2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章5-1平面向量的概念及线性运算 17页

第 1 讲 平面向量的概念及线性运算 最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量 数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其 几何意义． 知 识 梳 理 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的 大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意 的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为± a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0 与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫 作共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比 较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个 向量和 的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 续表 减法 求 a 与 b 的 相反向量 －b 的和的 运算叫作 a 与 b 的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量 a 的积 的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0 时，λa 的方 向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 的方向相反；当λ＝0 时，λa＝0 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 诊 断 自 测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示 (1)零向量与任意向量平行．( ) (2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (3)向量AB→与向量CD→ 是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量 a，b 共线时，一定有 b＝λa，反之成立．( ) (5)在△ABC 中，D 是 BC 中点，则AD→ ＝1 2(AC→＋AB→)．( ) 解析 (2)若 b＝0，则 a 与 c 不一定平行． (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A，B，C，D 四点不一定在一条直线 上． 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 a，b 都是单位向量，则 a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．① B．③ C．①③ D．①② 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等， 但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向 量，故③错误． 答案 A 3.(2017·西安模拟)设 D 为△ABC 所在平面内一点，AD→ ＝－1 3AB→＋4 3AC→，若BC→＝λDC→ (λ∈ R)，则λ＝( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析 由AD→ ＝－1 3AB→＋4 3AC→，可得 3AD→ ＝－AB→＋4AC→，即 4AD→ －4AC→＝AD→ －AB→，则 4CD→ ＝BD→ ，即BD→ ＝－4DC→ ，可得BD→ ＋DC→ ＝－3DC→ ，故BC→＝－3DC→ ，则λ＝－3，故选 D. 答案 D 4．(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 解析 ∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯一的实 数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得 λ＝μ， 1＝2μ， 解得λ＝μ＝1 2. 答案 1 2 5．(必修 4P79B4 改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA→ ＝a，OB→ ＝b， 则DC→ ＝______，BC→＝________(用 a，b 表示)． 解析 如图，DC→ ＝AB→＝OB→ －OA→ ＝b－a，BC→＝OC→ －OB→ ＝－OA→ －OB→ ＝－a－b. 答案 b－a －a－b 考点一 平面向量的概念 【例 1】 下列命题中，不正确的是________(填序号)． ①若|a|＝|b|，则 a＝b； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“AB→＝DC→ ”是“四边形 ABCD 为平行四边形” 的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c. 解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB→＝DC→ ，∴|AB→|＝|DC→ |且AB→∥DC→ ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴四 边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB→|＝|DC→ |， AB→∥DC→ 且AB→，DC→ 方向相同，因此AB→＝DC→ . ③正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同，又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向 相同，∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. 答案 ① 规律方法 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像的 移动混为一谈． (4)非零向量 a 与 a |a| 的关系： a |a| 是与 a 同方向的单位向量． 【训练 1】 下列命题中，正确的是________(填序号)． ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向 量； ②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一 定相同或相反； ③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． 答案 ③ 考点二 平面向量的线性运算 【例 2】(1)(2017·南昌模拟)在△ABC 中，P，Q 分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP＝1 3AB， BQ＝1 3BC.若AB→＝a，AC→＝b，则PQ→ ＝( ) A.1 3a＋1 3b B．－1 3a＋1 3b C.1 3a－1 3b D．－1 3a－1 3b (2)(2015·北京卷)在△ABC 中，点 M，N 满足AM→ ＝2MC→ ，BN→ ＝NC→ .若MN→ ＝xAB→＋yAC→， 则 x＝________；y＝________. 解析 (1)PQ→ ＝PB→＋BQ→ ＝2 3AB→＋1 3BC→＝2 3AB→＋ 1 3(AC→－AB→)＝1 3AB→＋1 3AC→＝1 3a＋1 3b，故选 A. (2)由题中条件得，MN→ ＝MC→ ＋CN→ ＝1 3AC→＋1 2CB→＝1 3AC→＋1 2(AB→－AC→)＝1 2AB→－1 6AC→＝xAB→＋ yAC→，所以 x＝1 2 ，y＝－1 6. 答案 (1)A (2)1 2 －1 6 规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将 加减法相互转化． (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的 三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． 【训练 2】 (1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个靠近 B 点的三等分点，那么EF→等于( ) A.1 2AB→－1 3AD→ B.1 4AB→＋1 2AD→ C.1 3AB→＋1 2DA→ D.1 2AB→－2 3AD→ (2)在△ABC 中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点， 若AO→ ＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ等于( ) A．1 B.1 2 C.1 3 D.2 3 解析 (1)在△CEF 中，有EF→＝EC→＋CF→. 因为点 E 为 DC 的中点，所以EC→＝1 2DC→ . 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 所以CF→＝2 3CB→. 所以EF→＝1 2DC→ ＋2 3CB→＝1 2AB→＋2 3DA→ ＝1 2AB→－2 3AD→ ，故选 D. (2)∵AD→ ＝AB→＋BD→ ＝AB→＋1 3BC→， ∴2AO→ ＝AB→＋1 3BC→，即AO→ ＝1 2AB→＋1 6BC→. 故λ＋μ＝1 2 ＋1 6 ＝2 3. 答案 (1)D (2)D 考点三 共线向量定理及其应用 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线． (1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． (1)证明 ∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→ ＝3(a－b)． ∴BD→ ＝BC→＋CD→ ＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→ 共线， 又它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线． (2)解 ∵ka＋b 与 a＋kb 共线，∴存在实数λ， 使 ka＋b＝λ(a＋kb)，即 ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. 规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的 区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2)向量 a，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 成立． 【训练 3】 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→ ＝－3a＋3b，则 ( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线 (2)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OA→ ＋xOB→ ＋ BC→＝0 成立的实数 x 的取值集合为( ) A．{0} B．∅ C．{－1} D．{0，－1} 解析 (1)∵BD→ ＝BC→＋CD→ ＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→， ∴BD→ 、AB→共线，又有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线．故选 B. (2)因为BC→＝OC→ －OB→ ，所以 x2OA→ ＋xOB→ ＋OC→ －OB→ ＝0，即OC→ ＝－x2OA→ －(x－1)OB→ ，因 为 A，B，C 三点共线，所以－x2－(x－1)＝1，即 x2＋x＝0，解得 x＝0 或 x＝－1. 答案 (1)B (2)D [思想方法] 1．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则．向量加法的三角形法则要素是 “首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”； 平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与 联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． 3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O，OA→ ，OB→ 不共线，满足OP→ ＝xOA→ ＋ yOB→ (x，y∈R)，则 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. [易错防范] 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑 向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错 误. 基础巩固题组 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→ ＋BO→ ＋OM→ ；③OA→ ＋OB→ ＋BO→ ＋CO→ ；④ AB→－AC→＋BD→ －CD→ ，其中结果为零向量的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选 B. 答案 B 2．设 a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a 与λa 的方向相反 B．a 与λ2a 的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析 对于 A，当λ＞0 时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0 时，a 与λa 的方向相反，B 正确； 对于 C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于 D，|λ|a 是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 答案 B 3.如图，在正六边形 ABCDEF 中，BA→＋CD→ ＋EF→＝( ) A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→ 解析 由题图知BA→＋CD→ ＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→. 答案 D 4．设 a0 为单位向量，下述命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故①是 假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a ＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是 3. 答案 D 5．设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一 点，则OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ 等于( ) A.OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→ 解析 OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＝(OA→ ＋OC→ )＋(OB→ ＋OD→ )＝2OM→ ＋2OM→ ＝4OM→ .故选 D. 答案 D 6．在△ABC 中，AB→＝c，AC→＝b，若点 D 满足BD→ ＝2DC→ ，则AD→ 等于( ) A.2 3b＋1 3c B.5 3c－2 3b C.2 3b－1 3c D.1 3b＋2 3c 解析 ∵BD→ ＝2DC→ ，∴AD→ －AB→＝BD→ ＝2DC→ ＝2(AC→－AD→ )， ∴3AD→ ＝2AC→＋AB→， ∴AD→ ＝2 3AC→＋1 3AB→＝2 3b＋1 3c. 答案 A 7．(2017·温州八校检测)设 a，b 不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→ ＝a－2b，若 A， B，D 三点共线，则实数 p 的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析 ∵BC→＝a＋b，CD→ ＝a－2b， ∴BD→ ＝BC→＋CD→ ＝2a－b. 又∵A，B，D 三点共线，∴AB→，BD→ 共线． 设AB→＝λBD→ ， ∴2a＋pb＝λ(2a－b)， ∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1. 答案 B 8.如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，A C→ ＝b，则 AD→＝( ) A．a－1 2b B.1 2a－b C．a＋1 2b D.1 2a＋b 解析 连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CD∥AB 且CD→ ＝1 2AB→＝1 2a， 所以AD→ ＝AC→＋CD→ ＝b＋1 2a. 答案 D 二、填空题 9．如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和 终点的向量中，与向量OA→ 相等的向量有________个． 解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA→ 相等的向量有CB→，DO→ ，EF→， 共 3 个． 答案 3 10.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB→＋AD→ ＝λAO→ ，则λ＝ ________. 解析 因为 ABCD 为平行四边形，所以AB→＋AD→ ＝AC→＝2AO→ ， 已知AB→＋AD→ ＝λAO→ ，故λ＝2. 答案 2 11．向量 e1，e2 不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→ ＝2e1＋e2，给出下列结论：① A，B，C 共线；②A，B，D 共线；③B，C，D 共线；④A，C，D 共线，其中所有正确 结论的序号为________． 解析 由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→ ，且AB→与CB→不共线，可得 A，C，D 共线，且 B 不在此直线上． 答案 ④ 12．已知△ABC 和点 M 满足MA→ ＋MB→ ＋MC→ ＝0，若存在实数 m 使得AB→＋AC→ ＝m AM→ 成 立，则 m＝________. 解析 由已知条件得MB→ ＋MC→ ＝－MA→ ，如图，延长 AM 交 BC 于 D 点，则 D 为 BC 的中点．延 长 BM 交 AC 于 E 点，延长 CM 交 AB 于 F 点，同理可证 E，F 分别为 AC，AB 的中点， 即 M 为△ABC 的重心，∴AM→ ＝2 3AD→ ＝1 3(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→ ，则 m＝3. 答案 3 能力提升题组 (建议用时：15 分钟) 13．(2017·延安模拟)设 e1 与 e2 是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→ ＝ 3e1－2ke2，若 A，B，D 三点共线，则 k 的值为( ) A．－9 4 B．－4 9 C．－3 8 D．不存在 解析 由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→ . 又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→ ＝3e1－2ke2， 所以BD→ ＝CD→ －CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2) ＝(3－k)e1－(2k＋1)e2， 所以 3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2， 所以 3＝λ3－k， 2＝－λ2k＋1， 解得 k＝－9 4. 答案 A 14．已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP→ ＝2OA→ ＋BA→， 则( ) A．点 P 在线段 AB 上 B．点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C．点 P 在线段 AB 的延长线上 D．点 P 不在直线 AB 上 解析 因为 2OP→ ＝2OA→ ＋BA→，所以 2AP→＝BA→，所以点 P 在线段 AB 的反向延长线上，故 选 B. 答案 B 15．O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP→ ＝OA→ ＋ λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ，λ∈[0，＋∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析 作∠BAC 的平分线 AD. ∵OP→ ＝OA→ ＋λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ， ∴AP→＝λ AB→ |AB→| ＋ AC→ |AC→| ＝λ′· AD→ |AD→ | (λ′∈[0，＋∞))， ∴AP→＝λ′ |AD→ | ·AD→ ， ∴AP→∥AD→ .∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 答案 B 16．若点 O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB→ －OC→ |＝|OB→ ＋OC→ －2OA→ |，则△ABC 的形状为________． 解析 OB→ ＋OC→ －2OA→ ＝(OB→ －OA→ )＋(OC→ －OA→ )＝AB→＋AC→，OB→ －OC→ ＝CB→＝AB→－AC→， ∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|. 故 A，B，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设 计·高考总复习》光盘中内容.