面⊥平面，平面∩平面，‎ ‎∴⊥平面，‎ ‎，‎ 又，.‎ 为与的公垂线.‎ ‎（Ⅱ）解法1：过A作于D，‎ ‎ ∵△为正三角形，‎ ‎∴D为的中点.‎ ‎∵BC⊥平面 ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴AD⊥平面，‎ ‎∴线段AD的长即为点A到平面的距离.‎ 在正△中，.‎ ‎∴点A到平面的距离为.‎ 解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.‎ 由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，‎ ‎，‎ 即，解得.‎ 即A到平面的距离为.‎ 则 所以，到平面的距离为.‎ ‎(III)过点作于，连，由三重线定理知 是二面角的平面角。‎ 在中，‎ ‎。‎ ‎。‎ 所以，二面角的大小为arctan.‎ 解法二：‎ 取中点连,易知底面，过作直线交。‎ 取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。‎ ‎（I），，‎ ‎，‎ ‎。‎ ‎ 又 由已知。‎ ‎，‎ 而。‎ 又显然相交，‎ 是的公垂线。‎ ‎（II）设平面的一个法向量，‎ ‎ 又 ‎ 由 取 得 ‎ 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。‎ ‎，设所求距离为。‎ ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，A到平面VBC的距离为.‎ ‎（III）设平面的一个法向量 ‎ ‎ 由 ‎ ‎ ‎ 取 ‎ 二面角为锐角，‎ 所以，二面角的大小为 ‎20．（本小题满分12分）‎ 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：‎ ‎（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；‎ ‎（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；‎ ‎（3）计分介于20分到40分之间的概率。‎ 解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，‎ 则 解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为 所以.‎ ‎（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.‎ 所以随机变量的概率分布为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 因此的数学期望为 ‎（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则 ‎21．（本小题满分12分）‎ 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。‎ ‎（1）求双曲线C的方程； ‎ ‎（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当 ‎，且时，求点的坐标。‎ 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 ‎ 由椭圆 ‎ 求得两焦点为，‎ 对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 ‎ 解得 ，‎ 双曲线的方程为 ‎（Ⅱ）解法一：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零。‎ 设的方程：，‎ 则 在双曲线上，‎ 同理有：‎ 若则直线过顶点，不合题意.‎ 是二次方程的两根.‎ ‎，‎ 此时.‎ 所求的坐标为.‎ 解法二：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则.‎ ‎，‎ 分的比为.‎ 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三：‎ 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，‎ ‎，，‎ 又，‎ 即 将代入得 ‎，否则与渐近线平行。‎ ‎。‎ 解法四：‎ 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，‎ 则 ‎,‎ ‎。‎ 同理 ‎ ‎.‎ 即 。 （*）‎ 又 ‎ 消去y得.‎ 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。‎ 由韦达定理有：‎ 代入（*）式得 ‎ 所求Q点的坐标为。‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知，点在函数的图象上，其中 ‎（1）证明数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求及数列的通项；‎ ‎（3）记，求数列的前项，并证明 解：（Ⅰ）由已知，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，两边取对数得 ‎，‎ 即 是公比为2的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎ （*）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ 由（*）式得 ‎（Ⅲ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 又 ‎.‎