高考数学 数列求和及数列实际问题ok 3页

‎2013年高考数学第一轮复习单元 第16讲 数列求和及数列实际问题 一．【课标要求】‎ ‎1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；‎ ‎2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。‎ 二．【命题走向】‎ 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目 预测2013年高考对本将的考察为：‎ ‎1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；‎ ‎2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合 三．【要点精讲】‎ ‎1．数列求通项与和 ‎（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an= 。‎ ‎（2）求通项常用方法 ‎①作新数列法。作等差数列与等比数列；‎ ‎②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1；③归纳、猜想法。‎ ‎（3）数列前n项和 ‎①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2；‎ ‎②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、=－等 ‎⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，…‎ ‎⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。‎ 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 ‎⑦通项分解法：‎ ‎2．递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列 四．【典例解析】‎ 题型1：裂项求和 例1．求。‎ 题型2：错位相减法 例2．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。‎ 例3．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。‎ 点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。‎ 例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：‎ 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立。‎ 题型5：数列综合问题 例9、设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 题型6：数列实际应用题 例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取）‎ 点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解 例12．已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.‎ ‎（1）求数列和的通项公式； ‎ 题型7：课标创新题 例13．知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；（2）证明：.‎ 五．【思维总结】‎ 常用结论 ‎（1） 1+2+3+...+n = （2）1+3+5+...+(2n-1) =‎ ‎ （3） （4） ‎ ‎（5） （6）‎