2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章11-1归纳与类比 19页

第1讲　归纳与类比 最新考纲　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．‎ 知 识 梳 理 ‎1．归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．‎ 归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，‎ ‎　　　　　结论：任意d∈M，d也具有某属性．‎ ‎2．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ 类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；‎ ‎ B：具有属性：a′，b′，c′；‎ ‎　　　　　　　结论：B具有属性d′.‎ ‎(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)‎ ‎3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．‎ ‎4．演绎推理 ‎(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．‎ 诊 断 自 测　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)‎ ‎(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)‎ 解析　(1)类比推理的结论不一定正确．‎ ‎(3)平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适．‎ ‎(4)演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28 B．32 C．33 D．27‎ 解析　5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，‎ 推出x－20＝12，所以x＝32.‎ 答案　B ‎3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．‎ 答案　C ‎4．(2015·陕西卷)观察下列等式 ‎1－＝ ‎1－＋－＝＋ ‎1－＋－＋－＝＋＋ ‎……‎ 据此规律，第n个等式可为________．‎ 解析　第n个等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2，…，2n，分子为1，正负交替出现，即为1－＋－＋…＋－；等式右边共有n项且分母分别为n＋1，n＋2，…，2n，分子为1，即为＋＋…＋.所以第n个等式可为1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ 答案　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ ‎5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________.‎ 答案　b1b2b3…b17－n(n＜17，n∈N＋)‎ 考点一　归纳推理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (1)(2016·山东卷)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2‎ ‎＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2‎ ‎＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎……‎ 照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.‎ ‎(2)(2017·西安模拟)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……，根据上述规律，第n个不等式应该为________．‎ 解析　(1)观察前4个等式，由归纳推理可知－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝.‎ ‎(2)根据规律，知不等式的左边是n＋1个自然数的平方的倒数的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1＋＋＋…＋<.‎ 答案　(1) ‎(2)1＋＋＋…＋< 规律方法　归纳推理问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．‎ ‎(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．‎ ‎(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．‎ ‎(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．‎ ‎【训练1】 (1)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照下面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．‎ ‎(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　　　　　N(n,3)＝n2＋n，‎ 正方形数 N(n,4)＝n2，‎ 五边形数 N(n,5)＝n2－n，‎ 六边形数 N(n,6)＝2n2－n ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.‎ 解析　(1)由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2＋6，∴第n条小鱼需要(2＋6n)根．‎ ‎(2)三角形数　N(n,3)＝n2＋n＝，‎ 正方形数　N(n,4)＝n2＝，‎ 五边形数　N(n,5)＝n2－n＝，‎ 六边形数　N(n,6)＝2n2－n＝，‎ k边形数　N(n，k)＝，‎ 所以N(10,24)＝＝＝1 000.‎ 答案　(1)2＋6n　(2)1 000‎ 考点二　类比推理 ‎【例2】 (1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ ‎(2)(2017·南昌二中月考)如图(1)所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：点O是空间四面体V－BCD内的任意一点，如图(2)所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________________．‎ 解析　(1)法一　从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.‎ 法二　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·，∴dn＝＝c1·，即{dn}为等比数列，故选D.‎ ‎(2)利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.‎ 用“体积法”证明如下：‎ ＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.‎ 答案　(1)D　(2)＋＋＋＝1‎ 规律方法　(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等. ‎ ‎【训练2】 (2017·安徽江淮十校三联)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析　1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝(x＝舍)，故1＋＝，故选C.‎ 答案　C 考点三　演绎推理 ‎【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N＋)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义，这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 规律方法　演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．‎ ‎【训练3】 (2016·全国Ⅱ卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．‎ 解析　由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．‎ 答案　1和3‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．合情推理的过程概括为 →→‎ → ‎2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．‎ ‎2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．‎ ‎3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1，1⊗3，2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第(　　)‎ A．22项 B．23项 C．24项 D．25项 解析　两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.‎ 答案　C ‎2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(　　)‎ A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析　由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．‎ 答案　C ‎3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)‎ A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)‎ 解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ 答案　D ‎4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ 解析　观察规律，归纳推理．‎ 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.‎ 答案　C ‎5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　①②正确；③④⑤⑥错误．‎ 答案　B ‎6．(2017·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：‎ 甲说：“我们四人都没考好”；‎ 乙说：“我们四人中有人考的好”；‎ 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；‎ 丁说：“我没考好”．‎ 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是(　　)‎ A．甲，丙 B．乙，丁 C．丙，丁 D．乙，丙 解析　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.‎ 答案　D ‎7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1‎ 解析　1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.‎ 答案　C ‎8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为(　　)‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ 解析　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．‎ 答案　C 二、填空题 ‎9．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．‎ 解析　进行分组 ‎○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，‎ 则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.‎ 答案　14‎ ‎10．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为________．‎ 解析　观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝2＝.‎ 答案　13＋23＋…＋n3＝ ‎11．(2017·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：___________________________.‎ 解析　等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”‎ 答案　在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n ‎12．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．‎ 解析　对于函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点A，‎ B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立；对于函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，‎ 类比可知应有＜sin 成立．‎ 答案　＜sin 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13．(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析　根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：‎ ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 ‎6号 甲 不可能 不可能 不可能 可能 可能 不可能 乙 可能 可能 不可能 可能 可能 可能 丙 可能 可能 不可能 不可能 不可能 可能 丁 可能 可能 可能 不可能 不可能 不可能 由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.‎ 答案　D ‎14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．‎ 比如：‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是(　　)‎ A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378‎ 解析　观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，‎ ‎…an＝an－1＋n.‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，‎ 观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.‎ 答案　C ‎15．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．‎ 解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，‎ 则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.‎ 因为P0(x0，y0)在这两条切线上，‎ 故有－＝1，－＝1，‎ 这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，‎ 故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.‎ 答案　－＝1‎ ‎16．(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：‎ ‎1　 3　 7　 13　 21　 …‎ ‎5 9 15 23 … …‎ ‎11 17 25 … … …‎ ‎19 27 … … … …‎ ‎29 … … … … …‎ ‎… … … … … …‎ 则第30行从左到右第3个数是________．‎ 解析　先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.‎ 答案　1 051‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎